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| Autor |
  Fragen zum Satz von Cantor-Bernstein-Schröder |
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kambocaoky
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 15.01.2022
Mitteilungen: 51
 |  Themenstart: 2022-01-20
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Hi, der Satz von Cantor, Bernstein und Schröder lautet:
Für beliebige Mengen A,B gilt: Exisitieren injektive Abbildungen von A nach B und von B nach A so sind A und B gleichmächtig.
Ist das nichts adneres als eine Bijektion? ALso ist das nicht das gleiche wie wenn ich sagen würde, ich habe iene Bijektion von A nach B?
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helmetzer
Senior 
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1570
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20
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Mengen sind niemals bijektiv.
Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
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kambocaoky
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.01.2022
Mitteilungen: 51
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20
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\quoteon(2022-01-20 11:20 - helmetzer in Beitrag No. 1)
Mengen sind niemals bijektiv.
Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
\quoteoff
Ja der Satz von Cantor, Bernstein und dem anderen Futzi sagt aber, dass auch eine Gleichmächtigkeit herrscht, wenn man eine injektive Abbildung von A zu B und von B zu A hat, ist das das gleiche wie eine Bijektion?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 3589
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-20
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\quoteon(2022-01-20 11:12 - kambocaoky im Themenstart)
ALso ist das nicht das gleiche wie wenn ich sagen würde, ich habe iene Bijektion von A nach B?
\quoteoff
Der Satz sagt, dass aus der Existenz von injektiven Abbildungen in beide Richtungen die Existenz einer Bijektion folgt.
\quoteon(2022-01-20 11:25 - kambocaoky in Beitrag No. 2)
wenn man eine injektive Abbildung von A zu B und von B zu A hat, ist das das gleiche wie eine Bijektion?
\quoteoff
Nein, eine Bijektion läge vor, wenn zwischen den beiden injektiven Abbildungen $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to A$ der Zusammenhang $f\circ g=\operatorname{id}_B$ und $g\circ f=\operatorname{id}_A$ bestünde.
--zippy
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kambocaoky
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.01.2022
Mitteilungen: 51
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-20
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\quoteon(2022-01-20 11:26 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2022-01-20 11:12 - kambocaoky im Themenstart)
ALso ist das nicht das gleiche wie wenn ich sagen würde, ich habe iene Bijektion von A nach B?
\quoteoff
Der Satz sagt, dass aus der Existenz von injektiven Abbildungen in beide Richtungen die Existenz einer Bijektion folgt.
\quoteon(2022-01-20 11:25 - kambocaoky in Beitrag No. 2)
wenn man eine injektive Abbildung von A zu B und von B zu A hat, ist das das gleiche wie eine Bijektion?
\quoteoff
Nein, eine Bijektion läge vor, wenn zwischen den beiden injektiven Abbildungen $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to A$ der Zusammenhang $f\circ g=\operatorname{id}_B$ und $g\circ f=\operatorname{id}_A$ bestünde.
--zippy
\quoteoff
Okay, also der Satz sagt ja wenn ich von A nach B injektiv und von B nach A habe, so folgt eine Bijektion, warum steht das dann aber nicht für eine Bijektion, wie Du erläutert hast?
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helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1570
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-20
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Du betreibst Haarspalterei. Wenn du den Beweis des erwähnten Satzes nachvollziehen kannst, siehst du, dass es alles andere als trivial ist, eine Bijektion anzugeben.
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kambocaoky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kambocaoky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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