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Mathematik » Geometrie » trigonometrische Berechnung
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Beruf J trigonometrische Berechnung
Vorrichter
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  Themenstart: 2022-01-25

Guten Tag, Gegeben seien zwei Rohrleitungen mit einem Höhenunterschied von 3000 mm die sich,in die Ebene projiziert, unter einem Winkel von 30° schneiden würden. Beim Modellieren des Verlaufes dieser Rohrleitung komme ich auf folgenden Ausdruck zur Berechnung des gesuchten Winkels \(\alpha\) $$\sin(\arccos(\frac{\cos\alpha}{\cos 15°}))=\frac{3000}{2*5080*\tan\frac{\alpha}{2}}.$$ Hierbei bezeichnet \(\alpha\) den Raumwinkel, die 15° dessen horizontalen Anteil, 3000 mm sind der Höhenunterschied der beiden Rohre und 5080 bezeichnet den Biegeradius der Bögen. Mein Problem besteht nun in der Berechnung von \(\alpha\).


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cramilu
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-25

Hallo Vorrichter und willkommen! Zwei Wikipedia-Links: Formelsammlung Trigonometrie Arkussinus und Arkuskosinus \(\cos(15°)\:=\:\frac{\sqrt{6}\,+\,\sqrt{2}}{4}\) \(\sin(\arccos(x))\:=\:\sqrt{1\,-\,x^2}\) \(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\:=\: ... \:=\:\sqrt{\,\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}\,}\) Mit Einsetzen, Umformen, beiderseitigem Quadrieren... ... komme ich auf eine bzgl. \(\cos(\alpha)\) kubische Gleichung, in der ich als nächstes substituieren würde... Ob und wenn, wie es einfacher gehen könnte, erkenne ich im Moment nicht. 😉


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haribo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-25

als grössenordnung: 3D zeichnerisch mit probieren komme ich auf ca. 46°


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majoka
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-25

\quoteon(2022-01-25 15:36 - haribo in Beitrag No. 2) als grössenordnung: 3D zeichnerisch mit probieren komme ich auf ca. 46° \quoteoff Mit dem Newton-Verfahren komme ich auf $\alpha\approx 46.025877846679762°$. Es gibt aber mehrere Nullstellen.


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haribo
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-25

46,028 hab ich gemessen, was mich verwirrt, der start bogen ist dabei auch nahezu exakt 15° zur seite gekippt, als wäre der biegeradius 5080 genau für diesen fall gewählt worden ich hab nur die kippwinkel 10°; 20° und dann dazwischen nur 15° probiert


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-25

Huhu, \quoteon(2022-01-25 14:16 - cramilu in Beitrag No. 1) Ob und wenn, wie es einfacher gehen könnte, erkenne ich im Moment nicht. 😉 \quoteoff einfacher wäre es wohl, diese Gleichung einfach in ein CAS einzugeben. Oder gibt es einen vernünftigen Grund dieses nun per Hand ausrechnen zu wollen? Gruß, Küstenkind


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Vorrichter
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-25

Vielen Dank für die vielen Beiträge! Die 46,02° erhalte auch ich als Lösung, wenn ich $$ \sqrt{1-\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2 15°}}*\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{3000}{2*5080}$$ in ein CAS eingebe. Diese ist auch für praktische Belange mehr als genau. Werde auf jeden Fall majoka's Variante mit dem Newton Verfahren probieren. @KüstenKind: Ich hatte jedoch die Hoffnung, eine allgemeine Lösungsformel herleiten zu können, um die Berechnung auch bei variablem Horizontalwinkel, variabler Höhe und variablem Biegeradius durchführen zu können. @haribo: die knapp 15° seitliche Neigung sind nur zufällig mit dem horizontalen Winkelanteil identisch . Bei anderen Biegeradien und/oder anderen Höhen ergeben sich unterschiedliche Werte.


