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Integration » Integraltransformationen » Fouriertransformierte einer Funktion mit Polstelle
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Beruf J Fouriertransformierte einer Funktion mit Polstelle
sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1820
  Themenstart: 2022-01-19

Hallo Zusammen, Den ganzen Tag über rätsle ich schon. Bitte sagt mir wie es geht: $\mathcal{F}(\frac{1}{x-i})=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-2\pi i x \xi}}{x-i} dx$


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wessi90
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-19

Hallo, Das Integral kann Mithilfe des Residuensatzes berechnet werden. Reicht das schon als Tipp oder brauchst du mehr Hinweise?


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

hallo wessi, so einfach geht das? Welchen Weg geht man um in der komplexen ebene den Integrationsweg zu schliessen? Überhaupt gibt es doch so viele Integrale vom Typ $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$ deren Stammfunktion man nicht finden kann, aber das Integral über $\mathbb{R}$ auf andere Weise (wie z.B. Residuensatz) zu berechnen. Da hat doch bestimm schon mal jemand eine Liste gemacht von "Techniken", die man zu Bestimmung von Fouriertransformierten anwenden kann.


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wessi90
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-19

Ja. So einfach geht das. Anhängig vom Wert von $\xi$ musst du den Weg in der oberen oder unteren Halbebene schließen. Methoden aus der Funktionentheorie sind oft sehr nützlich zur exakten Berechnung von reellen Integralen.


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sulky
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

ach so, jetzt sehe ich es. Wenn $\xi<0$, dann muss ich unten durch. Aber unten hats gar keine Pole und und $\mathcal{F}(f)(\xi)=0$ wenn $\xi < 0$. Stimmt das? Und bei positivem $\xi$ einfach oben durch. dann haben wir $\mathcal{F}(f)(\xi)=2\pi i \cdot Res_i (\frac{1}{x-1})$. Und das Residum der einfachen Polstelle ist ja auch nur $1$. Oder Zusammenfassend: $\mathcal{F}(f)(\xi)=1_{\mathbb{R}_+}(\xi) 2\pi i \cdot e^{2\pi \xi}$. Vielen Dank Wessi, du hast mir sehr geholfen


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