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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Filterentwurf IIR
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Universität/Hochschule J Filterentwurf IIR
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-02-06

Gegeben ist ein zeitkontinuierliches Filter mit der Systemfunktion $$H_A(s) = \frac{1}{1 + s \cdot T_0} \text{ mit } T_0 = R \cdot C$$ 1) Berechnen Sie die z-Übertragungsfunktion des äquivalenten diskreten Systems mit Hilfe der bilinearen Transformation 2) Berechnen Sie den Frequenzgang $H(e^{j\omega T})$ der z-Übertragungsfunktion für die Abtastfrequenz $f_A = 50~\mathrm{kHz}$ sowie für $R = 10~\mathrm{k\Omega}$ und $C = 1~\mathrm{nF}$. Skizzieren Sie den Amplituden-Frequenzgang (Betrag des Frequenzganges) für $\omega T = [0, \pm \pi/4, \pm\pi/2, \pm3/4\pi, \pm\pi]$ und charakterisieren Sie das entworfene Filter hinsichtlich seines Frequenzganges (TP, HP, BP, BS) (Begründung erfoderlich) 3) Berechnen Sie die Impulsantwortfunktion $h[n]$ des entworfenen Filters und zeichnen Sie die berechnete Impulsantwortfunktion. Charakterisieren Sie das System hinsichtlich Stabilität und Kausalität (Begründung erforderlich) 4) Erläutern und begründen Sie, welches der beiden nachfolgend aufgeführten Verfahren für die Approximation eines zeitkontinuierlichen Hochpassfilters nicht geeignet ist. Impulsinvarianter Entwurf Bilineare Transformation Hinweis: $$s = \frac{2}{T} \cdot \frac{z - 1}{z + 1}$$ Zur 1) Der Hinweis, wird ja in $H_A(s)$ für s eingesetzt, sodass ich bei der Bestimmung bis zum folgenden Schritt komme: $$H_A(s) = H_A(z) = \frac{1}{1 + \frac{2}{T_A} \frac{z - 1}{z + 1} T_0}$$ $$H_A(z) = \frac{z + 1}{z + 1 + \frac{2 T_0}{T_A}(z - 1)} = \frac{z + 1}{(1 + \frac{2 T_0}{T_A})z + 1 - \frac{2 T_0}{T_A}}$$ Das ist ja noch nicht der letzte Schritt, weil die Umformung nach der folgenden Formel $$H(z) = \frac{\sum \limits_{\mu = 0}^{\infty} b_\mu \cdot z^{-\mu}}{1 + \sum \limits_{\nu = 1}^{\infty} a_\nu \cdot z^{-\nu}}$$ noch gemacht werden muss. Da habe ich derzeit Probleme. Da muss die eins alleine stehen und ein Vorfaktor da sein. Wenn ich den Teil $(1 + \frac{2 T_0}{T_A})z$ im Nenner ausklammer, komme ich auf: $$\frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)z} \cdot \frac{z + 1}{1 + \frac{1 - \frac{2 T_0}{T_A}}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)z}}$$ Und laut einer Lösung, soll da rauskommen: $$\frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)z} \cdot \frac{1 + z^{-1}}{1 + (1 - \frac{2 T_0}{T_A})z}$$ An einer anderen Stelle ist das Vorzeichen im Nenner, des ersten Bruches negativ: $$H(z) = \frac{1}{1 - \frac{2 T_0}{T_A}} \cdot \frac{1 + z^{-1}}{1 + \left(1 - \frac{2 T_0}{T_A}\right)z^{-1}}$$ Bin da jetzt verwirrt.


