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Universität/Hochschule Problem 3
Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2004-10-28





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Florian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2004-10-30


Hallo, wollte mich mal vorstellen, heisse Florian, komme aus Salzburg, studiere Mathe^^.
Wie man leicht sieht ist jedes Vielfache eine Lösungstripels wieder eine Lösung. D.h. es genügt jene Tripel zu betrachten für die a*b*c=1.
Damit reduziert sich die Aufgabe auf die Gleichung
a+b+1/(ab)=1/a+1/b+ab mit c=1/(ab).

Umgeformt ergiebt sich (b^2-b)a^2+(1-b^2)a+(b-1)=0 mit den Lösungen
a_1=1 und a_2=1/b. Damit haben alle Lösungstripel die Form x/y,x,xy und das gesuchte Verhältnis ist a/b=b/c.
[ Nachricht wurde editiert von Florian am 30.10.2004 08:08:10 ]



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Nelson
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2004-10-30


Hallo Eckard, hallo Florian und andere Mitstreiter,

....
***gelöscht, war falsch****

Ciao
Nelson


[ Nachricht wurde editiert von Nelson am 30.10.2004 11:49:53 ]
[ Nachricht wurde editiert von Nelson am 01.11.2004 17:34:53 ]



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Dr_Sonnhard_Graubner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2004-10-30


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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2004-10-30


Jo, das wollte ich auch grad sagen. Aber

(bc + ca + ab)3 - abc (a + b + c)3 = (bc - a2) (ca - b2) (ab - c2)

ist wirklich eine Faktorisierung, die man nicht jeden Tag sieht. Sollte ich mir merken.

  Darij



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Epikur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2004-10-30


Hallo,

@Sonnhard eines der Lösungstripel ist 2,4,8 nach deiner Formel dürfte das aber nicht sein oder hab ich mich verrechnet?

weitere Lösungen sind 2,6,18;3,6,12 die Eigenschaft aller meiner Lösungen ist ,dass a*b*c eine Kubikzahl ist.

Gruß,Artjom
 



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Dr_Sonnhard_Graubner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2004-10-30


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Epikur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2004-10-30


oh hab das "oder" überlesen




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isotomion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2004-10-30


2004-10-30 11:03: Epikur schreibt:
die Eigenschaft aller meiner Lösungen ist ,dass a*b*c eine Kubikzahl ist.


Daß bei allen ganzzahligen Lösungen abc eine Kubikzahl ist, folgt daraus, daß - beispielsweise im Fall a2 = bc, die anderen Fälle sind analog - sich abc = aa2 = a3 ergibt. Ganzzahlige Lösungstripel sind allgemein Tripel aus drei aufeinanderfolgenden Gliedern einer geometrischen Folge.

  Grüße,
  Darij



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Florian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2004-10-30


Hallo Sonnhard, unsere Lösungen sind ja  äquvivalent^^.

@ Nelseon a=b=c ist eine Lösung aber nicht alle lösungen haben diese Form.
[ Nachricht wurde editiert von Florian am 30.10.2004 19:06:44 ]



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Ben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2004-10-31


Hallo zusammen,
auf die Lösungen a²=b*c, b²=a*c und c²=b*c bin ich auch gekommen. Das erinnert mich aber sehr an den Höhensatz des Euklid h²=p*q, wobei h die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks und p und q die Hypothenusenabschnitte sind.

Gruß
Ben



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2004-11-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \)
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Gruß
Matroid
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2004-11-01


Hallo Eckard & Team,
ich habe es so gemacht:
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Antwort: Die drei Zahlen a,b,c bilden in geeigneter Reihenfolge eine geometrische Folge.
Geeignete Reihenfolge heißt, daß die "richtige" Zahl in die Mitte genommen wird, das kann a, b oder c sein.

Die Faktorisierung der Differenz beider Seiten der gegebenen Gleichung habe ich danach auch gefunden, das läßt man Formelmanipulationssysteme machen.
Gruß Buri



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2004-11-06


Hi Darij,
wieso muß man die Aufgabe gelöst haben, um auf abc Kubikzahl zu schließen?
Es ist doch abc = ((ab + ac + bc) / (a + b + c))3 nach Voraussetzung und somit ist abc Kubikzahl. Zweifel könnten nur aufkommen, wenn a + b + c = 0 wäre, ich hatte aber gemeint (kann sein, es stimmt nicht), daß dieser Fall unmöglich ist.
Gruß Buri



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Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07





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Eckard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07


Auch hier gehen die Punkte selbstverständlich an euch. Faktorisierung und Nullsetzen der einzelnen Faktoren, aber auch Buris Lösung (und vielleicht noch viele andere) sind möglich.

Gruß Eckard



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2004-11-07


2004-11-06 23:07: Buri schreibt:
Hi Darij,
wieso muß man die Aufgabe gelöst haben, um auf abc Kubikzahl zu schließen?
Es ist doch abc = ((ab + ac + bc) / (a + b + c))3 nach Voraussetzung und somit ist abc Kubikzahl.


Na klar, wieder mal ist mein Beweis nicht der kürzeste. Anyway, wie immer bei solchen (recht einfachen) Aufgaben sind alle Lösungen mehr oder weniger einander gleich. Trotzdem eine schöne Aufgabe!

  Grüße,
  Darij



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