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Mathematik » Zahlentheorie » Anzahl rationaler Zahlen mit beschränktem Zähler und Nenner
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Kein bestimmter Bereich Anzahl rationaler Zahlen mit beschränktem Zähler und Nenner
Nofi
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2022-01-20

Wieviele rationale Zahlen kann man durch Division von zwei natürlichen Zahlen kleiner gleich n bilden? Die Anzahl der formalen Bruchzahlen ist n^2, aber viele dieser Brüche kann man kürzen, so dass an verschiedenen rationalen Zahlen nur q(n) bleiben. Gegen welchen Grenzwert strebt q(n)/n^2 , wenn n gegen unendlich geht? Der Grenzwert muss irgendwo zwischen 0,6 und 0,65 liegen. Kennt jemand dieses Problem und weiß die Antwort?


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cramilu
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-20

Guten Abend Nofi, nachträglich noch herzlich willkommen im MP-Forum und auch noch ein Gutes Neues Jahr 2022! 🤗 Insgesamt wird es sich bei dem Problem um einen "Zwitter" aus Primzahlhäufigkeit und Kombinatorik handeln. Für den Anfang schon einmal ein einschlägiger Link zum Thema Primzahllücken ... Wie man eine Grenzwertabschätzung angehen könnte, erschließt sich mir noch nicht, aber ich werde das gerne weiter verfolgen! 😉


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Ixx
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Mitteilungen: 252
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-20

Moin, um erst einmal eine Formel zu erhalten, solltest du rekursiv vorgehen: Stelle dir vor, du hast schon alle Brüche aufgelistet, bei denen Zähler und Nenner jeweils durch $n-1$ beschränkt sind. Welche Brüche (und damit auch: wie viele) erhältst du zusätzlich, wenn du nun als Zähler bzw. als Nenner die Zahl $n$ zulässt? Wenn du diese Beschreibung hast, kannst du dich auch nach deinem Grenzwert umschauen. Dazu gibt es in der Literatur einige Quellen. Es sollte $\frac{6}{\pi^2}\approx 0{,}6079\dots$ herauskommen.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-20

\quoteon(2022-01-20 21:25 - Ixx in Beitrag No. 2) Es sollte $\frac{6}{\pi^2}\approx 0{,}6079\dots$ herauskommen. \quoteoff Was für ein faszinierendes Ergebnis! 👍


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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-20

Mit einer "Lösung" \(\frac{6}{\pi^2}\) müsste die Fragestellung dem Basler Problem artverwandt sein!? Ggf. handelt es sich um den Kehrwert einer Summe von Anteilen, und zwar denjenigen von Zahlen mit jeweils einem (Primzahlen), zwei, drei, usw. Primfaktoren an allen Zahlen von \(1\) bis \(n\) ... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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tactac
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Übrigens, falls man es doof findet, alle Paare aufzuzählen und ca. 40% Ausschuss zu haben, kann man die positiven rationalen mit Zähler, Nenner $\leq n$ auch sehr einfach direkt aufzählen, und man braucht keine kompliziertere Operation als die Addition!: \sourceon Haskell enumerate :: Integer -> [(Integer,Integer)] enumerate max = go 0 1 1 0 where go a b c d | e > max || f > max = [] | otherwise = go a b e f ++ [(e,f)] ++ go e f c d where e = a+c f = b+d \sourceoff liefert die entsprechenden Paare teilerfremder natürlicher Zahlen, sogar gleich nach Größe sortiert, wenn man sie als Bruch interpretiert. \sourceon ghci *Main> enumerate 5 [(1,5),(1,4),(1,3),(2,5),(1,2),(3,5),(2,3),(3,4),(4,5),(1,1),(5,4),(4,3),(3,2),(5,3),(2,1),(5,2),(3,1),(4,1),(5,1)] \sourceoff \(\endgroup\)


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Nofi
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-21

Das Ergebnis 6/pi^2 ist ja zu schön um wahr zu sein!! Wo finde ich einen Beweis dafür??


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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2448
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-21

\quoteon(2022-01-21 10:22 - Nofi in Beitrag No. 6) Das Ergebnis 6/pi^2 ist ja zu schön um wahr zu sein!! Wo finde ich einen Beweis dafür?? \quoteoff Das ist z.B. Theorem 332 in G. H. Hardy and E. M. Wright, "An Introduction to the Theory of Numbers". 3rd ed., Oxford Univ. Press, 1954.


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Squire
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Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 809
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-21

Siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Teilerfremdheit unter "Eigenschaften". Grüße Squire [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3545
  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-21

Hallo, in der englischen Wikipedia findet man hier die Grundidee um die Aussage zu beweisen.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2375
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-02-06

Huhu, darüber hat Borcherds auch gestern hier referiert (Minute 35 - 40). Gruß, Küstenkind


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