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-07

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-06 02:25 - Sinnfrei im Themenstart) Zur 1) Der Hinweis, wird ja in $H_A(s)$ für s eingesetzt, sodass ich bei der Bestimmung bis zum folgenden Schritt komme: $$H_A(s) = H_A(z) = ...$$ \quoteoff würde ich lieber als \(H_A(s) = H_A(s(z))\) schreiben und wenn es eine Funktion allein von \(z\) sein soll, \(H_A(s)=H_A(s(z)) = H(z)\), weil \(H_A\) und \(H\) unterschiedliche Abbildungen sind. \quoteon $$... = \frac{1}{1 + \frac{2}{T_A} \frac{z - 1}{z + 1} T_0}$$ $$H_A(z) = \frac{z + 1}{z + 1 + \frac{2 T_0}{T_A}(z - 1)} = \frac{z + 1}{(1 + \frac{2 T_0}{T_A})z + 1 - \frac{2 T_0}{T_A}}$$ Das ist ja noch nicht der letzte Schritt, weil die Umformung nach der folgenden Formel $$H(z) = \frac{\sum \limits_{\mu = 0}^{\infty} b_\mu \cdot z^{-\mu}}{1 + \sum \limits_{\nu = 1}^{\infty} a_\nu \cdot z^{-\nu}}$$ noch gemacht werden muss. Da habe ich derzeit Probleme. Da muss die eins alleine stehen und ein Vorfaktor da sein. Wenn ich den Teil $(1 + \frac{2 T_0}{T_A})z$ im Nenner ausklammer, komme ich auf: $$\frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)z} \cdot \frac{z + 1}{1 + \frac{1 - \frac{2 T_0}{T_A}}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)z}}$$ \quoteoff Um auf die für \(H(z)\) verlangte Form zu kommen, fehlt nun noch einmal \(z\) kürzen \[\frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)} \cdot \frac{1 + z^{-1}}{1 + \frac{1 - \frac{2 T_0}{T_A}}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)}z^{-1}}\]. Das ergibt \(b_0 = b_1 = \frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)}\), \(a_1 = \frac{1 - \frac{2 T_0}{T_A}}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)}\) und alle anderen \(b_\mu\), \(a_\nu\) gleich Null. Welches der verschiedenen Ergebnisse richtig, sinnvoll, plausibel ist, kann ich nicht einschätzen. Viele Grüße, Stefan


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-07

\quoteon(2022-02-07 00:54 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, würde ich lieber als \(H_A(s) = H_A(s(z))\) schreiben und wenn es eine Funktion allein von \(z\) sein soll, \(H_A(s)=H_A(s(z)) = H(z)\), weil \(H_A\) und \(H\) unterschiedliche Abbildungen sind. \quoteoff Verstehe \quoteon Um auf die für \(H(z)\) verlangte Form zu kommen, fehlt nun noch einmal \(z\) kürzen \[\frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)} \cdot \frac{1 + z^{-1}}{1 + \frac{1 - \frac{2 T_0}{T_A}}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)}z^{-1}}\]. Das ergibt \(b_0 = b_1 = \frac{1}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)}\), \(a_1 = \frac{1 - \frac{2 T_0}{T_A}}{\left(1 + \frac{2 T_0}{T_A}\right)}\) und alle anderen \(b_\mu\), \(a_\nu\) gleich Null. \quoteoff Neben $b_0 = b_1 = \frac{1}{1 + \frac{2 T_0}{T_A}}$ Habs aber eben mal für die Aufgabe 2 eingesetzt und beide Ergebnisse verglichen. Kommt wohl vom Wert her, dass selbe heraus. Also der rechte Term im Nenner, wenn er einmal: $$\frac{z^{-1} + 1}{1 + (1 - \frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0})z^{-1}}$$ und einmal $$\frac{z^{-1} + 1}{1 + (1 - \frac{2 T_0}{T_A})z^{-1}}$$ Das einzige was dann laut Lösung vergessen wurde, war die $z^{-1}$ im Nenner. Es kommt für beide Ergebnisse, nach Einsetzen von $f_A = 50~\mathrm{kHz}$, $R = 10~\mathrm{k\Omega}$ und $C = 1~\mathrm{nF}$ heraus: $$H(z) = \frac{1}{2} \cdot (z^{-1} + 1)$$ Liegt dann wohl daran, dass $T_A = 20~\mathrm{ms}$ sind. Will man dann noch den Frequenzgang berechnen, setzt man $z = e^{j\Omega}$ und man erhält dann nach Vereinfachung: $$H(e^{j\Omega}) = e^{j\left(\frac{\Omega}{2}\right)} \cdot \cos{\left(\frac{\Omega}{2}\right)}$$ Die Werte für Omega eingesetzt, ergibt vom Verlauf, der halbe $\cos$ um den Nullpunkt symmetrisch. Bei der Charakterisierung, wäre es ein Bandpass Filter, der Frequenzen zwischen $\Omega = \pm\pi$ durchlässt. Aufgabe 3 Nach der inversen z-Transformation der z-Transformation aus Aufgabe 1, komme ich auf: $$h(n) = \frac{1}{1 + \frac{2 T_0}{T_A}} \cdot \left[\varepsilon(n - 1) \cdot {\left(\frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0} - 1\right)}^{(n-1)} + \varepsilon(n) \cdot {\left(\frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0} - 1\right)}^{n}\right]$$ Hinsichtlich der Charakterisierung des Filters bzgl. der Stabilität und Kausalität, wäre es dann kausal, wenn das System um $-\pi$ nach rechts verschoben würde. Bei der Stabilität bin ich mir noch nicht sicher. Und bei der Aufgabe 4 würde ich raten, welches der beiden sich nicht eignen würde.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-08

