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Analysis » Folgen und Reihen » Laurent-Reihe der Inversion
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Universität/Hochschule J Laurent-Reihe der Inversion
nzimme10
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  Themenstart: 2022-01-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander, es sei $\mathbb D:=B_1(0)\subseteq \mathbb C, \ \Delta:=\mathbb C\setminus \overline{\mathbb D}$ und wir betrachten die Familie $$ \Sigma:=\left\lbrace g\colon \Delta\to \mathbb C \mid g \text{ holomorph und injektiv}, g(z)=z+\sum_{n=0}^\infty b_nz^{-n}\right\rbrace. $$ (Die Funktionen in $\Sigma$ sind normalisiert, so dass sie einen einfachen Pol mit Residuum $1$ in $\infty$ haben). Es sei nun $f\colon \mathbb D\to \mathbb C$ holomorph und injektiv mit $f(0)=0$ und $f'(0)=1$, i.e. $$ f(z)=z+\sum_{n=2}^\infty a_nz^n, \ a_n\in \mathbb C. $$ Dann existiert eine ungerade injektive holomorphe Quadratwurzel $h\colon \mathbb D\to \mathbb C$ mit $h(0)=0$ und $h'(0)=1$ von $f(z^2)$, d.h. $h(z)^2=f(z^2)$. Wir setzen nun $$ \ell\colon \Delta\to \mathbb C, \ \ell(z)=\frac{1}{h(1/z)}. $$ Gesucht ist nun die Laurent-Reihe von $\ell$ um $0$ in Termini der $a_n$. Zunächst gilt $$ \ell(z)=\frac{1}{h(1/z)}=\frac{1}{f(1/z^2)^{1/2}}=\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{a_2}{2z^3}+\dots}=z\left(\frac{1}{1+\frac{a_2}{2z^2}+\dots}\right) $$ und an dieser Stelle fällt mir nun nicht wirklich direkt ein, wie ich den Kehrwert loswerden könnte. Es erinnert natürlich an die geometrische Reihe, aber ein "sauberes" Argument gelingt mir gerade nicht. Hätte da jemand einen Hinweis? Aus anderen Überlegungen weiß ich, dass am Ende wohl $$ \ell(z)=z\left(\frac{1}{1+\frac{a_2}{2z^2}+\dots}\right)=z-\frac{a_2}{2z}+\dots $$ gelten muss. Vielen Dank für jeden Hinweis. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

Hat sich erledigt. LG Nico


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nzimme10 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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