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Universität/Hochschule J WLLN und Charakteristische Funktion
Mathler
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  Themenstart: 2022-01-19

Hallo lieber Matheplanet, ich hänge aktuell an folgender Aufgabe und würde eure Hilfe benötigen: Für iid Zufallsvariablen gilt genau dann das schwache Gesetz der Großen Zahlen, wenn die Charakteristische Funktion \(\Phi\) bei 0 differenzierbar ist. Ich konnte bereits die Rückrichtung zeigen, doch die Hinrichtung bereitet mir Schwierigkeiten. Ich hatte folgenden Ansatz: Sei \(\bar{X_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\), dann gilt nach VS \(\bar{X_n}\to E(X_1)=:c\) in Wahrscheinlichkeit. Es gilt zudem \(e^{ict}=\Phi_c(t)=lim_{n \to \infty}\Phi_{\bar{X_n}}(t)=lim_{n \to \infty}\Phi_{X_1}(\frac{t}{n})^n\) Hier stecke ich jedoch fest und weiß nicht mehr recht weiter. Hätte jemand eine Idee wie man das zeigen könnte? Lg Mathler


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20

Moin Mathler, überlege dir zunächst mal, dass die Folge $(\overline{X}_n)$ der Mittelwerte gleichmäßig integrierbar ist. Gemeinsam mit $\overline{X}_n \xrightarrow{P} c$ folgt daraus $\overline{X}_n \xrightarrow{L_1} c$ (siehe z.B. das zweite Theorem im dritten Abschnitt hier). Folgere weiter, dass \[\left|\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict}\right| \le |t| \|\overline{X}_n-c\|_{L_1}\] gilt. Überlege dir schließlich, dass z.B. für $|t| < 1$ gleichmäßig \[\Phi_{X_1}\left(\frac{t}{n}\right) = e^{ic\frac{t}{n}} \left(1+\frac{\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict}}{e^{ict}}\right)^{\frac{1}{n}} = 1 + ic\frac{t}{n} + o\left(\frac{t}{n}\right)\] gilt. Damit ist gemeint, dass der Restterm dem Betrage nach durch einen Ausdruck der Form $a_n \left|\frac{t}{n}\right|$ mit $a_n \to 0$ nach oben hin abgeschätzt werden kann. Folgere daraus dann $\Phi_{X_1}'(0) = ic.$ LG, semasch


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Mathler
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

Lieber semasch, erstmal danke für deine Antwort. Ich habe mich nun daran probiert aber ich hänge an einigen Stellen: Ich konnte zeigen, dass \((X_i)_{i \in \mathbb{N}}\) gleichmäßig integrierbar ist, jedoch weiß ich nicht ganz wie ich zeigen kann das \(\bar{X_n}\) gleichmäßig Integrierbar ist, ich habe es schon mit der Äquivalenten Aussage versucht, das \(\bar{X_n}\) glm. Int <=> sup E[|\(\bar{X_n}\)|]<\(\infty\) und \(\forall \epsilon>0 \exists \delta>0: P[A]\leq\delta\implies sup E[|\bar{X_n}|1_{A}]\) aber ich weiß nicht ganz wie es mit dieser Definition funktionieren soll, also ich verstehe nicht wie ich A wählen könnte. Darauf hin habe ich mit mit der Ungleichung versucht aber diese verstehe ich so gar nicht. Mir ist klar das \(\left|\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict}\right| =\left|\Phi_{\overline{X}_n}(t)-\Phi_c(t)\right|\) das einzige was mir hier eingefallen wäre ist Jensen aber das führte nicht zum Ziel... Könntest du mir noch Hinweise geben oder Literatur dazu empfehlen? Lg Mathler


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 13:02 - Mathler in Beitrag No. 2) Ich konnte zeigen, dass \((X_i)_{i \in \mathbb{N}}\) gleichmäßig integrierbar ist, jedoch weiß ich nicht ganz wie ich zeigen kann das \(\bar{X_n}\) gleichmäßig Integrierbar ist, ich habe es schon mit der Äquivalenten Aussage versucht, das \(\bar{X_n}\) glm. Int <=> sup E[|\(\bar{X_n}\)|]<\(\infty\) und \(\forall \epsilon>0 \exists \delta>0: P[A]\leq\delta\implies sup E[|\bar{X_n}|1_{A}]\) aber ich weiß nicht ganz wie es mit dieser Definition funktionieren soll, also ich verstehe nicht wie ich A wählen könnte. \quoteoff Das ist ja schon mal ein sehr guter Anfang. $A$ ist dabei allerdings nicht zu wählen, vielmehr muss die letzte Abschätzung für alle Ereignisse $A$ mit $P(A) < \delta$ gelten. Überlege dir mithilfe der Dreiecksungleichung, dass für jedes beliebige Ereignis $A$ die Beziehung \[\mathbb{E}(|\overline{X}_n| 1_A) \le \sup_m \mathbb{E}(|X_m| 1_A) \tag{1}\] gilt. Damit (und der gezeigten gleichmäßigen Integrierbarkeit von $(X_n)$) kannst du dann die beiden Aussagen in der äquivalenten Charakterisierung der gleichmäßigen Integrierbarkeit nachweisen. \quoteon(2022-01-20 13:02 - Mathler in Beitrag No. 2) Darauf hin habe ich mit mit der Ungleichung versucht aber diese verstehe ich so gar nicht. Mir ist klar das \(\left|\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict}\right| =\left|\Phi_{\overline{X}_n}(t)-\Phi_c(t)\right|\) das einzige was mir hier eingefallen wäre ist Jensen aber das führte nicht zum Ziel... \quoteoff Wende die Dreiecksungleichung zur Abschätzung des Betrages von \[\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict} = \mathbb{E}\left(e^{i\overline{X}_nt}-e^{ict}\right) = it \, \mathbb{E}\left(\int_c^{\overline{X}_n} e^{ixt} \, dx\right)\] an. LG, semasch