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-07 05:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Habs aber eben mal für die Aufgabe 2 eingesetzt und beide Ergebnisse verglichen. Kommt wohl vom Wert her, dass selbe heraus. Also der rechte Term im Nenner, wenn er einmal: $$\frac{z^{-1} + 1}{1 + (1 - \frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0})z^{-1}}$$ und einmal $$\frac{z^{-1} + 1}{1 + (1 - \frac{2 T_0}{T_A})z^{-1}}$$ Das einzige was dann laut Lösung vergessen wurde, war die $z^{-1}$ im Nenner. \quoteoff es ist Dir hoffentlich klar, dass nur eine der beiden Funktionen die richtige Übertragungsfunktion darstellt. Welche ist es? \quoteon(2022-02-07 05:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Es kommt für beide Ergebnisse, nach Einsetzen von $f_A = 50~\mathrm{kHz}$, $R = 10~\mathrm{k\Omega}$ und $C = 1~\mathrm{nF}$ heraus: $$H(z) = \frac{1}{2} \cdot (z^{-1} + 1)$$ Liegt dann wohl daran, dass $T_A = 20~\mathrm{ms}$ sind. \quoteoff Dass die beiden Funktionen für $T_A=20~\mathrm{\mu s}$ gleich sind, verdeckt den Rechenfehler, der zu der falschen Übertragungsfunktion geführt hat. \quoteon(2022-02-07 05:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Will man dann noch den Frequenzgang berechnen, setzt man $z = e^{j\Omega}$ und man erhält dann nach Vereinfachung: $$H(e^{j\Omega}) = e^{j\left(\frac{\Omega}{2}\right)} \cdot \cos{\left(\frac{\Omega}{2}\right)}$$ Die Werte für Omega eingesetzt, ergibt vom Verlauf, der halbe $\cos$ um den Nullpunkt symmetrisch. Bei der Charakterisierung, wäre es ein Bandpass Filter, der Frequenzen zwischen $\Omega = \pm\pi$ durchlässt. \quoteoff Du hast die Übertragungsfunktion (bis auf das Vorzeichen im Exponenten) richtig berechnet, aber falsche Schlüsse daraus gezogen. Bei welchem Wert der normierten Kreisfrequenz $\Omega$ nimmt $|H|$ sein Maximum an? Welchen Filtertyp stellt das zeitkontinuierliche Filter mit der Übertragungsfunktion $H_A(s)$ dar? \quoteon(2022-02-07 05:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Aufgabe 3 Nach der inversen z-Transformation der z-Transformation aus Aufgabe 1, komme ich auf: $$h(n) = \frac{1}{1 + \frac{2 T_0}{T_A}} \cdot \left[\varepsilon(n - 1) \cdot {\left(\frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0} - 1\right)}^{(n-1)} + \varepsilon(n) \cdot {\left(\frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0} - 1\right)}^{n}\right]$$ Hinsichtlich der Charakterisierung des Filters bzgl. der Stabilität und Kausalität, wäre es dann kausal, wenn das System um $-\pi$ nach rechts verschoben würde. Bei der Stabilität bin ich mir noch nicht sicher. \quoteoff Was meinst Du mit der Verschiebung um $-\pi$? Wie habt ihr Kausalität definiert? Welche Stabilitätskriterien habt ihr gelernt? \quoteon(2022-02-07 05:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Und bei der Aufgabe 4 würde ich raten, welches der beiden sich nicht eignen würde. \quoteoff Warum probierst Du es nicht aus? Übertrage die Aufgabe auf ein einfaches Hochpassfilter. Servus, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09

