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Mathematik » Stochastik und Statistik » Markovketten: Komme aus dem Gefängnis frei
Thema eröffnet 2022-01-21 22:38 von RickMai
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Universität/Hochschule Markovketten: Komme aus dem Gefängnis frei
RickMai
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  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Tippfehler so jetzt aber müsste es passen? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55330_1_L_sung.jpg


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  Beitrag No.41, eingetragen 2022-01-23

Das sieht richtig aus. Wenn du das abgibst, würde ich noch die Gleichungssysteme für die \(P(i)\) dazu schreiben und der Vollständigkeit halber noch die Lösungen der anderen \(P(i)\), obwohl es auf die letztlich nicht ankommt.


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RickMai
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  Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Ok mach ich. Achso und eins hätt ich fast vergessen. Wie genau sieht das hier mit der Induktion aus? Beweisen Sie über Vollständige Induktion. p^n=1/3^n * (3^n,0;3^n -1,1) Könnte mir das jemand vorrechnen bzw. zeigen? Das wäre super!


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  Beitrag No.43, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 13:50 - RickMai in Beitrag No. 42) Wie genau sieht das hier mit der Induktion aus? Beweisen Sie über Vollständige Induktion. p^n=1/3^n * (3^n,0;3^n -1,1) Könnte mir das jemand vorrechnen bzw. zeigen? Das wäre super! \quoteoff Was soll denn P sein? Den Zusammenhang mit der restlichen Aufgabe sehe ich schon gar nicht.


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RickMai
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  Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Achso ja prinzipiell ist es eine andere Aufgabe die lautet: Gegeben sei eine Markovkoette mit Übergangsmatrix P=1/3 (3,0;2,1) Beweisen Sie über Vollständige Induktion. p^n=1/3^n * (3^n,0;3^n -1,1)


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  Beitrag No.45, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 14:33 - RickMai in Beitrag No. 44) Achso ja prinzipiell ist es eine andere Aufgabe die lautet: Gegeben sei eine Markovkoette mit Übergangsmatrix P=1/3 (3,0;2,1) Beweisen Sie über Vollständige Induktion. p^n=1/3^n * (3^n,0;3^n -1,1) \quoteoff Ach so, und das hätte wir aus deinem Startbeitrag erraten sollen? 🙁 Weißt du denn, was ein Beweis mit vollständiger Induktion ist, und wie man da üblicherweise vorgeht?


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RickMai
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  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Wusste nicht, dass P benötigt wird. Also ich glaube, dass man es für ein n behauptet und dann weiter für ein n+1. Und das n+1 beweist man dann indem es dasselbe Ergebnis ist.


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gonz
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  Beitrag No.47, eingetragen 2022-01-23

Hallo miteinander, ich möchte zu dem Bildchen aus Post #40 unter A) noch anmerken, dass die Zustände 0 und 8 absorbierend sind und in der unteren Zeile die Pfeile mit 0.4 und 0.6 vertauscht sind... Grüße aus dem Harz Gonz


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  Beitrag No.48, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 16:08 - gonz in Beitrag No. 47) ich möchte zu dem Bildchen aus Post #40 unter A) noch anmerken, dass die Zustände 0 und 8 absorbierend sind und in der unteren Zeile die Pfeile mit 0.4 und 0.6 vertauscht sind... \quoteoff Das stimmt allerdings. Von 0 und von 8 dürfen keine Pfeile starten. Und die Beschriftung stimmt an zwei Stellen nicht. \quoteon(2022-01-23 15:30 - RickMai in Beitrag No. 46) Also ich glaube, dass man es für ein n behauptet und dann weiter für ein n+1. Und das n+1 beweist man dann indem es dasselbe Ergebnis ist. \quoteoff Kannst du irgendwie als Formel schreiben, was zu beweisen ist?


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RickMai
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  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Evtl. so könnte das aussehen. P^(n+1)=P^n*P= 1/3^n*(3^n,0;3^n -1,1)*1/3*(3,0;2,1)=1/3^(n+1)*(3^(n+1),0;3^(n+1) -1,1)


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  Beitrag No.50, eingetragen 2022-01-23

Na, geht doch 👍


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RickMai
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  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

😎👍 Nice eine letzte Frage noch zum Sonntag. Folgende Aussage ist zu beweisen: Hat eine Markovkette genau zwei Kommunikationsklassen, dann muss eine abgeschlossen sein. Gilt die Aussage auch für drei Kommunikationsklassen? Kann mir hier noch einer bei der Lösung helfen?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.52, eingetragen 2022-01-23

Es ist immer sinnvoll, für eine neue Frage (die nicht direkt was mit dieser Frage zu tun hat) einen neuen Thread zu eröffnen. Vielleicht erläuterst du auch noch kurz, was eine Kommunikationsklasse ist und wann diese abgeschlossen ist. Mir sagen die Begriffe gerade nichts.


