| |
| Autor |
  Laurent-Reihe der Inversion |
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2238
Wohnort: Köln
 |  Themenstart: 2022-01-19
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo miteinander,
es sei $\mathbb D:=B_1(0)\subseteq \mathbb C, \ \Delta:=\mathbb C\setminus \overline{\mathbb D}$ und wir betrachten die Familie
$$
\Sigma:=\left\lbrace g\colon \Delta\to \mathbb C \mid g \text{ holomorph und injektiv}, g(z)=z+\sum_{n=0}^\infty b_nz^{-n}\right\rbrace.
$$
(Die Funktionen in $\Sigma$ sind normalisiert, so dass sie einen einfachen Pol mit Residuum $1$ in $\infty$ haben).
Es sei nun $f\colon \mathbb D\to \mathbb C$ holomorph und injektiv mit $f(0)=0$ und $f'(0)=1$, i.e.
$$
f(z)=z+\sum_{n=2}^\infty a_nz^n, \ a_n\in \mathbb C.
$$
Dann existiert eine ungerade injektive holomorphe Quadratwurzel $h\colon \mathbb D\to \mathbb C$ mit $h(0)=0$ und $h'(0)=1$ von $f(z^2)$, d.h. $h(z)^2=f(z^2)$. Wir setzen nun
$$
\ell\colon \Delta\to \mathbb C, \ \ell(z)=\frac{1}{h(1/z)}.
$$
Gesucht ist nun die Laurent-Reihe von $\ell$ um $0$ in Termini der $a_n$. Zunächst gilt
$$
\ell(z)=\frac{1}{h(1/z)}=\frac{1}{f(1/z^2)^{1/2}}=\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{a_2}{2z^3}+\dots}=z\left(\frac{1}{1+\frac{a_2}{2z^2}+\dots}\right)
$$
und an dieser Stelle fällt mir nun nicht wirklich direkt ein, wie ich den Kehrwert loswerden könnte. Es erinnert natürlich an die geometrische Reihe, aber ein "sauberes" Argument gelingt mir gerade nicht. Hätte da jemand einen Hinweis?
Aus anderen Überlegungen weiß ich, dass am Ende wohl
$$
\ell(z)=z\left(\frac{1}{1+\frac{a_2}{2z^2}+\dots}\right)=z-\frac{a_2}{2z}+\dots
$$
gelten muss.
Vielen Dank für jeden Hinweis.
LG Nico\(\endgroup\)
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2238
Wohnort: Köln
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19
|
Hat sich erledigt.
LG Nico
|
Profil
|
| nzimme10 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