$$\frac{1}{1 + \frac{2 T_0}{T_A}} \cdot \frac{z^{-1} + 1}{1 + (1 - \frac{4 T_0}{T_A + 2 T_0})z^{-1}}$$ Wäre die richtige z-Übertragungsfunktion Der maximale Wert von $|H(z)|$ ist 1. Undzwar für $\Omega = 0$ Der Filtertyp wäre ja mit: $$H_A(s = j\omega)_{\big|\lim \limits_{\omega \to \infty}} = 0$$ und $$H_A(s = j\omega)_{\big|\lim \limits_{\omega = 0}} = 1$$ Ein TP-Filter Da die Werte, die in der Aufgabe gegeben sind, für $\Omega$ eingesetzt werden, ergibt sich ja ein halben $\cos$, also um den Nullpunkt herum symmetrisch. Damit hat der Verlauf ja auch negative Werte, sodass diese ja erstmal nach rechts gebracht werden müssen, damit das System kausal wird. Das System ist aber aus dem Grund, weil es negative Werte besitzt nicht kausal. Die Stabilität lässt sich aus dem Nenner ablesen, der hier mit dem Betrag von $100.000$ weiter über die 1 ist. Vom Betrag müssen die Polstellen ja kleiner 1 sein, damit die Stabilität vorliegt. Und zu dem letzten Punkt habe ich da etwas aus dem Buch vom Oppenheim gefunden. Da ja beide Entwurfskonzepte bei IIR Filtern zum Zuge kommen können, liegt der Unterschied darin, dass zeitkontinuierliche HP-Filter, nicht bandbegrenzt sind und somit der Impulsinvarianter Entwurf bei diesen Typ Filter, nicht geeignet ist. Das austesten konnte ich jetzt nicht machen. Mit welchem Programm ginge es denn?


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-09

Hallo Sinnfrei, ja das ist die richtige Übertragungsfunktion $H(z)$ des zeitdiskreten Filters. Wie willst Du bei dieser Funktion von $z$ die Grenzwerte für $\omega\to 0$ und $\omega\to\infty$ bestimmen? Es stimmt aber, dass es sich um ein Tiefpassfilter handelt. Bei der Kausalität scheinst Du etwas zu verwechseln, es ist nicht die Übertragungsfunktion $\Omega \mapsto H(\exp(j\Omega))$, die für negative Argumente verschwinden muss, sondern die Impulsantwort $h(n)$, die Du für Aufgabe 3 berechnet hast. Ist das Filter kausal oder nicht? Welchen Nenner meinst Du mit dem Betrag 100000? Wo liegen die Pole von $H(z)$? Es ist richtig dass die Methode der Impulsinvarianz nicht für den Entwurf von Hochpassfiltern geeignet ist. Mit ausprobieren hatte ich gemeint, dass Du ein einfaches Hochpassfilter entwirfst, so wie Du es hier mit dem Tiefpassfilter getan hast. Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-09