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haribo
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-25

zufällig ist eher unwarscheinlich, eher konstruiert denn in der richtung geht das einfacher halber horizontalwinkel =20° vorgewählter kippwinkel auch 20° dann auf die höhe=3000 skaliert ergibt radius=5059,6 bei raumwinkel~46,8° höhe und radius hängen also linear voneinander ab, insofern bräuchtest du allgemein nur die drei anderen werte in beziehung zueinander setzen


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Vorrichter
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

Der Biegeradius, hier 5080 mm, ist konstant und hängt vom Rohrdurchmesser und der sogenannten BogenBauart ab. Aus diesem Radius folgt über den Zusammenhang $$ Bogenauslage = Biegeradius*\tan\frac{\alpha}{2}$$ die jeweilige Auslage. Hier nun eine Konstruktion mit größerem Rohrdurchmesser 800 mm und einer geringeren Höhe von 2500 mm. Dank cramilu`s Ansatz erhalte ich eine kubische Gleichung, die ich nach majoka`s Hinweis mit dem Newton Verfahren lösen kann. Vielen Dank und beste Grüße Vorrichter


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cramilu
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-26

Seien \(h\) der Höhenunterschied (z.B. \(3.000\,mm\)) \(r\) der Biegeradius (z.B. \(5.080\,mm\)) \(\alpha\) der gesuchte Raumwinkel \(\omicron\) [omikron] dessen horizontaler Anteil (z.B. \(15°\)) \(v=\cos(\omicron)\) \(b=\cos(\alpha)\) Dann sollte sich die gefundene kubische Gleichung reduzieren lassen zu \(b^3\:-\:b^2\:-\:b\,\cdot\,\left(v^2+\frac{v^2\cdot h^2}{4\cdot r^2}\right)\:+\:\left[v^2-\frac{v^2\cdot h^2}{4\cdot r^2}\right]\:=\:0\) Aus jüngster Erfahrung: Flüchtigkeitsfehler vorbehalten! Bei WIKI findet sich unter Kubische Gleichung [1.2.2] mehr zur weitergehenden Reduktion. Ob es das, durchexerziert, "einfacher" macht, würde sich erweisen, falls eine Vielzahl ähnlicher Berechnungen erforderlich wäre. p.s. "Matheretter" hat mir als grobe Lösungen der Gleichung \(1,27085\) ; \(-0,96518\) ; \(0,69433\) ausgespuckt... Die Arkuskosinuswerte der letzteren beiden lauten dann \(\approx164,84°\) und \(\approx46,03°\) ; ersteres Maß würde zu einem "Doppel-S-Verlauf" der Rohre führen!? 😉 Für \(h\,=\,2.500\,mm\) lauten die korrespondierenden Werte bei gleichem[!] Biegeradius \(r\): \(\approx164,89°\) und \(\approx42,07°\) 😎


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haribo
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-01-26

formal gerechnet müsstest du die zweite mögliche lösung auch herausbekommen bei 30°;höhe=3000;und r=5080 läge sie bei alpha ca.~197° interessanterweise hat die wendetangente (gelb) dabei ein leichtes gefälle https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_trigober2.JPG [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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cramilu
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-26

gacker 😂 Bei solchen Leitungsverläufen muss ich unweigerlich an "Central Services" denken...


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haribo
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-01-26

spannend cramilu, 164 und 197 sind ~~ gleichweit von 180° entfernt, da ist deine zahl sicher die genauere, also könnte mein winkel auch 195.16° betragen ich nahm auch ne duppel-s kurve an, aber zeichnerisch kam ich dann in einer parallel liegenden richtung zum start heraus, drum glaub ich dass ich jetzt mit der schlaufe richtiger liege ? bzw deine wendetangente hat -15° als richtung, liegt also auch in der projektion auf den boden nicht paralell zur ersten wendetangente [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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cramilu
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-01-26

haribo, Du Durchblicker! 😉 Meine "Doppel-S-Annahme" war natürlich Quatsch, weil dadurch die Höhendifferenz überschritten würde; Spirale ist die richtige Denke! Nun könnte man natürlich noch erwägen, das ganze mit zwei Windungen zu basteln. 😂


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haribo
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-01-26

Zwei Windungen erfordern doch mehr als zwei Bogenstücke, oder? Doppel S geht auch, wenn Wendegerade -15 grad ok ist, aber auch davon dürfte es dann zwei Lösungen geben Kubische Gleichung also vier Lösungen?


