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  Menge mit Inhalt 0 / Nullmengen |
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Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
 |  Themenstart: 2022-01-25
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Hallo zusammen,
da ich leider länger erkrankt war, muss ich aktuell einiges in der Analysis 2 nachholen. Ich bin heute beim Thema Nullmengen angelangt und über ein paar Aufgaben gestolpert, mit denen ich nicht klar komme.
Eine Menge hat Inhalt 0, wenn zu jedem \epsilon > 0 Quader Q1,....QN mit einem N=N(\epsilon) \el\ \IN so gibt, dass sum(Q_j,k=1,N) < \epsilon (Summe des Betrages von den Quadern Q_j) und eine endliche offene Überdeckung von M \subset\ \IR^n existiert.
Eine Menge ist ja beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist, also Alle Elemente von M sind größer gleich einer unteren Schranke a, bzw. kleiner gleich einer oberen Schranke b.
Sei dann also Meng M mit Inhalt 0 gegeben. Dann existiert ja zu jedem beliebigem ε>0 eine Aufsummierung der Volumen der Quader Q_j , die kleiner als dieses Epsilon sind. Wobei die Quader, ja aus der Menge M sind. Per Definition ist die Menge M dann ja nach oben beschränkt, oder ?
Für die Beschränktheit nach unten weiß man, dass man ja die Menge M in endlich viele Teilintervalle unterteilen kann, sodass jedes Intervall I_1 ,...., I_n einen Quader beinhaltet. Die Seitenlänge dieser Quader kann minimal 0 sein, womit jede Teilmenge nach unten durch 0 beschränkt ist und somit auch die Vereinigung dieser ganzen Teilelemente. Das hört sich für mich aber alles nicht wirklich flüssig an, weswegen ich für jeden Ratschlag dankbar bin.
für b)
M lässt sich als abzählbare Vereinigung einelementiger Mengen schreiben. Einelemntige Mengen sind nach Lebesgue Maß Nullmengen und somit ist M als Vereinigung dieser Nullmengen wieder Nullmenge
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_4535345.JPG
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Phoensie
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Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Sekorita
Deine Überlegungen sind (soweit ich das sehen kann) korrekt. Ich gebe dir hier meine Variante deiner Argumentation an, vielleicht hilft dir das, in deinen Gedankengängen weiter zu kommen:
Kommentar / Notation
Ich schreibe $\lambda_n$ für das Lebesguemass auf $\R^n$ und verwende das Symbol $\sqcup$ für die disjunkte Vereinigung von Mengen. Weiter setze ich voraus, dass du $\lambda_n(\{x\}) = 0, \forall x \in \R^n$ bewiesen hast.
Definition
Der Durchmesser einer Menge $A \subseteq \R^n$ sei definiert als \[\operatorname{diam}(A) := \sup\{\|a - b\| : a,b \in A\}.\] Weiter setzen wir $\operatorname{diam}(\emptyset):=0$. Dies können wir dann als Abbildung \[\operatorname{diam}: \mathcal{P}(\R^n) \to \R_+, A \mapsto \operatorname{diam}(A)\] auffassen.
Beweis (a)
Sei $M \subseteq \R^n$ eine Nullmenge. Da das Lebesguemass translationsinvariant ist, können wir O.B.d.A. annehmen, dass der Ursprung $0 \equiv (0,\ldots,0) \in \R^n$ in $M$ liegt: $0 \in M$. Sei $\varepsilon > 0$. Weil $M$ eine Nullmenge ist, existieren Quader $Q_k \subset \R^n$, $k \in \N$ (welche O.B.d.A. disjunkt gewählt werden können, wie man leicht mit einem Induktionsargument einsehen kann), sodass $M \subseteq \bigcup_{k \in \N} Q_k$ und $\sum_{k \in \N} \lambda_n(Q_k) < \varepsilon$. Aber Quader sind beschränkte Mengen, womit für alle $x \in M$ gilt:
\[
\begin{align*}
\|x\|
= \|x - 0\|
\leq \sup\{\|a - b\| : a,b \in M\}
= \operatorname{diam}(M)
\leq \operatorname{diam}\left( \bigcup_{k \in \N} Q_k \right)
\end{align*}
\]
Zeige nun, dass $\operatorname{diam}\left( \bigcup_{k \in \N} Q_k \right) < \infty$. Dann gilt nämlich
\[
\begin{align*}
\forall x \in M : \|x\| \leq \operatorname{diam}\left( \bigcup_{k \in \N} Q_k \right) < \infty,
\end{align*}
\]
womit $M$ eine beschränkte Menge im $\R^n$ ist, wie behauptet.
Beweis (b)
Sei $M \subseteq \R^n$ abzählbar. Dann lassen sich die Elemente von $M$ durchnummerieren, beispielsweise als $M =: \{ x_k \in M : k \in \N \}$. Dann folgt mit den Eigenschaften des Lebesguemasses direkt die Behauptung:
\[
\begin{align*}
\lambda_n(M)
= \lambda_n \left( \bigsqcup_{k \in \N} \{x_k\} \right)
= \sum_{k \in \N} \lambda_n \left( \{x_k\} \right)
= \sum_{k \in \N} 0
= 0.
\end{align*}
\]
Liebe Grüsse
Phoensie😉\(\endgroup\)
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-12
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Hallo,
danke für deine Hilfe. Die Aufgabe ist leider mittlerweile aus dem letzten Semester und ich wiederhole dieses Jahr die Analysis, aber bestimmt kann ich diese Antwort nochmal brauchen. Danke dafür und noch einen schönen Tag :)
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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