\quoteon(2022-02-09 15:16 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Sinnfrei, ja das ist die richtige Übertragungsfunktion $H(z)$ des zeitdiskreten Filters. Wie willst Du bei dieser Funktion von $z$ die Grenzwerte für $\omega\to 0$ und $\omega\to\infty$ bestimmen? Es stimmt aber, dass es sich um ein Tiefpassfilter handelt. \quoteoff Indem man für $s,j\omega$ einsetzt. Aus $$H_A(s) = \frac{1}{1 + s T_0}$$ wird dann: $$H_A(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega T_0}$$ und man lässt $\omega \to \infty$ gehen und einmal $\omega = 0$. Dann sollte man den Filter-Typ, der Übertragungsfunktion ermitteln können. Bei dem zweiten Punkt der Kausalität, kann ich dann für $n$, Werte aus dem $\mathbb{N}$ Bereich einsetzen und sehe dann, ob es sich dabei um ein kausales System handelt. Man könnte es aber denke ich auch so sehen, weil der Einheitssprung um $1$ nach rechts verschoben ist, somit hat die Impulsantwort keine negativen Werte und das System ist kausal. Zum dritten Punkt, bei der Stabilität, müssen ja alle Polstellen innerhalb der z-Ebene, im Einheitskreis liegen $(|z_{x}| < 1)$. Wenn ich aus der z-Übertragungsfunktion $H(z) = \frac{1}{2} \cdot (z^{-1} + 1)$ die Nullstellen bestimme, muss man ja erstmal mit $\frac{z^1}{z^1}$ erweitern, um die negativen Exponenten weg zubekommen. Dann würde ich auf: $H(z) = \frac{1}{2} \cdot \frac{z + 1}{z}$ kommen und somit wäre das System $H_A$ stabil, da die Polstelle bei $z_x = 0$ liegt. Edit: Die Stabilität kann man aber auch schon vor der z-Transformation ablesen, indem man erkennt, dass die Polstelle der Übertragungsfunktion $H_A(s)$ auf der linken s-Halbebene liegt und mit $s = -100.000$ wäre das System auch stabil also $s = -\frac{1}{T_0}$. Ein mögliches Hochpassfilter wäre: $$H_A(s) = \frac{s}{1 + sT_0}$$ setze ich für $s = j\omega$ ein und setze das in $H_A(s)$ ein, wäre ich bei: $$H_A(j\omega)_{\big|\omega \to 0} = \frac{0}{1 + 0} = 0$$ und $$H_A(j\omega)_{\big|\lim \limits_{\omega \to \infty}} = \frac{\infty}{1 + \infty} \underbrace{=}_{L'Hospital} \frac{1}{T_0}$$. Wie wäre die Vorgehensweise mit Hilfe des impulsinvarianten Entwurfs? Das wäre doch eine Summe oder? Also $$H(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} h[k] {z}^{-k}$$ Wie geht man dabei vor?


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rlk
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-02-09

Hallo Sinnfrei, wenn Du die Übertragungsfunktion $H_A$ des zeitkontinuierlichen Filters meinst, solltest Du das auch schreiben. Ein System ist kausal, wenn für die Impulsantwort $\forall n<0 : h(n)=0$ gilt. Nicht die Funktionswerte, sondern die Argumente sind hier negativ. Ein zeitdiskretes System ist stabil, wenn alle Polstellen im Inneren des Einheiskreises der z-Ebene liegen. Bei dem zeitkontinuierlichen System müssen die Pole in der linken s-Halbebene liegen. Weil die bilineare Transformation die linke s-Halbebene auf das Innere des Einheiskreises der z-Ebene abbildet, kannst Du von der Stabilität eines der System auf die des anderen schließen. Bei anderen Entwurfsverfahren muss diese Äquivalenz nicht erfüllt sein, Du solltest solche Überlegungen anstellen und aufschreiben, damit Deine Rechnungen besser nachvollziehbar sind. Bei der Methode der Impulsinvarianz werden die Werte $h[k]$ durch Abtastung der Impulsantwort $h_A(t)$ des zeitkontinuierlichen Systems bestimmt: $h[k] = h_A(k T_A)$. Bei dem Hochpassfilter siehst Du, dass der Wert $h[0]$ nicht bestimmbar ist. Servus, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-10

