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Universität/Hochschule J Sinus und Cosinus umwandeln
Sandrob
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  Themenstart: 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\) Hallo zusammen😁 Seien A und B reelle Zahlen. Wie genau kann ich den Ausdruck $A\sin(x)+B\sin(x)$ nach $C\cos(x-\varphi)$ umwandeln und was sind die Ausdrücke für C und $\varphi$ in Abhängigkeit von A und B? Liebe Grüsse Sandro\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 11:13 - Sandrob im Themenstart) Seien A und B reelle Zahlen. Wie genau kann ich den Ausdruck $A\sin(x)+B\sin(x)$ nach $C\cos(x-\varphi)$ umwandeln und was sind die Ausdrücke für C und $\varphi$ in Abhängigkeit von A und B? \quoteoff Das ist nicht so schwer. Setze gleich $A\sin(x)+B\sin(x) =C\cos(x-\varphi)$, wende das entspr. Additionstheorem an und mache einen Koeffizientenvergleich.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-23

Huhu Sandrob, siehe auch dort: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=226796&start=0#p1654056 Gruß, Küstenkind


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Sandrob
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\) Danke euch beiden schon mal für die Antwort! Ich habe nun leider gerade bemerkt, dass ich in meinem ersten Beitrag fälschlicherweise 2 mal den Sinus geschrieben habe. Gemeint war eigentlich folgendes: $A\sin(x)+B\cos(x)$ Wahrscheinlich ist aber auch dies über das Additionstheorem für $\cos(x-\varphi)$ zu lösen oder😁?\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-23

Ach, da stand zweimal der Sinus?! Das habe ich glatt aus Gewohnheit überlesen. Nun ja - mein Link bezieht sich natürlich auf die korrigierte Fassung. Gehe, wie dort beschrieben, einfach zu Polarkoordinaten über. Gruß, Küstenkind


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Wario
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-23 11:51 - Sandrob in Beitrag No. 3) Danke euch beiden schon mal für die Antwort! Ich habe nun leider gerade bemerkt, dass ich in meinem ersten Beitrag fälschlicherweise 2 mal den Sinus geschrieben habe. Gemeint war eigentlich folgendes: $A\sin(x)+B\cos(x)$ Wahrscheinlich ist aber auch dies über das Additionstheorem für $\cos(x-\varphi)$ zu lösen oder😁? \quoteoff Habe ich jetzt auch übersehen, aber ändert nichts an der beschriebenen Vorgehensweise.


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Sandrob
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\) Dann wäre also $A\sin(x)+B\cos(x)$ mit $A=r\sin(\varphi)$ und $B=r\cos(\varphi)$ somit $r\sin(\varphi)\cdot \sin(x)+r\cos(\varphi) \cdot \cos(x)=C\cos(x-\varphi)$. Daraus können wir auf $C=r=\sqrt{A^2+B^2}$ schliessen und dann auf $\sin(\varphi)=\frac{A}{r}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ und dann mit dem Arkussinus auf $\varphi$ und dann hätten wir die Konstanten $C$ und $\varphi$ bestimmt. Denke, so sollte ich es verstanden habe! Danke für eure Hilfe😁\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-23

Beachte aber was bei Wiki bzgl. der Fallunterscheidung geschrieben ist. Siehe auch dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Arctan2 Gruß, Küstenkind


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