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Mathematik » Stochastik und Statistik » Geometrisch verteilte Zufallsvariable
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Universität/Hochschule J Geometrisch verteilte Zufallsvariable
chicolino
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  Themenstart: 2022-01-28

Hallo an alle :) Ich versuche momentan mit dem Thema "diskrete Zufallsvariablen" warm zu werden und rechne dafür ein paar Altklausur - Aufgaben durch. Seit einer ganzen Weile sitze ich aber vor einer Aufgabe zur geometrische Verteilung und komme kein Stück weiter. Ich hoffe, mir kann da jemand helfen. Die Aufgabe lautet: Es sei $p \in (0,1)$. Ein Seismograph zur Registrierung von Erdbeben wird um Mitternacht am Ende des kommenden Sonntags in Betrieb genommen. Die Tage nach Inbetriebnahme des Seismographen werden mit $\mathbb{N} = \{1,2, \ldots\}$ aufsteigend durchnummeriert. Die Nummer desjenigen Tages, an dem der Seismograph das erste Mal ein Erdbeben registriert, heiße $X$. Wir nehmen an, dass $X$ geometrisch verteilt ist mit Parameter $p$. (Zur Erinnerung: Damit gilt $\mathbb{P}[X = k] = (1-p)^{k - 1}p$ für alle $k \in \mathbb{N}$). Des Weiteren nummerieren wir die Wochentage Montag bis Sonntag mit den Zahlen $1$ (für Montag) bis $7$ (für Sonntag) durch. Es sei $T$ die Nummer des Wochentages, an dem das erste Erdbeben registriert wird. Darüber hinaus sei $W$ die Anzahl der vollen Wochen, die zum Zeitpunkt des ersten registrierten Erdbebens seit Inbetriebnahme des Seismographen verstrichen sind. Also nimmt $W$ Werte in $\mathbb{N}_{0} = \{0,1,2,\ldots \}$ an. (a) Stellen Sie $X$ als Funktion von $W$ und $T$ dar. (b) Bestimmen Sie $\mathbb{P}[\{ W = n \} \cap \{ T = i \}]$ für alle $n \in \mathbb{N}_{0}, i \in \{1, \ldots, 7\}$ (c) Bestimmen Sie $\mathbb{P}[T = i]$ für alle $i \in \{1, \ldots, 7 \}$. (d) Bestimmen Sie $\mathbb{P}[W = n]$ für alle $n \in \mathbb{n}_{0}$. (e) Sind die Zufallsvariablen $W$ und $T$ unabhängig? Ich denke, mir reichen nur die Teilaufgaben (a), (b) und (c). Danach müsste ich genug wissen, um den Rest alleine zu lösen. Nun zu meinen Fragen: 1. Frage: So wie ich es verstanden habe, sollen $X, W$ und $T$ Zufallsvariablen sein. In der VL haben wir diskrete Zufallsvariablen so definiert: Gegeben seien (1) zwei Messräume $(\Omega, \mathcal{F})$ und $(\Omega', \mathcal{F}')$ (2) eine Abbildung $X: \Omega \to \Omega'$ Die Abbildung $X$ heißt diskrete Zufallsvariable auf $(\Omega, \mathcal{F})$, falls a. das Bild $X(\Omega) = \{ X(\omega)\; \vert\; \omega \in \Omega \}$ abzählbar ist b. $\{ X = a \} := X^{- 1} (\{a \}) \in \mathcal{F}$ für alle $a \in X(\Omega)$ Ich frage ich in diesem Fall, wie $X, W$ und $T$ als Abbildung aussehen. Was ist in diesem Fall $\Omega, \mathcal{F}$ und $\Omega'$? Wie kann man die Abbildungsvorschrift beschreiben? Also wie kann man in diesem Fall beispielsweise die Aussage "X ist die Nummer desjenigen Tages, an dem der Seismograph das erste Mal ein Erdbeben registriert" mathematisch beschreiben? 2. Frage: Bei der a) würde ich einfach sagen, dass $X = W + T$. Oder irre ich mich? 3. Frage: Bei der b) komme ich nicht weiter. Allein schon deswegen, weil ich nicht weiß, was die einzelnen Mengen bedeuten. Was bedeutet beispielsweise die Menge $\{ W = n \}$? Kann man sie verständlicher umschreiben? Ich freue mich auf jede Antwort. Schöne Nacht noch, Chico


