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Kombinatorik & Graphentheorie » Binomialkoeffizienten » Unterschied Bellnumber und Stirlingzahl zweiter Art?
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Universität/Hochschule J Unterschied Bellnumber und Stirlingzahl zweiter Art?
kambocaoky
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  Themenstart: 2022-01-20

Hi die Bell Number berechnet ja die ANzahl aller Partitionen einer n-elementingen Menge und die Stirlingzahl die Anzahl der Partitionen einer n-elementingen Menge in k nichtleere Teilmengen? Was bedeutet "die Anzahl der Partitionen einer n-elementingen Menge in k nichtleere Teilmengen? " Weil checke es gerade nicht, die Bellnumber addiert alle Stirlingzahlen und von was genau rechent die Stirlingzahl die Partition?


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, kombinatorische Begriffe versteht man häufig am besten, wenn man einmal von Hand ein kleines Beispiel durchrechnet. Nehmen wir die Menge $X:=\{1,2,3\}$. Diese können wir partitionieren in: - drei (nichtleere, disjunkte) Teilmengen: $X= \{1\}\cup\{2\}\cup\{3\}$. Es gibt genau eine solche Partition, also ist $S(3,3)=1$ ($S(n,k)$ ist die Stirlingzahl zweiter Art) - zwei Teilmengen: $X= \{1\} \cup\{2,3\} = \{2\}\cup \{1,3\} = \{3\}\cup\{1,2\}$. Es gibt $3$ Möglichkeiten, also ist $S(3,2)= 3$. - eine Teilmenge: $X=\{1,2,3\}$ hier gibt es wieder genau eine Möglichkeit, also ist $S(3,1)=1$. Die Bellzahl gibt jetzt an, wie viele Partitionen es insgesamt gibt (es wird also nicht mehr nach der Anzahl der Teilmengen unterschieden): $B_3 = 1+3+1 = 5$. \(\endgroup\)


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