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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Warum ist die 3 zugleich maximales und minimales Element O.o
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Universität/Hochschule J Warum ist die 3 zugleich maximales und minimales Element O.o
kambocaoky
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55306_kaklak.png Also ein Maximum und ein Minimum gibt es hier nicht, aber die 3 ist das maximale Element und die 2 und die 3 sind zusammen nochmal das minimale Element, bei der Relation. Warum ist die 3 das minimale Element, mit der 2 zusammen?


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-19

Hast du mal versucht, das anhand der Definition der Begriffe maximales und minimales Element nachzuvollziehen?


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kambocaoky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 19:40 - ligning in Beitrag No. 1) Hast du mal versucht, das anhand der Definition der Begriffe maximales und minimales Element nachzuvollziehen? \quoteoff Ja, seit 1 Std, es ist minimales Element, wenn (v,u) nicht in der Relation enthalten ist, wobei u für die 3 steht! Aber (v,u) ist enthalten, weil die 3 ja maximales Element ist O.o


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-19

Zitiere bitte die Definition.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 19:43 - ligning in Beitrag No. 3) Zitiere bitte die Definition. \quoteoff https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55306_dew.png


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-19

Gut. Also ist 3 minimales Element, wenn: $(v, 3)\not\in R_\mid$ für alle $v\in U\setminus\{3\}$. Ist das so? Welche Tupel der Form $(v, 3)$ sind denn in $R_\mid$ für $v\in U$? Du musst ggf. nochmal nachschlagen, wie $R_\mid$ definiert ist.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 19:53 - ligning in Beitrag No. 5) Gut. Also ist 3 minimales Element, wenn: $(v, 3)\not\in R_\mid$ für alle $v\in U\setminus\{3\}$. Ist das so? Welche Tupel der Form $(v, 3)$ sind denn in $R_\mid$ für $v\in U$? Du musst ggf. nochmal nachschlagen, wie $R_\mid$ definiert ist. \quoteoff O.o in der Musterlösung steht, dass die 3 minimales Element sei, also die Musterlösung des profs. $R_\mid$ das weiß ich z. B. 5|25 also 5 teilt die 25, aber ich checke nicht wie die 3 da passt. (Ich würde sagen nur das Tupel (3,3) oder O.o?)


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-19

Ja, sicher steht das da, 3 ist ja auch das minimale Element. Aber wenn du verstehen willst, warum das so ist -- und das war ja u.a. deine Frage im Anfangsposting --, dann musst du bereit sein, diese Definition durchzuexerzieren. Also $R_\mid$ ist die Teilbarkeitsrelation auf $\IN^+$, gut. Ich übersetze jetzt mal den entsprechenden Teil der Definition, vielleicht wird es dann klarer. 3 ist minimales Element, wenn: $v \not\mid 3$ für alle $v\in U\setminus\{3\}$. Also wenn alle Elemente von U (außer der 3 selbst) kein Teiler von 3 sind. Wieder die Frage: Ist das so? Welche Elemente in $U$ sind denn Teiler von 3?


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 20:04 - ligning in Beitrag No. 7) Ja, sicher steht das da, 3 ist ja auch das minimale Element. Aber wenn du verstehen willst, warum das so ist -- und das war ja u.a. deine Frage im Anfangsposting --, dann musst du bereit sein, diese Definition durchzuexerzieren. Also $R_\mid$ ist die Teilbarkeitsrelation auf $\IN^+$, gut. Ich übersetze jetzt mal den entsprechenden Teil der Definition, vielleicht wird es dann klarer. 3 ist minimales Element, wenn: $v \not\mid 3$ für alle $v\in U\setminus\{3\}$. Also wenn alle Elemente von U (außer der 3 selbst) kein Teiler von 3 sind. Wieder die Frage: Ist das so? Welche Elemente in $U$ sind denn Teiler von 3? \quoteoff Aso O.o, ich ging davon aus, dass man in der Relation sien muss, dasmit minimales oder maximales gilt. Die 3 ist ja allgemein nicht in der Relation vorhanden, das wa rmir schon klar. Aber ich wusste nciht dass man daraus automatisch sagen kann, dass es dann minimales und maximales ist. Also ist das der Grund?


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 20:06 - kambocaoky in Beitrag No. 8) Aso O.o, ich ging davon aus, dass man in der Relation sien muss, dasmit minimales oder maximales gilt. \quoteoff Was meinst du mit "in der Relation"? \quoteon Die 3 ist ja allgemein nicht in der Relation vorhanden \quoteoff Was bedeutet das? Wenn man davon spricht, dass irgendwas in der Relation enthalten ist, dann meint man damit die Tupel, also z.B. $(2, 8)\in R_\mid$. Da ist $3$ also auf keinen Fall dabei, und das hat mit Minimal und Maximal auch nichts zu tun. Du musst also etwas anderes meinen.