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-28

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-01-28 00:28 - chicolino im Themenstart) 1. Frage: Ich frage ich in diesem Fall, wie $X, W$ und $T$ als Abbildung aussehen. Was ist in diesem Fall $\Omega, \mathcal{F}$ und $\Omega'$? Wie kann man die Abbildungsvorschrift beschreiben? Also wie kann man in diesem Fall beispielsweise die Aussage "X ist die Nummer desjenigen Tages, an dem der Seismograph das erste Mal ein Erdbeben registriert" mathematisch beschreiben? \quoteoff Moin Chico, an die Bantwortung dieser Frage traue ich mich nicht recht heran. In meinem vllt etwas schlichten Verstaendnis ist $X:\Omega\to\IR$ eine Abbildung, fuer die $(X\le x):=\{\omega\mid\omega\in\Omega, X(\omega)\le x\}\in\mathcal{F}$ fuer alle $x\in\IR$ gilt. Die Statistiker schenken sich vielfach diesen theoretischen Ueberbau und arbeiten nur mit $X$, mit dem beruhigenden Gefuehl, dass sich der Ueberbau konstruieren laesst. Wie gesagt, ich fuehle mich hier auf schwankendem Boden, die Maß-/Wahrscheinlichkeitstheoretiker hier auf dem MP sind kompetenter. \quoteon(2022-01-28 00:28 - chicolino im Themenstart) 2. Frage: Bei der a) würde ich einfach sagen, dass $X = W + T$. Oder irre ich mich? \quoteoff $X=7\cdot W+T$. Bedenke, dass jede Woche 7 Tage hat und $X$ die Gesamtzahl der Tage angibt, an der das Erdbeben stattfindet. \quoteon(2022-01-28 00:28 - chicolino im Themenstart) 3. Frage: Bei der b) komme ich nicht weiter. Allein schon deswegen, weil ich nicht weiß, was die einzelnen Mengen bedeuten. Was bedeutet beispielsweise die Menge $\{ W = n \}$? Kann man sie verständlicher umschreiben? \quoteoff $\{ W = 5 \}$ bedeutet beispielsweise, dass ein Erdbeben in der 6. Woche stattfindet. $W$ ist die Anzahl der Wochen *vor* der Woche, in der es ein EB gibt. vg Luis \(\endgroup\)


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chicolino
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

Also erstmal vielen vielen Dank für deine Antwort! Dadurch verstehe ich die Aufgabe jetzt besser. \quoteon Moin Chico, an die Bantwortung dieser Frage traue ich mich nicht recht heran. In meinem vllt etwas schlichten Verstaendnis ist $X:\Omega\to\IR$ eine Abbildung, fuer die $(X\le x):=\{\omega\mid\omega\in\Omega, X(\omega)\le x\}\in\mathcal{F}$ fuer alle $x\in\IR$ gilt. Die Statistiker schenken sich vielfach diesen theoretischen Ueberbau und arbeiten nur mit $X$, mit dem beruhigenden Gefuehl, dass sich der Ueberbau konstruieren laesst. Wie gesagt, ich fuehle mich hier auf schwankendem Boden, die Maß-/Wahrscheinlichkeitstheoretiker hier auf dem MP sind kompetenter. \quoteoff Okay, das ist kein Problem🙂. Mich hat es nur interessiert, weil ich dachte, das kann sicherlich helfen für die Aufgabe. Braucht man also bei solchen Aufgaben nicht unbedingt zu wissen, wie $X$ als Abbildung aussieht? \quoteon $X=7\cdot W+T$. Bedenke, dass jede Woche 7 Tage hat und $X$ die Gesamtzahl der Tage angibt, an der das Erdbeben stattfindet. \quoteoff Stimmt, danke. Gestern Nacht konnte ich wohl nicht mehr klar denken. \quoteon $\{ W = 5 \}$ bedeutet beispielsweise, dass ein Erdbeben in der 6. Woche stattfindet. $W$ ist die Anzahl der Wochen *vor* der Woche, in der es ein EB gibt. \quoteoff Ach so! Ja, dann macht das jetzt Sinn. War halt schwierig für mich, weil da eine Menge angegeben ist und ich keinen Grundraum $\Omega$ habe, mit dem ich mir die Bedeutung von $\{ W = 5 \}$ erschließen könnte. In den Übungsaufgaben hatten wir sonst immer den Grundraum konstruiert und da war es einfacher. Okay, dann bedeutet die Menge $\{ W = n \} \cap \{ T = i \}$, dass am Tag $7n + i$ das erste Mal ein Erdbeben registriert wird. Also ist $\mathbb{P}[\{ W = n \} \cap \{ T = i \}] = \mathbb{P}[X = 7n + i] = (1 - p)^{(7n + i) - 1}p$ Zu (c) hätte ich jetzt eine Idee. Man muss $\mathbb{P}[T = i]$ berechnen. Es kann nun sein, dass z.B. am Tag $7 \cdot 1 + i$ das erste Mal ein Erdbeben registriert wird. Oder am Tag $7 \cdot 2 + i$, oder am Tag $7 \cdot 3 + i$ usw... Das heißt, es ist $\mathbb{P}[T = i] = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}[X = 7n + i] = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n + i - 1} p = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n} (1-p)^{i - 1} p$ $ = (1-p)^{i - 1} p \cdot \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n}$ Oder irre ich mich? Jetzt wollte ich die Reihe durch die geometrische Reihe berechnen, aber im Exponenten habe ich den Faktor $7$ und nicht $1$. Wie kann ich in diesem Fall die Reihe berechnen? Also in der Aufgabe steht, dass ich so weit wie möglich vereinfachen soll.... Gruß, Chico


