| Autor |
  Lineare Dgl., Eigenwerte |
|
elef0300
Junior 
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2022-02-11
|
Hallo, im Rahmen der klausurvorbereitung hänge ich an der folgenden Aufgabe.
Die 1. habe ich bereits gelöst, bei 2 und 3 komme ich jedoch nicht weiter. Mir ist nur klar, dass wenn $z(t)$ die Dgl. löst, dass dann auch $z(t+k\omega)$ die Dgl. löst.
Danke schonmal für eure Hilfe.
LG
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55122_E93413D2-F0EE-41A5-ABA1-ED6E2995E037.jpeg
|
 Profil
|
elef0300
Junior 
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-11
|
Wenn also $z(t)$ die Differentialgleichung erfüllt, dann kann ich ja $z$ als Linearkombination der Spalten von $Y$ schreiben, da die Spalten ja eine Basis bilden. Jetzt könnte ich ja irgendwie versuchen Teil 1) zu benutzen, um 2) zu zeigen. bin ich dem richtig Weg oder auf dem Holzweg?
|
Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-02-11
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Nönö, schon richtig.
Wenn \( c\) ein Eigenvektor von \( B_Y\) ist, dann ist \( YB_Y c\) eine Lösung. Rechne mal ein bischen.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
elef0300
Junior
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-13
|
Gezeigt habe ich jetzt, dass $Y(t)B_yc$ die Dgl erfüllt (erfüllt $Y(t)B_yc$ nicht auch die Dgl., wenn $c$ kein Eigenvektor ist?). Wenn ich also 2) mit $c$ multipliziere, bekomme ich $Y(t+\omega)c=Y(t)B_yc=Y(t)\mu c$. jetzt komme ich nicht weiter, da ich ja irgendwie $k$ in die Gleichung bringen muss.
Kleine Anmerkung:
Wenn ich $z(t)=Y(t)c$ definiere, dann ist $z(t+\omega)=\mu z(t)$ und das wäre gerade die Aussage für $k=1$. Stimmt das?
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-02-13
|
Jaklar.
Zauberwort: "Induktion"
Viele Grüße
Wally
|
Profil
|
elef0300
Junior
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-13
|
Danke, ich habe es jetzt hinbekommen, denn ist ja $Y(t+k\omega)=Y(t+(k-1)\omega)B_y=\dots=Y(t)B_y^k$ Diese Gleichung muss ich mit $c$ multiplizieren.
Jetzt hänge ich jedoch an der 3). Um zu zeigen dass der Eigenwert nicht von $Y$ abhängt, muss ich doch zeigen, das für ein weiteres Fundamentalsystem $Z$, mit $Z(t+\omega)=Z(t)B_Z$, $B_Z$ und $B_Y$ dieselben Eigenwerte haben, was der Fall ist, wenn die beiden Matrizen ähnlich zueinander sind. Nur wie kann ich das zeigen?
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-13
|
Die Aufgabe wurde in diesem Thread schon mal besprochen. Mit der dort abgeleiteten Beziehung$$
B_Y=Y(0)^{-1}Y(\omega)$$folgt für ein zweites Fundamentalsystem $Z=YC$ mit einer invertierbaren Matrix $C$$$
B_Z=\bigl[Y(0)\,C\bigr]^{-1}\bigl[Y(\omega)\,C\bigr]=C^{-1}B_Y\,C\,.$$--zippy
|
Profil
|
elef0300
Junior
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-13
|
Also kann ich jedes beliebige Fundamentalsystem $Z$ darstellen als $Z(t)=Y(t)V$ für eine invertiertere Matrix $V$?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-02-13
|
\quoteon(2022-02-13 21:18 - elef0300 in Beitrag No. 7)
Also kann ich jedes beliebige Fundamentalsystem $Z$ darstellen als $Z(t)=Y(t)V$ für eine invertiertere Matrix $V$
\quoteoff
Ja, denn ein Fundamentalsystem muss nicht nur der DGL genügen, sondern auch noch invertierbar sein. Damit ist $V=Y(0)^{-1}Z(0)$.
|
Profil
|
elef0300
Junior
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-13
|
Gilt das auch ganz allgemein, d.h. für jede Dgl $y‘=A(t)y$ mit Fundamentalsystem $Z$ kann ich jedes andere Fundamentalsystem als $Z(t)V$ darstellen? (V invertierbar)
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-02-13
|
\quoteon(2022-02-13 21:26 - elef0300 in Beitrag No. 9)
Gilt das auch ganz allgemein, d.h. für jede Dgl $y‘=A(t)y$ mit Fundamentalsystem $Z$ kann ich jedes andere Fundamentalsystem als $Z(t)V$ darstellen?
\quoteoff
Ja, das ist eine Folge der eindeutigen Lösbarkeit: Sei $Y$ irgendein Fundamentalsystem. Betrachte $W(t)=Y(t)\,Y(0)^{-1}Z(0)$. Das ist ein Fundamentalsystem mit $W(0)=Z(0)$. Aus der Eindeutigkeit folgt $W(t)=Z(t)$ und damit $Y(t)=Z(t)\bigl[Z(0)^{-1}Y(0)\bigr]$. Der Inhalt der eckigen Klammern ist dein $V$.
PS Die Ableitung in $\TeX$ bitte als $y'$, nicht als $y‘$ schreiben.
|
Profil
|
elef0300
Junior
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-13
|
Alles klar, gut zu wissen. Vielen Dank Wally und zippy!!!
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
