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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Übung Laplace-Transformation
Autor
Universität/Hochschule J Übung Laplace-Transformation
Chrispyk
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Dabei seit: 01.09.2020
Mitteilungen: 30
  Themenstart: 2022-01-19

Guten Tag, folgende Aufgabe hab ich zur Übung gelöst und würde mich über ein zweites Paar Augen freuen, um mich auf möglicherweise vorhandene Fehler aufmerksam zu machen. \(x(t) -2 \int_{0}^{t}\cos(t-\tau) \cdot x(\tau) d\tau = e^t\) Transformiert dann: \( X(s) -2 \frac{s}{s^2+1} \cdot X(s) = \frac{1}{s-1}\) \( 1 -2 \frac{s}{s^2+1} = \frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{X(s)}\) \( \frac{1}{s-1} -0.5 \frac{s^2+1}{s} \frac{1}{s-1} = X(s)\) \( \frac{s-0.5s^2-0.5}{s(s-1)} = X(s)\) Partialbruchzerlegung: \( \frac{s-0.5s^2-0.5}{s(s-1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-1}\) \( s-0.5s^2-0.5 = A(s-1) + Bs\) \( s-0.5s^2-0.5 = A(s-1) + Bs\) \(s = 0 \implies 0.5 = A\) \(s = 1 \implies 0 = B\) Rücktransformation: \(\frac{0.5}{s} = X(s)\) \(\mathcal{L}^{-1}(X(s)) = 0.5 \cdot \sigma(t)\) Viele Grüße Chris


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ThomasRichard
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20

Irrtum meinerseits, daher Antwort gelöscht - pardon.


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rlk
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-21

Hallo Chrispyk, Deine Idee ist richtig, aber die Umformung von \quoteon(2022-01-19 14:37 - Chrispyk im Themenstart) \( X(s) -2 \frac{s}{s^2+1} \cdot X(s) = \frac{1}{s-1}\) \( 1 -2 \frac{s}{s^2+1} = \frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{X(s)}\) \quoteoff zu \quoteon(2022-01-19 14:37 - Chrispyk im Themenstart) \( \frac{1}{s-1} -0.5 \frac{s^2+1}{s} \frac{1}{s-1} = X(s)\) \quoteoff ist falsch, daher ist auch Dein Ergebnis nicht richtig. Letzteres kannst Du auch leicht nachprüfen: die Faltung mit der Sprungfunktion entspricht einer Integration, damit liefert die linke Seite der Faltungsgleichung $\sigma(t)/2+\sin(t) \neq e^t$. Servus, Roland


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Chrispyk
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Hallo Roland, nochmals vielen Dank. Ich habe das Gefühl du bringst mich durch Signale und Systeme. \(\frac{1}{s-1-\frac{2s(s-1)}{s^2+1}} = X(s)\) \(\frac{1}{\frac{s^3+s-s^2-1-2s^2+2s}{s^2+1}} = X(s) \) \(\frac{s^2+1}{s^3-3s^2+3s-1} = X(s)\) \(\frac{s^2+1}{(s-1)^3} = X(s)\) Erneut Partialbruchzerlegung führt zu: \(\frac{1}{s-1} + \frac{2}{(s-1)^2} + \frac{2}{(s-1)^3} = X(s)\) Im Zeitbereich: \(\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = e^t + 2e^t t + e^t t^2 = e^t(t^2+2t+1)\)


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