Ja da hast du Recht. Weil wir viel mit Übertragungsfunktionen bereits gerechnet haben, war mir das bereits klar, deswegen hatte ich den Index ausgelassen aber du hast Recht. \quoteon(2022-02-09 22:58 - rlk in Beitrag No. 7) Ein System ist kausal, wenn für die Impulsantwort $\forall n<0 : h(n)=0$ gilt. Nicht die Funktionswerte, sondern die Argumente sind hier negativ. \quoteoff Hatte das mit den Werten der Impulsantwort auf die n-Achse bezogen aber das sieht man natürlich nicht. Der Verlauf der Sprungfolge in der Impulsantwortfunktion $h(n)$ ist ja um 1 nach rechts verschoben. Es war auf jeden Fall das gemeint, dass bei negativem n keine Werte für $h(n)$ von $0$ verschieden existieren dürfen, damit das System kausal ist. \quoteon(2022-02-09 22:58 - rlk in Beitrag No. 7) Ein zeitdiskretes System ist stabil, wenn alle Polstellen im Inneren des Einheiskreises der z-Ebene liegen. Bei dem zeitkontinuierlichen System müssen die Pole in der linken s-Halbebene liegen. Weil die bilineare Transformation die linke s-Halbebene auf das Innere des Einheiskreises der z-Ebene abbildet, kannst Du von der Stabilität eines der System auf die des anderen schließen. Bei anderen Entwurfsverfahren muss diese Äquivalenz nicht erfüllt sein, Du solltest solche Überlegungen anstellen und aufschreiben, damit Deine Rechnungen besser nachvollziehbar sind. \quoteoff Werde ich so machen. \quoteon(2022-02-09 22:58 - rlk in Beitrag No. 7) Bei der Methode der Impulsinvarianz werden die Werte $h[k]$ durch Abtastung der Impulsantwort $h_A(t)$ des zeitkontinuierlichen Systems bestimmt: $h[k] = h_A(k T_A)$. Bei dem Hochpassfilter siehst Du, dass der Wert $h[0]$ nicht bestimmbar ist. \quoteoff Das hatte ich gerade auch auf einer Seite der Hochschule Karlsruhe gelesen. Meinst du das wegen der Delta Funktion an der Stelle 0 unendlich rauskommt? Im zeitdiskreten ist der Wert, an der Stelle k = 0 doch 1 oder?


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rlk
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-02-12

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-10 01:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-02-09 22:58 - rlk in Beitrag No. 7) Bei der Methode der Impulsinvarianz werden die Werte $h[k]$ durch Abtastung der Impulsantwort $h_A(t)$ des zeitkontinuierlichen Systems bestimmt: $h[k] = h_A(k T_A)$. Bei dem Hochpassfilter siehst Du, dass der Wert $h[0]$ nicht bestimmbar ist. \quoteoff Das hatte ich gerade auch auf einer Seite der Hochschule Karlsruhe gelesen. Meinst du das wegen der Delta Funktion an der Stelle 0 unendlich rauskommt? Im zeitdiskreten ist der Wert, an der Stelle k = 0 doch 1 oder? \quoteoff ja, die Impulsantwort $h_A(t)$ hat einen Diracimpuls bei $t=0$, daher ist der Abtastwert $h[0]=h_A(0)$ nicht definiert. Dass man bei zeitdiskreten Systemen \[ \delta[n] = \cases{1,\quad n=0\\ 0,\quad n\neq 0} \] definiert, hat damit nicht direkt etwas zu tun. Servus, Roland


