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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Lineares Gleichungssystem
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Universität/Hochschule J Lineares Gleichungssystem
math321
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  Themenstart: 2022-01-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Hallo! Für das Gleichungssystem $$ \begin{align*} 3x+2y+z&=0\\ 6x+4y+\lambda z&=0 \end{align*} $$ sollen folgende Fragen beantwortet werden: Existieren die folgenden Fälle: (1) Es gibt keine Lösung. (2) Es gibt eine eindeutige Lösung. Meine Antworten: Zu (1) Es gibt immer mindestens die Lösung $x=y=z=0$, also dieser Fall existiert nicht, egal, wie ich $\lambda$ wähle. Zu (2) Hier bin ich etwas unsicher. Also ich forme erstmal die Matrix $$ \begin{pmatrix}3&2&1\\6&4&\lambda\end{pmatrix} $$ um zu $$ \begin{pmatrix}3&2&1\\0&0&\lambda-2\end{pmatrix} $$ Für $\lambda\neq 2$ bekomme ich die Lösungsmenge $$ \left\{\left(-\frac{2}{3}s,s,0\right): s\in\mathbb{R}\right\} $$ und für $\lambda=2$ die Lösungsmenge $$ \left\{\left(-\frac{1}{3}(2s-t),s,t\right): s,t\in\mathbb{R}\right\} $$ Das heißt, für $\lambda\in\mathbb{R}$ gibt es nie eine eindeutige Lösung, sondern immer eine ganze Schar (entweder mit einem oder mit zwei Parametern). Liege ich richtig? Bye und Grüße\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-09

Hallo, dass es immer eine Lösung gibt liegt hier schon allein an der Tatsache, dass das LGS homogen ist. Für Frage 2: bringe mal die Frage der eindeutigen Lösbarkeit mit den Anzahlen an Variablen und Gleichungen zusammen... Gruß, Diophant


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math321
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Hallo, Diophant, es gibt hier mehr Variablen (3) als Gleichungen (2), daher kann es keine eindeutige Lösung geben, egal, wie $\lambda\in\mathbb{R}$ gewählt wird. Sind meine Lösungsmengen denn korrekt? Besonders bei dem Fall mit zwei Parametern bin ich mir unsicher, ob das stimmt. Grüße\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, die Lösungsmenge für \(\lambda\neq 2\) passt. Bei der für \(\lambda=2\) ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Du wählst ja \(y=s,\ z=t\), von daher sollten in der Klammer beide Parameter positive Vorzeichen haben (da du ja \(-1/3\) ausgeklammert hast). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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