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Analysis » Stetigkeit » Projektion auf n-ten Taylor-Koeffizient ist stetig
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Universität/Hochschule J Projektion auf n-ten Taylor-Koeffizient ist stetig
nzimme10
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  Themenstart: 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander, es sei $\mathbb D:=B_1(0)\subset \mathbb C$ und $\mathcal O(\mathbb D)$ der $\mathbb C$-Vektorraum aller holomorphen Funktionen auf $\mathbb D$. Weiter sei $\mathcal O(\mathbb D)$ versehen mit der kompakt-offenen Topologie. Zuletzt sei $$ \mathcal S:=\lbrace f\in \mathcal O(\mathbb D) \mid f \text{ injektiv }, f(0)=0, f'(0)=1\rbrace. $$ Ich möchte mir gerne überlegen warum der Operator $$ T_n\colon \mathcal S\to \mathbb C, \ f=z+\sum_{k=2}^\infty a_kz^k\mapsto a_n $$ stetig ist. Betrachtet man die Abbildungen $$ D_n\colon \mathcal S\to \mathcal O(\mathbb D), \ f\mapsto f^{(n)}, \quad \opn{eval}_0 \colon \mathcal O(\mathbb D)\to \mathbb C, \ f\mapsto f(0), $$ so hat man offenbar $T_n=(\frac{1}{n!}\opn{eval}_0)\circ D_n$. Es genügt also die Stetigkeit dieser Abbildungen nachzuweisen. Weiter kann man $\mathcal O(\mathbb D)$, vermöge einer kompakten Ausschöpfung $(K_j)_{j\in \mathbb N}$ von $\mathbb D$, durch $$ d\colon \mathcal O(\mathbb D)\times \mathcal O(\mathbb D)\to [0,\infty), \ d(f,g):=\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^j}\frac{\lVert f-g\rVert_{K_j}}{1+\lVert f-g\rVert_{K_j}} $$ zu einem metrischen Raum $(\mathcal O(\mathbb D),d)$ machen. Um die Stetigkeit von $D_n$ nachzuweisen sei $f\in \mathcal S$ und $(f_k)_{k\in \mathbb N}\in \mathcal S^{\mathbb N}$ mit $f_k\to f$ für $k\to \infty$. Man kann sich überlegen, dass Konvergenz der $f_k$ gegen $f$ in $(\mathcal O(\mathbb D),d)$ gerade die gleichmäßige Konvergenz auf Kompakta bedeutet. Nach dem Satz von Weierstraß konvergiert $(f^{(n)}_k)_{k\in \mathbb N}$ kompakt gegen $f^{(n)}$ und somit $(D_n(f_k))_{k\in \mathbb N}$ in $(\mathcal O(\mathbb D),d)$ gegen $D_n(f)$. Folglich ist $D_n$ stetig. Nun gilt es noch die Stetigkeit von $\opn{eval}_0$ zu zeigen. Natürlich ist $\opn{eval}_0$ $\mathbb C$-linear, aber das genügt für die Stetigkeit noch nicht. Könnte mir da jemand einen Hinweis geben? Fällt jemandem eventuell ein "einfacheres" Argument für die Stetigkeit von $T_n$ ein? Vielen Dank für jeden Hinweis. LG Nico\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) \quoteon(2022-01-17 18:00 - nzimme10 im Themenstart) Nun gilt es noch die Stetigkeit von $\opn{eval}_0$ zu zeigen. Natürlich ist $\opn{eval}_0$ $\mathbb C$-linear, aber das genügt für die Stetigkeit noch nicht. \quoteoff Allgemeiner gilt (siehe z.B. Hatcher, Algebraic Topology, A. 14): Lemma. Wenn $X, Y$ topologische Räume sind und $Y$ lokal kompakt ist, dann ist die Evaluationsabbildung $e:X^Y \times Y \to X, \ (f,y) \mapsto f(y)$ stetig. Hier ist $X^Y$ mit der kompakt-offenen Topologie versehen. Womöglich ist die Aussage in dieser Abstraktion (psychologisch gesehen) leichter zu beweisen als in deinem Spezialfall. Wenn du es selber beweisen möchtest (in Hatcher sind es 4 Zeilen): Weise die topologische Definition von Stetigkeit nach und benutze hierbei die lokale Kompaktheit um eine passende Umgebung zu finden.\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}\) Alternativ sollte etwa folgendes Argument für die Stetigkeit von $\mathrm{eval}_0$ in deinem Spezialfall gehen. Sie nutzt lokale Kompaktheit insofern, dass kompakte Konvergenz eine Metrik und nicht nur eine Pseudometrik definiert (zumindest nach Wikipedia, habe das gerade nicht nachgeprüft). Sei $(f_n)_n$ eine konvergente Folge in $\mathcal{O}(\mathbb{D})$. Sie konvergiert also gleichmäßig auf ein Kompaktum $K$ um $0$ und somit konvergiert sie auch punktweise in $0$. Deshalb ist $$\lim_{n \to \infty} f_n(0) = \left(\lim_{n \to \infty} f_n|_K \right)(0) = \left(\lim_{n \to \infty} f_n \right)(0)$$ und somit haben wir Folgenstetigkeit nachgewiesen.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Hallo Kezer, danke für deine beiden Antworten. Das hat mir beides geholfen. LG Nico


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piquer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-18

Hallo Nico, ich möchte noch zeigen, wie du direkt ans Ziel kommst. \quoteon Man kann sich überlegen, dass Konvergenz der $f_k$ gegen $f$ in $(\mathcal O(\mathbb D),d)$ gerade die gleichmäßige Konvergenz auf Kompakta bedeutet. Nach dem Satz von Weierstraß konvergiert $(f^{(n)}_k)_{k\in \mathbb N}$ kompakt gegen $f^{(n)}$ \quoteoff An dieser Stelle bist du schon fertig, wenn du das Resultat auf die kompakte Einpunktmenge $\{0\}$ anwendest. Alternativ zum Beweis der Folgenstetigkeit kann man auch zeigen, dass $T_n$ beschränkt ist. Zusammen mit der Linearität von $T_n$ folgt dann, dass $T_n$ stetig ist. Dazu schreiben für für $f \in \mathcal O(\mathbb D)$ $$ f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\xi)}{\xi^{n + 1}} \, \text d \xi $$ für $\gamma = $ Kreisring mit Radius 1/2. Die Standardabschätzung für Integrale ergibt nun $$ |f^{(n)}(0)| \leq 2^{n} n! \| f \|_{\mathrm{Sp}(\gamma)}. $$ Somit haben wir das Resultat in der Norm auf $\mathbb C$ gegen eine (stetige) Halbnorm auf $\mathcal O(\mathbb D)$ abgeschätzt. Das zeigt, dass $T_n$ beschränkt ist. Viele Grüße Torsten


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nzimme10
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo piquer, vielen Dank für deine Antwort. In der Tat war es dann überflüssig $T_n$ zu zerlegen, das ist mir nicht aufgefallen. LG Nico\(\endgroup\)


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