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-12

Ich dachte das wäre dort der zeitdiskrete Dirac gemeint aber der ist ja in runden Klammern. Das k als Argument hatte mich da irritiert aber es ist ja dann immer noch zeitkontinuierlich wegen den Klammern. Also wir haben ja ein System der folgenden Form: $$G(s) = A_0 + \sum \limits_{n = 1}^{N} \frac{A_n}{s - \alpha_n}$$ $$H_A(s) = \frac{1}{s - (-\frac{1}{T_0})}$$ Aber $A_0$ haben wir ja gar nicht oder spielt das überhaupt eine Roll? Man könnte im nächsten Schritt ja schreiben. $$h_A(t) = 0 \cdot \delta(t) + \sum \limits_{n = 1}^{N} A_n \cdot e^{-\frac{1}{T_0} t} \cdot \sigma(t)$$ Und dann würde man ja, wie du bereits geschrieben hast: $$h_A[k] = h_A(kT_A) = 0 \cdot \delta(k T_A) + 1 \cdot e^{-\frac{1}{T_0} k T_A} \cdot \sigma(k T_A)$$ und für $k = 0$ würde dann der Term links vom Summenzeichen undefiniert sein, weil trotz $0 \cdot \delta(0) = n. definiert$ rauskommen würde auch wenn $A_0 = 0$ ist.


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rlk
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-02-13

Hallo Sinnfrei, wir sprechen doch über das Hochpassfilter \quoteon(2022-02-09 17:48 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Ein mögliches Hochpassfilter wäre: $$H_A(s) = \frac{s}{1 + sT_0}$$ setze ich für $s = j\omega$ ein und setze das in $H_A(s)$ ein, wäre ich bei: $$H_A(j\omega)_{\big|\omega \to 0} = \frac{0}{1 + 0} = 0$$ und $$H_A(j\omega)_{\big|\lim \limits_{\omega \to \infty}} = \frac{\infty}{1 + \infty} \underbrace{=}_{L'Hospital} \frac{1}{T_0}$$ \quoteoff oder besser die skalierte Variante \[ H_{\mathrm{A,HP}}(s) = \frac{s T_0}{1 + sT_0} = 1 - \frac{1}{1 + sT_0}.\] Welchen Wert hat daher $A_0$? Für das Tiefpassfilter wäre $A_0=0$ und die Impulsantwort enthält keinen Dirac-Impuls. Servus, Roland


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-13

$A_0$ wäre dann ja 1 und der $\delta(0)$ würde stehen bleiben. Bei der unskalierten Form, musste ich ja noch, laut der Formel, die Polynomdivision machen, damit der Zählergrad kleiner wird als der Nennergrad, was ich nicht gemacht hatte. Da lag auch mein Fehler. Zudem, habe ich hier wieder den TP-Filter aus dem Ausgang der Aufgabenstellung geschrieben, obwohl ich auf dem Blatt mit der unskalierten Form des HP-Filters gerechnet hatte. Noch eine Frage, die mir bzgl. der Seite aufgefallen ist, aber nur nebensächlich zur Aufgabe steht. Wie ist man auf der Seite der Hochschule Karlsruhe auf folgendes gekommen: $$H(z) = \sum \limits_{k = 0}^{\infty} h[z]z^{-k} = \sum \limits_{k = 0}^{\infty} \left( A_0 \cdot \delta{(t)} + \sum_{n = 1}^{N} A_n \cdot e^{\alpha_n k T_A} \cdot \sigma(k T_A) \right)z^{-k} $$ $$H(z) = A_0 + \sum \limits_{k = 0}^{\infty} \sum \limits_{n = 1}^{N} A_n \cdot e^{\alpha_n k T_A} \cdot z^{-k}$$ Ich kann mir noch vorstellen, dass die Sprungfunktion 1 ist, da halt k bei 0 anfängt und bis nach $+\infty$ geht und in dem Bereich ist die Sprungfunktion ja eins, doch wie sieht es da mit der Delta-Distribution aus, dasselbe gilt doch nicht für den Dirac oder? Wenn ich einen Zwischenschritt einbaue, komme ich beim ausmultiplizieren auf: $$H(z) = \sum \limits_{k = 0}^{\infty} A_0 \cdot \delta(k T_A) \cdot z^{-k} + \sum \limits_{k = 0}^{\infty} \sum \limits_{n = 1}^{N} A_n \cdot e^{\alpha_n k T_A} \cdot \sigma(k T_A) \cdot z^{-k}$$ Also wie kommt man darauf, dass: $$\sum \limits_{k = 0}^{\infty} A_0 \cdot \delta(k T_A) \cdot z^{-k} = A_0$$ ergibt?


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Sinnfrei hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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