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Analysis » Maßtheorie » Verteilungsfunktion von Bildmaß
Autor
Universität/Hochschule J Verteilungsfunktion von Bildmaß
ichbinteich
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 12
  Themenstart: 2022-01-24

Hallo zusammen, ich bräuchte einmal dringend Hilfe bei einer Aufgabe zum Thema Maßtheorie. Die Aufgabe lautet wie folgt: Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum \( (\mathbb{R}, B, P ) \). Sei X : \( (\mathbb{R}, B) − (\mathbb{R}, B) \) mit \( X(\omega) = \omega \) für alle \( \omega \in \mathbb{R} \) die Identität und \(Y_n = \min(|X|,n), \ n \in N \). Sei in diesem Aufgabenteil P die Rechteckverteilung auf \([0, 2]\). Ich soll nun für jedes \(n \in \mathbb{N} \) die Verteilungsfunktion des Bildmaßes \(P^{Y_n} \) bestimmen. Ich weiß, dass das Bildmaß definiert ist als \(P^{Y_n}(x) = P(Y_n^{-1}(x))\), habe allerdings bereits Probleme das Urbild von \(Y_n\) in Abhängigkeit von \(n\) zu bestimmen. Bin für jede Hilfe und jeden Tipp sehr dankbar! Danke schon mal im Voraus.

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semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 527
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-26

Moin ichbinteich, es ist für $y \in \mathbb{R}$ \[F_{Y_n}(y) = P^{Y_n}((-\infty,y]) = P(Y_n \le y) = \frac{1}{2} \lambda([0,2] \cap [Y_n \le y]) \tag{1}\] mit der Verteilungsfunktion $F_{Y_n}$ von $Y_n$. Um $[Y_n \le y] = \{\omega \in \mathbb{R}: Y_n(\omega) \le y\}$ zu bestimmen, verwende die Definition $Y_n(\omega) = \min(|\omega|,n) \in [0,n]$ für $\omega \in \mathbb{R}$. Ist $y < 0$, so ist offenbar $[Y_n \le y] = \emptyset$, ist $y \ge n$, so ist offenbar $[Y_n \le y] = \mathbb{R}$. Überlege dir, dass für $y \in [0,n)$ \[Y_n(\omega) \le y \iff |\omega| \le y \iff \omega \in [-y,y]\] gilt, d.h. $[Y_n \le y] = [-y,y]$. Bestimme damit aus $(1)$ die Verteilungsfunktion $F_{Y_n}$. LG, semasch PS: Du kannst dir außerdem überlegen, dass für $n \ge 3$ die Beziehung $Y_n = Y_2$ $P$-fs gilt und daraus $F_{Y_n} = F_{Y_2}$ folgern, womit es reicht, die Verteilungsfunktionen für $n = 0, 1, 2$ zu bestimmen.

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ichbinteich
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.10.2018
Mitteilungen: 12
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

Vielen lieben Dank!!!!

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ichbinteich hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
ichbinteich hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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