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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphie des komplexen Logarithmus
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Universität/Hochschule Holomorphie des komplexen Logarithmus
moma1
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  Themenstart: 2022-02-01

Hallo, ich bins wieder. Und zwar habe ich folgende Übungsaufgabe: Beweisen sie die Holomorphie des komplexen logarithmus der oberen Hälfte(Im(z) > 0) Hinweis: es gilt: \[z \neq Im(z)\neq 0 \] \[cos^{-1}(\frac{Re(z)}{|z|})\] Mein Ansatz wäre hier gewesen erstmal den komplexen Logarithmus zu bestimmen nämlich: \[ln(z) = ln(|z|) + iarg(z)\] und damit dann mithilfe von den Cauchy differentialgleichungen, also: Re(z) abgeleitet nach x = Im(z) abgeleitet nach y um dann die Differenzierbarkeit zu beweisen nur leider geht dies hier nicht da die Ableitungen nicht übereinstimmen. Wie gehe ich nun da vor? MFG, moma1


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Mandelbluete
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-01

Es geht mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Da man sich für $z$ in der oberen Halbebene interessiert, kann man das Argument in einer Formel mit dem Arkuskosinus schreiben (beim Arkustangens müßte man eine Fallunterscheidung machen): man bekommt die häßliche Formel $$\operatorname{Log}(x + \mathrm i \cdot y) = \log\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) + \mathrm i \cdot \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)$$ und hat dann jede Menge Spaß mit Ableitungsregeln. 🙂 Anmerkung: $\displaystyle \arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.


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