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 13:27 - semasch in Beitrag No. 3) Wende die Dreiecksungleichung zur Abschätzung des Betrages von \[\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict} = \mathbb{E}\left(e^{i\overline{X}_nt}-e^{ict}\right) = it \, \mathbb{E}\left(\int_c^{\overline{X}_n} e^{ixt} \, dx\right)\] \quoteoff Danke, damit konnte ich nun die Ungleichung zeigen. Was ich bei obigem meinte ist, dass ich nicht verstehe wie man etwas mit dieser Bedingung beweist, also ich verstehe nicht was mir \(P(A)\le\delta\) bringt. Ich muss ja zeigen, dass \(\forall \epsilon>0 \exists \delta>0: P(A)\le\delta \implies sup_{n \in \mathbb{N}}E(|\bar{X}_n|\mathbb{1}_A)\le \epsilon \) aber ich verstehe nicht wie ich \(\delta\) wählen könnte, da ich nicht verstehe was es mir in der Ungleichung bringt. Also mir ist bewusst, dass \(E(|\bar{X}_n|\mathbb{1}_A)=\int_A|\bar{X}_n| dP\) aber ich darf ja nicht einfach die Unabhängigkeit annehmen und sagen \(\int_A|\bar{X}_n| dP=P( \mathbb{1}_A) \ \int_{\Omega}|\bar{X}_n| dP \le\delta\ \ \int_{\Omega}|\bar{X}_n| dP \) und daraus mit der wahl des korrekten \(\delta\) auf \(\le\epsilon\) schließen oder? Also ich habe hier ein Grundlegendes Verständnis Problem. Würdest du mir hier nochmal weiterhelfen? LG Mathler


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 14:23 - Mathler in Beitrag No. 4) Also mir ist bewusst, dass \(E(|\bar{X}_n|\mathbb{1}_A)=\int_A|\bar{X}_n| dP\) aber ich darf ja nicht einfach die Unabhängigkeit annehmen und sagen \(\int_A|\bar{X}_n| dP=P( \mathbb{1}_A) \ \int_{\Omega}|\bar{X}_n| dP \le\delta\ \ \int_{\Omega}|\bar{X}_n| dP \) und daraus mit der wahl des korrekten \(\delta\) auf \(\le\epsilon\) schließen oder? \quoteoff Nein, das funktioniert so nicht. Zeige erstmal $(1)$ aus Beitrag #3 und folgere dann, dass für alle Ereignisse $A$ \[\sup_n \mathbb{E}(|\overline{X}_n| 1_A) \le \sup_n \mathbb{E}(|X_n| 1_A). \tag{2}\] Verwende dann, dass du von der Folge $(X_n)$ schon weißt, dass sie gleichmäßig integrierbar ist, die Bedingungen der von dir zitierten äquivalenten Charakterisierung der gleichmäßigen Integrierbarkeit dafür also erfüllt sind (insbesondere findest du also dafür zu jedem $\epsilon$ ein passendes $\delta$). Folgere daraus mittels $(2)$, dass diese auch für die Folge $(\overline{X}_n)$ erfüllt sind (indem du dir insbesondere überlegst, wie du für gegebenes $\epsilon$ aus dem nach oben existierenden $\delta$ für die Folge $(X_n)$ ein passendes $\delta$ für die Folge $(\overline{X}_n)$ baust). LG, semasch


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Lieber semasch, nochmals vielen dank für deine Hilfe, ich hab mich nun etwas in das Thema eingelesen und auch einen Beweis für ebendiese Aussage gefunden bei der ich feststeckte (siehe Corollary 1 hier). Damit und mit Taylor konnte ich dann \quoteon(2022-01-20 08:51 - semasch in Beitrag No. 1) \[\Phi_{X_1}\left(\frac{t}{n}\right) = e^{ic\frac{t}{n}} \left(1+\frac{\Phi_{\overline{X}_n}(t)-e^{ict}}{e^{ict}}\right)^{\frac{1}{n}} = 1 + ic\frac{t}{n} + o\left(\frac{t}{n}\right)\] \quoteoff zeigen, damit folgt natürlich \(\Phi_{X_1}'(0) = ic\) und damit wiederum die Behauptung. LG Mathler


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