| |
| Autor |
  Bestapproximation, reelle trigonometrische Polynome |
|
Pioch2000
Aktiv 
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
 |  Themenstart: 2022-02-04
|
Ein trigonometrisches Polynom ist definiert als $g_n(x)=a_0+\sum_{j=1}^n a_j\cos(2\pi jx)+b_j\sin(2\pi jx)$
In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass die Bestapproximation $g_n$ von einer Funktion $f\in C([0,1])$ bzgl. der Norm $\|f\|=\biggl( \int_0^1f^2(x)dx\biggr)^{\frac{1}{2}}$ existiert und dass man die Koeffizienten folgendermaßen berechnet: $a_0=\int_0^1f(x)dx$
$a_j=2\int_0^1f(x)\cos(2\pi jx)$
$ b_j=2\int_0^1f(x)\sin(2\pi jx)$.
Nach diesen Formeln kann ich die Bestapproximation $g_n$ von $f$ auf dem kompakten Intervall $[0,1]$ berechnen. Meine Frage ist jetzt, wie ich die Bestapproximation auf einem beliebigen kompakten Intervall $[a,b]$ berechnen kann.
Danke für eure Hilfe.
|
 Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-04
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Pioch2000,
es ist nicht ganz klar was du meinst.
Wenn du dein Funktionensystem \( \cos(2\pi jx),\quad \sin(2\pi jx)\) beibehalten willst, ist das sehr schwierig.
Ansonsten transformiere das Intervall und die Funktionen mit \( t=a+(b-a)x\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
Pioch2000
Aktiv
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-04
|
Ja, ich möchte das Intervall transformieren, aber ich habe noch nicht verstanden wie das funktioniert.
|
Profil
|
easymathematics
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 30.12.2020
Mitteilungen: 89
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-04
|
Wally hat die Transformation genannt.
Was ist noch unklar?
|
Profil
|
Pioch2000
Aktiv
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-04
|
Muss ich für jedes $"x"$ $\frac{t-a}{b-a}$ einsetzen? Ich verstehe nämlich nicht, wo ich die Transformation einsetzen soll.
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-04
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Bei \( g_n\) kannst du das einfach einsetzen, aber bei den Koeffizienten musst du die Transformationsregel für Integrale benutzen.
Tipp: mach das für \( [a,b]=[0,2\pi]\) und vergleiche mit aus der Literaur bekannten Formeln - dann weißt du, ob du richtig liegst.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
Pioch2000
Aktiv
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-04
|
Es ist ja $\int_a^bf(x)dx=(b-a)\int_0^1f(a+t(b-a) dt$.
Dementsprechend hätte ich doch für die Koeffizienten
$a_j=2\int_0^1f(x)cos(2\pi jx)dx=\int_a^bf(\frac{t-a}{b-a})\cos(2\pi\frac{t-a}{b-a})dt$
|
Profil
|
Pioch2000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pioch2000 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
