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| Autor |
 Matlab, trigonometrische Polynome, EOC= estimated order of convergence |
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Jabaa2
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2022-02-08
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Hallo liebes Forum,
ich habe folgendes Problem bei einer Numerik-Aufgabe. Aber erstmal die Aufgabe:
Aufgabe P18
l2bestapprox.m: Implementieren Sie die Funktion
function c = l2bestapprox(f, n),
die die Koeffizienten der L2-Bestapproximation im Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad ≤ n aus der
Aufgabe H42 berechnet. Benutzen Sie dabei zum Berechnen der Integrale die Matlab-Funktion integral(f,0,1).
In H42 haben wir gelernt, dass man die Koeffizienten folgendermaßen berechnen können:
\(a_0= \langle f,1 \rangle_2= \int\limits_0^1 f(x)dx\)
\(a_j= \dots =2 \cdot \int\limits_0^1 f(x) \cdot cos(2 \pi j x) dx\)
\(b_j= \dots =2 \cdot \int\limits_0^1 f(x) \cdot sin(2 \pi j x) dx\)
Die trigonometrischen Polynome sind gegen als:
\(a_0+ \sum\limits_{j=1}^n a_j \cdot cos( 2 \pi j x)+ \sum\limits_{j=1}^n b_j sin(2 \pi j x)\)
Mein Matlab-Code sieht dazu folgendermaßen aus (in einer Funktion):
function c = l2bestapprox(f, n) %Vielleicht schaut jemand mal drüber
c=zeros(1,2*n+1); % Es gibt 2*n+1 Basisvektoren
c(1)=integral(f,0,1); % Anfangsbestimmung siehe a_0 oben
for j=1:n
h=@(x) cos(2*pi*j*x); %besseres aufschreiben der integral-Funktion
k=@(x) sin(2*pi*j*x); % gilt für diese 4 zuweisungen
f1=@(x) f(x).*h(x); %
f2=@(x) f(x).*k(x); %
c(j+1) = 2*integral(f1,0,1); % bestimmung der Koeffizienten a_j
c(n+j+1) = 2*integral(f2,0,1); %bestimmung der Koeffizienten b_j
end
Bei folgendem Test habe ich Probleme, da mir nicht klar ist wie ich den EOC hier bestimmen kann.
Wir haben den EOC folgendermaßen definiert (f ist eine Funktion die um die Null definiert ist):
\( eoc:= \frac{ log \vert f(h_k)/f(h_{k+1}) \vert }{ log \vert h_k/h_{k+1} \vert}\)
testp18.m: Sei n = 1, 2, 4, . . . , 32. Berechnen Sie die empirischen Konvergenzraten (EOC) in der L2-Norm für die Funktio-
nen
\(f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{2} x \vert x \vert\)
und
\(g:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \exp( -\frac{1}{1-x^2})\)
.
Transformieren Sei dabei die Definitionsbereiche von f und g entsprechend. Interpretieren Sie das Ergebnis im
Hinblick auf die Aufgabe H42 c). Diese Interpretation würde ich dann selber machen. Ich bekomme es irgendwie aber nicht zusammen wie ich den EOC berechnen soll ? Also was sind hier meine \(h_k\) und wie nutze ich diese von mir geschriebene Funktion um den EOC zu bestimmen. Es herrschen bei mir wohl noch ein paar grundlegende Verständnis-Probleme bzgl trigonometrischen Polynomen.
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 Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11603
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-13
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Hallo Jabaa2,
Du kannst die Darstellung Deines Matlab-Programms verbessern, indem Du es in einen Quelltextbereich stellst, also Zeilen
\sourceon Matlab
davor und
\sourceoff
danach einfügst.
Die empirische Konvergenzrate gibt an, wie schnell die Abweichung $\|f-p_n(f)\|_2$ zwischen der Testfunktion $f$ und dem trigonometrischen Polynom $p_n(f)$ mit dem Grad $n$ abnimmt. Ich würde zuerst $\|f-p_n(f)\|_2$ als Funktion von $n$ plotten und überlegen, wie die Formel für EOC hier sinnvoll angepasst werden kann.
Servus,
Roland
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