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haribo
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-01-27

was sagste nun cramilu? ist doch eine schöne kleeblattkreuzung https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_trigober3.jpg offenbar muss die abzweigung in deine kurve noch etwas nach vorne verschoben werden damit der ausgang in der richtigen spur landet, bisher gibt es ja ein chrash und dann parallele ausgänge in 3000 höhe ich mach mich auf die suche nach dem vierten weg, startet der nach unten?


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haribo
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-01-27

voila der super loop, auch der vierte weg startet nach oben (kann ja auch gar nicht anders sein, nach unten startend kann man ja auch nach per 360° bogen noch nicht auf eine wendehöhe über der startstelle gelangen) https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_trigober4.JPG die vier alphawinkel sind: 46.03° 164.89° 360-164.89 = 195.11° 360-46.03 = 313.97° die strecken zwischen den abzweigen scheinen mit 2077 jeweils gleichlang zu sein alle radien 5080; alle wendewinkel auf der höhe 1500; jeweils zwei gleichlange bögen, alle enden in der gleichen geraden mit höhe 3000 und 30° verschwenkt


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haribo
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-01-27

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_trigober5.JPGAnsicht von rechts https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_trigober6.JPGDraufsicht


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cramilu
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-01-27

Vorrichter, da hast Du ja was "angerichtet"... 😉 haribo, was Du da "herausgeholt" hast, ist für mich schon wieder atemberaubend! 😃 Doch dazu später... Vorrichter, Kuestenkind hatte in Beitrag #5 eine Rückfrage zu meinem "einfacher" gestellt. Damit hatte ich nicht etwa eine kompromisslose Rechnung "von Hand" gemeint, sondern so weit gedeihliche algebraische Untersuchung, bis sich das Grundproblem möglichst "einfach" per CAS "lösen" lässt. Dazu im Einzelnen... Meine Reduktion auf die kubische Gleichung \(b^3\:-\:b^2\:-\:b\,\cdot\,\left(v^2+\frac{v^2\cdot h^2}{4\cdot r^2}\right)\:+\:\left[v^2-\frac{v^2\cdot h^2}{4\cdot r^2}\right]\:=\:0\) in Beitrag #9 scheint zu passen. Formen wir unter Verwendung Deiner Parameter um: \(1\cdot x^3\:+\:(-1)\cdot x^2\:+\:(-\cos^2(15°)\cdot\left(1+\left(\frac{3000}{2\cdot5080}\right)^2\right)\cdot x\:+\) ... ... \(+\:\cos^2(15°)\cdot\left(1-\left(\frac{3000}{2\cdot5080}\right)^2\right)\:=\:0\) \(\Leftrightarrow\) ... \(1\cdot x^3\:+\:(-1)\cdot x^2\:+\:\left(-\frac{70.141}{258.064}\cdot (2+\sqrt{3})\right)\cdot x\:+\) ... ... \(+\:\left(\frac{58.891}{258.064}\cdot (2+\sqrt{3})\right)\:=\:0\) Für "mein" CAS bei Casio brauche ich nun die vier Koeffizienten, und da ich dort gerne einen "30 digit overkill" verarbeiten lasse, benutze ich zuvor deren High Precision Calculator ... \(a\:=\:1\) \(b\:=\:-\,1\) \(c\:=\:-\,1,01435990953286247692552472968\) \(d\:=\:0,851665494251576169838198441075\) Damit liefert dann der Cubic Equation Calculator: \(x_1\:=\:-\,0,965179428420335280845186566616\) \(x_2\:=\:0,694333407187509418987143564334\) \(x_3\:=\:1,27084602123282586185804300228\) Da \(x=b=\cos(\alpha)\) , kann ich \(x_3>1\) "vergessen" und erhalte ansonsten: \(\alpha_1\:=\:\arccos(x_1)\:=\:164,835646509169815089317617647°\) \(\alpha_2\:=\:\arccos(x_2)\:=\:46,0258778466797598396279026737°\) "Overkill" done! 😎 Das \(\alpha_2\) ist Dein gesuchtes. Bei der Interpretation des \(\alpha_1\) stehe ich noch neben mir. haribo, Du hattest nun vier mir nachvollziehbare Konfigurationen dargestellt - herrlich, wie ich betonen mag! Liegt denn die abgewandte Schlaufenverbindung bei der rot-gelben Variante noch unterhalb oder schon oberhalb des oberen Zielstutzens? Wäre auch ein Verlauf denkbar, bei dem rot steiler nach links hinten oben läuft, und gelb dann entsprechend wieder steil nach unten? Und ließen sich mit jeweils zwei Bögen über 360° tatsächlich Doppelwindungen basteln? Das kriegt mein Hirn analytisch noch nicht hin. 🙄