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kambocaoky
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 20:10 - ligning in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-01-19 20:06 - kambocaoky in Beitrag No. 8) Aso O.o, ich ging davon aus, dass man in der Relation sien muss, dasmit minimales oder maximales gilt. \quoteoff Was meinst du mit "in der Relation"? \quoteon Die 3 ist ja allgemein nicht in der Relation vorhanden \quoteoff Was bedeutet das? Wenn man davon spricht, dass irgendwas in der Relation enthalten ist, dann meint man damit die Tupel, also z.B. $(2, 8)\in R_\mid$. Da ist $3$ also auf keinen Fall dabei, und das hat mit Minimal und Maximal auch nichts zu tun. Du musst also etwas anderes meinen. \quoteoff Ich meine, dass die 3 wahrscheinlich nur mit sich selber in der Relation ist oder o.O? Also (3,3) und die Definition sagt ja, dass die 3 damit sie minimales Element sein kann, immer links stehen muss, wenn sie vorkommt. Da die 3 aber garnicht, außer mit sich sich selbst, vorkommt bei der Teilungsrelation, ist es autoamtisch wahr, dass die 3 ein minimales Element ist, da IMplikation, aus falsch folgt wahr oder?


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-19

Ja genau, das ist richtig. 3 steht mit nichts anderem in Relation, damit ist es automatisch minimal und maximal. Jetzt überlege dir, warum 2 ein minimales Element ist, und ob es außer 3 noch ein weiteres maximales Element gibt.


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 20:16 - ligning in Beitrag No. 11) Ja genau, das ist richtig. 3 steht mit nichts anderem in Relation, damit ist es automatisch minimal und maximal. Jetzt überlege dir, warum 2 ein minimales Element ist, und ob es außer 3 noch ein weiteres maximales Element gibt. \quoteoff 2 ist minimal, da jede weitere 2^(größer als 1) der Teiler der davorigen zwei is,, nur die zwei alleine steht als einziger von den zweierpotenzen nur auf der linken Seite als teiler, nie als der der geteilt wird, ich glaube die 2 steht f+r die 4 als teiler, die 4 steht für die 8 als teiler oder? Dadurch ist die 2 minimal und die anderen zweier sind nciht minimal, da die links und rechts stehen.


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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-01-19

OK, das begründet, warum 2 minimal, aber nicht maximal ist. Gibt es noch ein weiteres maximales Element, oder ist 3 das einzige?


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 20:28 - ligning in Beitrag No. 13) OK, das begründet, warum 2 minimal, aber nicht maximal ist. Gibt es noch ein weiteres maximales Element, oder ist 3 das einzige? \quoteoff 3 ist das einzige, da die 2er ja links und rechts stehen, was ja gegen die Definition spricht, danke dir. ABER, wie sieht es aus bei einem Tupel, wo man die gleiche Zahl 2x hätte? Wenn ich z. B. (2,3) (2,5) (2,2) hätte, was heir nicht passt, aber sagen wir bei einer adneren Relation. Wäre die 2 noch minimales Element doer wäre es ein widerspruch, da die 2 mit sich selber rechts steht?


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-01-19

Die 2 steht bei $R_\mid$ auch mal links und rechts, weil 2 Teiler von sich selbst ist. Jede Zahl ist Teiler von sich selbst, das macht die Relation reflexiv und erlaubt damit, dass es überhaupt eine Halbordnung sein kann. Deshalb ist in der Definition von maximal und minimal auch jeweils von $U\setminus\{u\}$ die Rede: Gut und schön, dass $(u,u)\in R$, aber wir interessieren uns dafür, ob es außer $u$ noch andere Elemente gibt, die größer/gleich bzw. kleiner/gleich $u$ sind. Deine Relation $\{(2,2), (2,3), (2,5)\}$ ist keine Halbordnung, man müsste noch $(3,3)$ und $(5,5)$ hinzufügen. Dann wäre es eine, und dann ist $2$ minimales Element, $3$ und $5$ sind maximale Elemente.