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-28

Hallo, es ist \(\Omega=\{0,1\}^\IN\), also die Menge der 0-1-Folgen. Interpretation: Für \(\omega=(\omega_1,\omega_2,...)\in\Omega\) ist \(\omega_i=1\) \(\iff\) an Tag Nr. \(i\) gibts ein Erdbeben. Weiterhin kann \(\Omega'=\IN\) gewählt werden. Dann ist \(X(\omega_1,\omega_2,...)=\min\{i:\omega_i=1\}\). Etwas komplizierter ist es wohl, auf \(\Omega\) in geeigneter Weise das Produktmaß zu definieren. Für \(k_1,...,k_n\in\{0,1\}\) soll auf jeden Fall gelten: \(\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:\omega_1=k_1,...,\omega_n=k_n\}) = p^a\cdot(1-p)^{n-a}\), wobei \(a=|\{i\in\{1,...,n\}:k_i=1\}|\).


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luis52
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-28

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-01-28 14:15 - chicolino in Beitrag No. 2) Das heißt, es ist $\mathbb{P}[T = i] = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}[X = 7n + i] = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n + i - 1} p = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n} (1-p)^{i - 1} p$ $ = (1-p)^{i - 1} p \cdot \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n}$ Oder irre ich mich? Jetzt wollte ich die Reihe durch die geometrische Reihe berechnen, aber im Exponenten habe ich den Faktor 7 und nicht 1. Wie kann ich in diesem Fall die Reihe berechnen? Also in der Aufgabe steht, dass ich so weit wie möglich vereinfachen soll.... \quoteoff Du musst die Summe bei Null beginnen lassen. Ausserdem siehst du anscheinend den Wald nicht vor lauter Baeumen 😉: \[\sum\limits_{n=0}^\infty (1- p)^{7n}=\sum\limits_{n=0}^\infty ((1- p)^7)^{n} =\ldots\] Man erhaelt uebrigens eine abgeschnittene geometrische Verteilung. (Mein Beitrag zum heutigen Weltklugscheissertag!) vg Luis \(\endgroup\)


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chicolino
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