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RickMai
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  Beitrag No.53, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

Hier ich hab dir das zusammengefügt. Kannst damit was anfangen? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55330_1Eins.jpg https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55330_2Zwei.jpg https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55330_3Drei.jpg


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cramilu
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  Beitrag No.54, eingetragen 2022-01-24

Hallöle! 😉 Meiner selbstauferlegten Sonntagsabstinenz geschuldet antworte ich erst jetzt wieder. Der Wichtigkeit nach... @zippy: Meine herzlichsten Glückwünsche zu Deinen höchst verdienten beiden Awards für Mathe und Physik sowie zum zweiten Platz für Informatik - wow! 😮 @tactac: Verdienter Award-Gewinner für Informatik, ehrerbietigst-herzliche Huldigung Dir! 😉 @gonz: Nicht minder herzlich gratuliere ich Dir, Silberkrönchenmitbekränzter! 🤗 Und damit gleich weiter... Ihr Nasen! Als ich mich am späten Samstag Abend auf tactacs Lösung hin genötigt sah, mich nochmals meinem eigenen Bruchrechnungserbrochenen zuzuwenden, fiel mir alsbald die Fehlerhaftigkeit meines Diagrammes zur "vorsichtigen Strategie" auf. Und danach außer mir erst wieder gonz!? Heieiei... 🙄 Ich habe das inzwischen korrigiert. RickMai, was die Rechnerei anbelangt, stimme ich StrgAltEntf zu von wegen »festes Schema« oder »Gauß-Algorithmus«! Nicht jeder ist so arm an Fehl wie tactac, dass man sich da flugs einen pervaliden Solver programmiert. Und Selberrechnen übt halt kolossal - bei Bedarf so lange, bis auch eine geeignete Probe hinhaut! Bei meiner eigenen Rechnerei etwa hätte mir ja ein Fehler unterwegs genügt, um bei einem falschen Resultat zu landen. Großzügig wie ich bin, hatte ich jedoch gleich derer zwei "spendiert"... ich Hirsch! Den "Zielbruch" \(\frac{608}{6.305}\) für \(P(3)\) hatte mir tactac noch kurz vor Antritt meiner Nachrechnung "zugesteckt" - merci! 😉 Ihr seid ja inzwischen offenkundig schon deutlich weiter. Dennoch mahne ich angesichts des Gestolperes zu Anfang dringend weitere Übungsaufgaben an, RickMai ... 😎 p.s. Fragt man sich, mit welchen Mitteln man im Knast eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \(40:60\) bewirken könnte, so wäre im Geometrie-Flügel die Antwort schnell erkannt: Man nehme einen Ikosaëder-Würfel und "gewinnt", wenn man eine Primzahl wirft!


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.55, eingetragen 2022-01-24

Nach den netten Worten zum Wochenstart von Cramilu und den Wünschen an die Awardpreisträger (denen ich mich anschließe) zurück zu #53. @RickMai: Eine Definition der Abgeschlossenheit finde ich nicht bei dem, was du gepostet hast. Aber mittlerweile habe ich es ergoogeln können. Versuch doch mal mit eigenen Worten zu beschreiben, was Kommunikationsklassen sind und wann diese abgeschlossen sind. Vielleicht gelingt es dir dann, die nicht allzu schwere Aufgabe zu lösen.


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cramilu
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  Beitrag No.56, eingetragen 2022-01-24

Was das Üben etc. anbelangt... @RickMai, Du hattest Deine Antwort zu e) bislang lediglich mit der höheren Freikomm-Wahrscheinlichkeit begründet. Außerdem bietet die "mutige Strategie" den Vorteil, dass Herr Schmidt in höchstens drei Durchgängen seine Nerven belasten muss. Du könntest ja auch noch ausrechnen, wie hoch bei beliebig vielen Schmidts, welche sich für die "mutige Strategie" entscheiden, jeweils die Wahrscheinlichkeit ist, nach einem, zwei oder drei Durchgängen Gewissheit zu haben. Zu meiner in Beitrag #26 skizzierten Zusatzstrategie hab' ich folgendes raus: \showon \(P_{halbvorsichtig}(3)\:=\:\frac{152}{935}\:\approx\:0,16256684492\) [EDIT: Beim hier ursprünglich geposteten Bruch war der Nenner "965" falsch (abgeschrieben). Danke, tactac, für Deinen Hinweis!] zum Vergleich: \(P_{vorsichtig}(3)\:=\:\frac{608}{6.305}\:\approx\:0,0964314036479\) \(P_{mutig}(3)\:=\:\frac{32}{125}\:=\:0,256\) \showoff


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RickMai
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  Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Ja ha gott na, wos isn do los Cramilu ^^ und das auf einen Montag Morgen ^^ Ich kenn zwar keinen und weiß nicht für was, nichts desto trotz auch von mir GRATULATION. 👌 @StrgAltEntf Also Kommunikationsklassen sind, wenn jeder Zustand mit jedem Zustand kommuniziert. Sprich jeder von jedem aus erreichbar ist. Geschlossen ist er dann, wenn ein Zustand vom anderen nicht mehr erreichbar ist. Aber warum muss einer bei zwei geschlossen sein? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.55 begonnen.]


