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Lineare Algebra » Eigenwerte » Minimalpolynom und charakteristisches Polynom
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Universität/Hochschule Minimalpolynom und charakteristisches Polynom
jodie93
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Dabei seit: 04.01.2022
Mitteilungen: 4
  Themenstart: 2022-01-28

Hey Leute, es geht darum die folgenden zwei Aussagen zum Minimalpolynom zu zeigen: a) Charakteristisches Polynom = Minimalpolynom,genau dann, wenn die geometrisches Vielfachheit aller Eigenwerte 1 ist b) Eine Nullstelle \(\lambda\in K\) von \(m_A\) ist genau dann einfach, wenn \(\text{Kern}(A-\lambda I_n)=\text{Kern}((A-\lambda I_n))^2\) ist. Zu a) \(\Leftarrow\): Da die geometrische Vielfachheit für alle Eigenwerte 1 ist, wissen wir, dass alle Jordanblöcke die Größe 1 haben und ebenfalls wissen wir, dass dann die algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte auch 1 ist, da gilt: $$l=\sum\limits_{i=1}^{l}1=\sum\limits_{i=1}^{l}g(\lambda_i,A)=\sum\limits_{i=1}^{l}a(\lambda_i,A)=\sum\limits_{i=1}^{l}1$$ Da also die algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte 1 ist und die Jordanblöcke immer die maximale Größe 1 haben, folgt: $$m_A=\prod\limits_{i = 1}^{l}(t-\lambda_i)^1=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)...(t-\lambda_3)=p_A$$ Zur Rückrichtung fehlt mir gerade noch ein wirklicher Ansatz. Da wäre ich über jede Hilfe dankbar. Zu b) Hier bin ich momenta noch komplett ratlos und würde mich sehr über Tipps und Anregungen freuen. LG Jodie


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Buri
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Mitteilungen: 46524
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-28

Hi jodie93, bei a) gibt es keine Rückrichtung. Es stimmt nicht, dass die Jordanblöcke die Größe 1 haben. Gruß Buri


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jodie93
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.01.2022
Mitteilungen: 4
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-28

Hallo Buri, danke erstmal für deine Antwort. Die Aufgabe ist allerdings tatsächlich eine "genau dann, wenn" Aussage. Hatte ich vielleicht etwas undeutlich formuliert. Ich hatte auch noch vergessen, zu erwähnen, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Ist es nun möglich? Ich komme trotzdem auf keinen wirklichen Ansatz


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