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Analysis » Maßtheorie » Erzeugte σ-Algebra ist Teilmenge einer anderen σ-Algebra
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Universität/Hochschule Erzeugte σ-Algebra ist Teilmenge einer anderen σ-Algebra
ichbinteich
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  Themenstart: 2022-02-04

Hallo zusammen, ich hänge seit Stunden an dieser Aufgabe und erhoffe mir Hilfe um einen Beweis führen zu können, der glaube ich prinzipiell nicht allzu schwer ist. Es sei $Y_n=min(|X|,n)$ mit $X(ω)=\omega \quad \forall \quad \omega \in \mathbb{R} $. P sei ein beliebiges W-Maß auf $(\mathbb{R},B)$. Ich soll nun zeigen, dass die Sigma Algebra $Y_n^{−1}(B) \subset Y^{−1}_{n+1}(B)$. Intuitiv ist mir diese Beziehung direkt klar, da die ZVen $Y_n$ für kleineres n viel schneller konstant sind und die erzeugten Sigma Algebren kleiner sein müssen, aber bei der formellen Beweisführung habe ich große Probleme. Danke schonmal im Voraus, Erik

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-04

$P$ kommt in der Aufgabenstellung nicht vor, daher spielt es hier keine Rolle und kann ignoriert werden. Leider hast du nicht den Definitionsbereich von $X$ und $Y_n$ angegeben, aber es scheint sich um $\IR$ zu handeln. Leider hast du auch nicht gesagt, was $B$ sein soll. Vielleicht meinst du die Borel'sche $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}$? Also $Y_n : \IR \to \IR$ ist einfach die Funktion $Y_n(w)=\min(|w|,n)$. Beobachte $Y_n(Y_{n+1}(w)) = \min(\min(|w|,n+1),n) = \min(|w|,\min(n+1,n))=\min(|w|,n) = Y_n$ für alle $w \in \IR$, also $Y_n \circ Y_{n+1} = Y_n$. Außerdem ist $Y_n$ stetig und damit Borel-messbar, das heißt $Y_n^{-1}(\mathcal{B}) \subseteq \mathcal{B}$. Es folgt $Y_n^{-1}(\mathcal{B}) = Y_{n+1}^{-1}(Y_n^{-1}(\mathcal{B})) \subseteq Y_{n+1}^{-1}(\mathcal{B})$.

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