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  Beitrag No.58, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Cramilu Die Gewissheit ist nach einem Schritt hat noch garkein Gewissheit, weil ein möglicher Gewinn/Verlust so noch nicht zu erreichen ist, zwei Schritten das gleiche


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  Beitrag No.59, eingetragen 2022-01-24

\quoteon(2022-01-24 09:48 - RickMai in Beitrag No. 57) @StrgAltEntf Also Kommunikationsklassen sind, wenn jeder Zustand mit jedem Zustand kommuniziert. Sprich jeder von jedem aus erreichbar ist. Geschlossen ist er dann, wenn ein Zustand vom anderen nicht mehr erreichbar ist. Aber warum muss einer bei zwei geschlossen sein? \quoteoff Ich hatte das genau anders rum verstanden: Von einer geschlossenen Klasse kommt man in keine andere Klasse. Was wäre denn, wenn beide Klassen nicht geschlossen wären?


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RickMai
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  Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-24

Ja stimmt geschlossen ist, wenn man nicht mehr raus kommt. Wenn beide Klassen nicht geschlossen wären, dann wären Sie offen. Und somit wieder von allen erreichbar.


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  Beitrag No.61, eingetragen 2022-01-24

\quoteon(2022-01-24 15:26 - RickMai in Beitrag No. 60) Ja stimmt geschlossen ist, wenn man nicht mehr raus kommt. Wenn beide Klassen nicht geschlossen wären, dann wären Sie offen. Und somit wieder von allen erreichbar. \quoteoff Nein. Wenn beide Klassen nicht abgeschlossen wären, würde man aus beiden Klassen raus kommen können. Aber wohin? Natürlich in die jeweils andere Klasse! Was hätte das aber für eine Konsequenz?


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RickMai
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das man in die jeweils andere Klasse kommt?


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\quoteon(2022-01-24 17:36 - RickMai in Beitrag No. 62) das man in die jeweils andere Klasse kommt? \quoteoff Ja, genau, aber wieso kann das nicht sein?


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RickMai
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😂Ich komm nicht drauf


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  Beitrag No.65, eingetragen 2022-01-24

Dann löse ich mal auf. Es seien A und B die beiden Kommunikationsklassen. (Irgend einen Namen muss man denen ja geben.) Da A eine solche Klasse ist kommt man von jedem Zustand aus A zu jedem anderen Zustand aus A. Gleiches gilt für B. Wenn A nicht abgeschlossen ist, gibt es einen Zustand a aus A und einen Zustand b aus B, so dass man von a nach b kommt. Dann gilt aber sogar: Man kommt von JEDEM Zustand aus A zu JEDEN Zustand aus B. Klar wieso? Wenn auch B nicht abgeschlossen ist, dann gilt entsprechend: Man kommt von jedem Zustand aus B zu jeden Zustand aus A. Das heißt, dass sich alle Zustände aus A und B in einer gemeinsamen großen Kommunikationsklasse befinden. Es gibt also nur eine Kommunikationsklasse und nicht zwei. Das ist ein Widerspruch. Für drei Klassen kannst du es jetzt probieren. \showon Tipp Auch hier lautet die Antwort Ja. \showoff


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RickMai
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  Beitrag No.66, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

aaaaaa hahahah jetzt glaub hab Ichs gecheckt. Weil wenn zwei quasi offen sind komm ich von jeder zu jeder und somit ist es nur noch eine Kommunikationsklasse. Bei drei Klassen müssen dann aber zwei geschlossen sein. Weil wenn nur eine geschlossen ist, sagen wir c, dann kommt man ja wieder von a nach b und von b nach a somit wären wieder bei offen und es gäbe nur zwei Kommunikationsklassen. Sag das es so passt 😎😃


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\quoteon(2022-01-25 08:57 - RickMai in Beitrag No. 66) Bei drei Klassen müssen dann aber zwei geschlossen sein. Weil wenn nur eine geschlossen ist, sagen wir c, dann kommt man ja wieder von a nach b und von b nach a somit wären wieder bei offen und es gäbe nur zwei Kommunikationsklassen. Sag das es so passt 😎😃 \quoteoff Leider nicht 🙁 Du hast nicht das bewiesen, was bewiesen werden soll. Und das leider auch noch falsch. Es kann nämlich durchaus sein, dass bei drei Klassen nur eine Klasse abgeschlossen ist. Überlege dir mal ein Beispiel, wie das zustande kommen kann. Zu beweisen ist: Bei drei Kommunikationsklassen ist mindestens eine der drei Klassen abgeschlossen. (Du wolltest zeigen "mindestens zwei".)


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RickMai hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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