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| Autor |
  relativ einfache lineare Abbildung |
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juergenX
Aktiv 
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 914
 |  Themenstart: 2022-02-11
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Ich möchte die 4 Vektoren:
$\displaystyle \vec a = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ abbilden auf $\displaystyle \vec b =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ und
$\displaystyle \vec b = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ abbilden auf $\displaystyle \vec c =\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ und
$\displaystyle \vec c = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ abbilden auf $\displaystyle \vec d =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Mit einer regulären 4x4 Matrix
$\displaystyle M = \begin{pmatrix}
a1 & a2 & a3 & a4 \\
b1 & b2 & b3 & b4 \\
c1 & c2 & c3 & c4 \\
d1 & d2 & d3 & d4
\end{pmatrix}$.
Wie geht das nochmal? Ich weiß keinen Ansatz ...
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2620
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wenn du eine $\mathbb R$-lineare Abbildung $\mathbb R^4\to \mathbb R^4$ eindeutig angeben willst, dann musst du zumindest angeben, auf welche Vektoren eine beliebige Basis des $\mathbb R^4$ abgebildet wird.
Ansonsten ist das nicht eindeutig. Zudem ist die Information, was mit dem Vektor $\vec a$ passiert schon ausreichend um zu sagen, was mit $\vec c$ passiert, da diese linear abhängig sind.
Willst du nun einfach irgendeine Abbildung die das macht?
LG Nico\(\endgroup\)
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Profil
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 914
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-12
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Die gesuchte Abbildung kann sich auf irgend ein Erzeugendensystem der 4ten Dimension beziehen und sie sollte bijektiv und linear sein. In dem Sinne, dass $\displaystyle F(\vec a+\vec b) = F(\vec a)+F(\vec b)$ und auch $F(n * \vec a) = n*F(\vec a)$. Also eine endomorphe Vektorraum Abbildung.
Und $\displaystyle \vec a, \vec b, \vec c, \vec d$ sind nicht linear unabhängig, wie du richtig sagtest. was mich jetzt verwirrt...
$\displaystyle \vec b$ und $\displaystyle \vec d$ sind auch linear abhängig...
Alle die 4 Abb. sollen trotzdem in einer einzigen Matrix deklariert werden.
Anm : Geht das trotzdem überhaupt zu definieren?
Reicht das als Info?
ich schlaf nochmal drüber...
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Mandelbluete
Senior
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 585
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-12
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Nehmen wir die Standardbasisvektoren $e_1 = (1,0,0,0)$ usf. im vierdimensionalen Standardvektorraum $k^4$, zum Beispiel mit $k = \mathbb R$. Dann ist $a = e_2$, $b = e_4$, $c = -e_2$, $d = -e_4$. Sei $M$ die lineare Abbildung. Deine Bedingungen sind dann äquivalent zu
\[
Me_2 = e_4, \quad Me_4 = -e_2,
\]
da dann aus der Linearität $M(-e_2) = -e_4$ folgt. Wir können uns aussuchen, wohin $e_1$ und $e_3$ abgebildet werden. Angenommen, wir hätten gern $Me_1 = x$ und $Me_3 = y$. Dann ist
\[
M = \begin{pmatrix}
x_1 & 0 & y_1 & 0 \\
x_2 & 0 & y_2 & -1 \\
x_3 & 0 & y_3 & 0 \\
x_4 & 1 & y_4 & 0
\end{pmatrix}
\]
die gewünschte Matrix. Damit sie regulär ist, muß $x_1y_3 \neq y_1x_3$ gelten.
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 914
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-12
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danke !
an sich ganz simpel ich muss es nochmal lesen und frage nochmal nach ggf.
yours
Juergen
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 914
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-07
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verschoben auf new topic https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257835&start=0&lps=1872379#v1872379
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juergenX hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
juergenX hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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