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\quoteon(2022-01-19 20:39 - ligning in Beitrag No. 15) Die 2 steht bei $R_\mid$ auch mal links und rechts, weil 2 Teiler von sich selbst ist. Jede Zahl ist Teiler von sich selbst, das macht die Relation reflexiv und erlaubt damit, dass es überhaupt eine Halbordnung sein kann. Deshalb ist in der Definition von maximal und minimal auch jeweils von $U\setminus\{u\}$ die Rede: Gut und schön, dass $(u,u)\in R$, aber wir interessieren uns dafür, ob es außer $u$ noch andere Elemente gibt, die größer/gleich bzw. kleiner/gleich $u$ sind. Deine Relation $\{(2,2), (2,3), (2,5)\}$ ist keine Halbordnung, man müsste noch $(3,3)$ und $(5,5)$ hinzufügen. Dann wäre es eine, und dann ist $2$ minimales Element, $3$ und $5$ sind maximale Elemente. \quoteoff Nein, es gibt keine anderen maximalen Elemente, weil die anderen ja switchen, es darf ja nicht (v,u) für die 2er exisitieren, wenn die minimal sind, aber es gibt Tupel wo die 2er, die eine größere Potenz als 1 haben, rechts stehen oder? deshalb ist nur die 3 maximales Element.


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-01-19

\quoteon(2022-01-19 20:44 - kambocaoky in Beitrag No. 16) Nein, es gibt keine anderen maximalen Elemente, weil die anderen ja switchen, es darf ja nicht (v,u) für die 2er exisitieren, wenn die minimal sind, aber es gibt Tupel wo die 2er, die eine größere Potenz als 1 haben, rechts stehen oder? deshalb ist nur die 3 maximales Element. \quoteoff Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Begründung verstehe. Es ist einfach so, dass für jedes Element $u = 2^n$ ein weiteres Element $v\in U$ existiert mit $v\neq u$ und $u\mid v$, nämlich zum Beispiel $v = 2^{n+1}$, also ist $u$ nicht maximal. \quoteon Aber warum zählt die (3,3) (5,5) und (2,2) nicht? Also man könnte ja begründen, dass hier die 2 jetzt einmal so (v,u), also rechts steht und deshalb nicht mehr ein minimales Element, wie die 2er Potenzen, bei unserer derzeitigen Aufgabe, ist? \quoteoff Wie gerade schon geschrieben, in der Definition heißt es ja "für alle $v\in U\setminus\{u\}$". Man interessiert sich bei der Frage, ob $u$ ein minimales Element ist, nur dafür, ob es noch andere Elemente außer $u$ selbst gibt, die kleiner/gleich $u$ sind. Ansonsten wäre der Begriff ja auch sinnlos, da (Reflexivität!) jedes Element kleiner/gleich sich selbst ist.


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\quoteon(2022-01-19 20:55 - ligning in Beitrag No. 17) \quoteon(2022-01-19 20:44 - kambocaoky in Beitrag No. 16) Nein, es gibt keine anderen maximalen Elemente, weil die anderen ja switchen, es darf ja nicht (v,u) für die 2er exisitieren, wenn die minimal sind, aber es gibt Tupel wo die 2er, die eine größere Potenz als 1 haben, rechts stehen oder? deshalb ist nur die 3 maximales Element. \quoteoff Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Begründung verstehe. Es ist einfach so, dass für jedes Element $u = 2^n$ ein weiteres Element $v\in U$ existiert mit $v\neq u$ und $u\mid v$, nämlich zum Beispiel $v = 2^{n+1}$, also ist $u$ nicht maximal. \quoteon Aber warum zählt die (3,3) (5,5) und (2,2) nicht? Also man könnte ja begründen, dass hier die 2 jetzt einmal so (v,u), also rechts steht und deshalb nicht mehr ein minimales Element, wie die 2er Potenzen, bei unserer derzeitigen Aufgabe, ist? \quoteoff Wie gerade schon geschrieben, in der Definition heißt es ja "für alle $v\in U\setminus\{u\}$". Man interessiert sich bei der Frage, ob $u$ ein minimales Element ist, nur dafür, ob es noch andere Elemente außer $u$ selbst gibt, die kleiner/gleich $u$ sind. Ansonsten wäre der Begriff ja auch sinnlos, da (Reflexivität!) jedes Element kleiner/gleich sich selbst ist. \quoteoff Danke dir! Nur aus Interesse, heißt es wenn ich eine Menge hätte, z. B. nur 2 und meine 2 würde so vorkommen in der Relation : (2,2) als einziges Element, dann wäre die 2 mein minimales, maximales Element und zudem mein Maximum und Minimum oder?


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Ja, das ist richtig.


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kambocaoky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kambocaoky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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