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haribo
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-01-27

Ne also mit je zwei gleichen Bögen dürften diese vier alle sein Dein a1 ; a2 und jeweils 360 minus a1 sowie 360 minus a2 Ich hätte die Zeichnung nicht erstellen können wenn diese Werte nicht passen würden, ich kann sone 3D Geometrie ja nicht hinlügen und dann von oben und der Seite sowie als schrägansicht darstellen . Also ich gebe hier ja nur ein einziges 3D Gebilde aus unterschiedlichen Richtungen betrachtet aus. Und Bögen mit größer 360 grad, da darfst du kurz nachdenken... das ist mehr als ein Kreis der immer nach der ersten Runde gaaaanz genau in sich selber landet... da gibt’s also keine Lösung mit zwei derartigen Bögen...


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Vorrichter
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

Sehr interessant, was sich aus so einer Frage entwickeln kann. Es ist ein wirklich praktisches Problem aus dem Rohrleitungsbau. Ich habe also eine Methode berechne.Raumwinkel(höhe,durchmesser,schnittwinkel) implementiert, die, genau wie von cramilu beschrieben, aus den drei übergebenen Parametern die Koeffizienten der kubischen Gleichung erstellt und diese dann Schritt für Schritt löst. Da die Parameterwahl im konstruierbaren Bereich erfolgt(keine negativen Werte, keine unrellen Höhen und Winkel), sind alle drei Lösungen rell. Weiter sind in der Praxis keine Bögen größer 90 Grad üblich, so daß sich daraus schon die Auswahl mit einer if-Anweisung auf den kleineren Winkel ergibt. Das ist genau das, was ich gesucht habe, etwas umfangreicher als eine einfache Formel, aber voll funktionsfähig und hauptsächlich durch die hier erhaltenen Hinweise entstanden. Vielen Dank dafür! Bei ähnlichen Fragestellungen weiß ich jetzt, wo schnelle und effektive Hilfe zu erhalten ist😃. haribo mit welchem Programm hast du die faszinierenden Konstruktionen erstellt?


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haribo
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-01-28

auto-cad behalt mal die a2 cramilu-kurve im konstruktiven hinterkopf, sie ist dann ja auch mit je zwei teilstücken a2-90° sowie zwei praxiskonformen 90° bögen zusammenschraubbar, und hat ne prima praktische elastizität fals wärme-dehnungen ins spiel kommt, sie spart gegenüber den üblichen ausdehnungs konstruktionen zwei 90° bögen ein... zu welchem DN gehört der radius 5080mm?


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Vorrichter
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

Aha Auto-CAD👌 Radius 5080 mm gehört zu DN 500 (508 mm). Wenn D wie üblich den Durchmesser bezeichnet, so gibt es in den Biegeradien $$1*D;~ 1.5*D;~ 2.5*D;~ 5*D;~ 10*D$$ vom Werk gefertigte 90° Bögen, die dann vor Ort auf die entsprechenden Maße gebracht werden. Deswegen habe ich in der Methode berechne.Raumwinkel(höhe,durchmesser,schnittwinkel) den Durchmesser als Übergabeparameter gewählt.


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haribo
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-01-29

Vor Ort zugeschnitten, ok dann handelt es sich wohl um steckverbindungen und nicht um doppelflansch Verschraubungen bei denen auch noch die Löcher zum kippwinkel passen müssen


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Vorrichter
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-30

Die Rohre und Bögen bestehen aus Stahl und werden in unserem Fall ausschließlich verschweißt. Lochstellungen von Flanschverbindungen spielen daher glücklicherweise keine Rolle, was die Sache ungemein vereinfacht.😉


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Vorrichter hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Vorrichter hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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