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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Fragen zum Satz von Cantor-Bernstein-Schröder
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Universität/Hochschule J Fragen zum Satz von Cantor-Bernstein-Schröder
kambocaoky
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  Themenstart: 2022-01-20

Hi, der Satz von Cantor, Bernstein und Schröder lautet: Für beliebige Mengen A,B gilt: Exisitieren injektive Abbildungen von A nach B und von B nach A so sind A und B gleichmächtig. Ist das nichts adneres als eine Bijektion? ALso ist das nicht das gleiche wie wenn ich sagen würde, ich habe iene Bijektion von A nach B?


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helmetzer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20

Mengen sind niemals bijektiv. Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.


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kambocaoky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 11:20 - helmetzer in Beitrag No. 1) Mengen sind niemals bijektiv. Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. \quoteoff Ja der Satz von Cantor, Bernstein und dem anderen Futzi sagt aber, dass auch eine Gleichmächtigkeit herrscht, wenn man eine injektive Abbildung von A zu B und von B zu A hat, ist das das gleiche wie eine Bijektion?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 11:12 - kambocaoky im Themenstart) ALso ist das nicht das gleiche wie wenn ich sagen würde, ich habe iene Bijektion von A nach B? \quoteoff Der Satz sagt, dass aus der Existenz von injektiven Abbildungen in beide Richtungen die Existenz einer Bijektion folgt. \quoteon(2022-01-20 11:25 - kambocaoky in Beitrag No. 2) wenn man eine injektive Abbildung von A zu B und von B zu A hat, ist das das gleiche wie eine Bijektion? \quoteoff Nein, eine Bijektion läge vor, wenn zwischen den beiden injektiven Abbildungen $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to A$ der Zusammenhang $f\circ g=\operatorname{id}_B$ und $g\circ f=\operatorname{id}_A$ bestünde. --zippy


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kambocaoky
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 11:26 - zippy in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-01-20 11:12 - kambocaoky im Themenstart) ALso ist das nicht das gleiche wie wenn ich sagen würde, ich habe iene Bijektion von A nach B? \quoteoff Der Satz sagt, dass aus der Existenz von injektiven Abbildungen in beide Richtungen die Existenz einer Bijektion folgt. \quoteon(2022-01-20 11:25 - kambocaoky in Beitrag No. 2) wenn man eine injektive Abbildung von A zu B und von B zu A hat, ist das das gleiche wie eine Bijektion? \quoteoff Nein, eine Bijektion läge vor, wenn zwischen den beiden injektiven Abbildungen $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to A$ der Zusammenhang $f\circ g=\operatorname{id}_B$ und $g\circ f=\operatorname{id}_A$ bestünde. --zippy \quoteoff Okay, also der Satz sagt ja wenn ich von A nach B injektiv und von B nach A habe, so folgt eine Bijektion, warum steht das dann aber nicht für eine Bijektion, wie Du erläutert hast?


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helmetzer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-20

Du betreibst Haarspalterei. Wenn du den Beweis des erwähnten Satzes nachvollziehen kannst, siehst du, dass es alles andere als trivial ist, eine Bijektion anzugeben.


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