So, guten Abend :-) \quoteon(2022-01-28 14:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3) Hallo, es ist \(\Omega=\{0,1\}^\IN\), also die Menge der 0-1-Folgen. Interpretation: Für \(\omega=(\omega_1,\omega_2,...)\in\Omega\) ist \(\omega_i=1\) \(\iff\) an Tag Nr. \(i\) gibts ein Erdbeben. Weiterhin kann \(\Omega'=\IN\) gewählt werden. Dann ist \(X(\omega_1,\omega_2,...)=\min\{i:\omega_i=1\}\). Etwas komplizierter ist es wohl, auf \(\Omega\) in geeigneter Weise das Produktmaß zu definieren. Für \(k_1,...,k_n\in\{0,1\}\) soll auf jeden Fall gelten: \(\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega:\omega_1=k_1,...,\omega_n=k_n\}) = p^a\cdot(1-p)^{n-a}\), wobei \(a=|\{i\in\{1,...,n\}:k_i=1\}|\). \quoteoff Wow, vielen Dank! Genau sowas habe ich gesucht. Ich finde es am Anfang wichtig, sich einen Grundraum bauen zu können, da sonst die Definition einer Zufallsvariablen abstrakt bleibt. \quoteon Du musst die Summe bei Null beginnen lassen. Ausserdem siehst du anscheinend den Wald nicht vor lauter Baeumen 😉: \[\sum\limits_{n=0}^\infty (1- p)^{7n}=\sum\limits_{n=0}^\infty ((1- p)^7)^{n} =\ldots\] Man erhaelt uebrigens eine abgeschnittene geometrische Verteilung. (Mein Beitrag zum heutigen Weltklugscheissertag!) \quoteoff Ei, Ei, Ei,... das ist mir peinlich. Ja, hatte heute viel Zeitdruck und konnte nicht in Ruhe nachdenken😄 Dann erhalte ich bei der c) also: $\mathbb{P}[T = i] = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}[X = 7n + i] = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n + i - 1} p$ $= (1-p)^{i - 1} p \cdot \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} (1- p)^{7n} = (1-p)^{i - 1} p \cdot \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \left ((1- p)^{7} \right ) ^{n} = (1-p)^{i - 1} p \cdot \frac{1}{1 - (1- p)^{7} } = \frac{(1-p)^{i - 1} p}{1 - (1- p)^{7} }$ Zu d) Jetzt muss man $\mathbb{P}[W = n]$ berechnen. Es kann nun sein, dass in der Woche $n + 1$ am Montag das erste Mal ein Erdbeben registriert wird, oder am Dienstag, oder am Mittwoch usw... Also haben wir $\mathbb{P}[W = n] = \sum\limits_{i = 1}^{7} \mathbb{P}[X = 7n + i] = \sum\limits_{i = 1}^{7} (1-p)^{7n + i - 1}p = \sum\limits_{i = 1}^{7} (1-p)^{7n - 1} (1-p)^{i} p$ $= (1-p)^{7n - 1}p \cdot \sum\limits_{i = 1}^{7} (1-p)^{i} = (1-p)^{7n - 1}p \cdot \sum\limits_{i = 0}^{6} (1-p)^{i + 1} = (1-p)^{7n - 1}p \cdot \sum\limits_{i = 0}^{6} (1-p)^{i} (1-p) = (1-p)^{7n - 1}p(1-p) \cdot \sum\limits_{i = 0}^{6} (1-p)^{i} = (1-p)^{7n}p \cdot \sum\limits_{i = 0}^{6} (1-p)^{i} = (1-p)^{7n}p \cdot \sum\limits_{i = 0}^{6} (1-p)^{i} $ $= (1-p)^{7n}p \cdot \frac{1 - (1 - p)^{7}}{1 - (1-p)} = (1-p)^{7n}p \cdot \frac{1 - (1 - p)^{7}}{p} = (1-p)^{7n} \cdot (1 - (1 - p)^{7})$ Zu e) Ja, die Zufallsvariablen $W$ und $T$ sind unabhängig, denn es gilt $\mathbb{P}[\{W = n\} \cap \{T = i\}] = (1- p)^{7n + i - 1} p = (1-p)^{7n} \cdot (1 - (1 - p)^{7}) \cdot \frac{(1-p)^{i - 1} p}{1 - (1- p)^{7} }$ $ = \mathbb{P}[W = n] \cdot \mathbb{P}[T = i] $ Da ich zum Ergebnis komme, dass $W$ und $T$ unabhängig sind, gehe ich davon aus, dass die c) und d) passen. Falls nicht, könnt ihr mir gerne Bescheid geben🙂 Ich bedanke mich nochmal herzlich bei euch. Ich wäre sonst aufgeschmissen gewesen. Gruß, chico


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