| Autor |
 Fast überall gleiche Funktionen |
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Gast123
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 |  Themenstart: 2022-02-12
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Hallo,
wenn man folgendes gegeben hat:
$$\int f d\mu = \int g d\mu$$
dann weiß man ja dass $f=g$ fast überall gilt.
Kann man dann auch folgern, dass
$$\int f^2 d\mu = \int g^2 d\mu$$
gilt?
Denn die beiden Funktionen unterscheiden sich zwar auf einer Nullmenge, diese ist ja aber unerheblich bei der Integration.
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-12
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Hallo Gast123,
\quoteon(2022-02-12 12:57 - Gast123 im Themenstart)
wenn man folgendes gegeben hat:
$$\int f d\mu = \int g d\mu$$
dann weiß man ja dass $f=g$ fast überall gilt.
\quoteoff
Warum sollte das gelten?
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Gast123
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-12
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Nun ja weil das Maßintegral Nullmengen ignoriert.
Gibt es denn ein Gegenbeispiel dafür?
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nzimme10
Senior
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-12
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Es gilt
$$
\int_0^{2\pi} \sin(x) \d x =0=\int_0^{2\pi} 0 \d x.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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zippy
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-02-12
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\quoteon(2022-02-12 13:25 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Deine Aussage bezieht sich auf nichtnegative messbare Funktionen.
\quoteoff
Und auch da ist sie falsch.
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Gast123
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-12
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okay also kann man gar keine Aussage über die Beziehung zwischen den beiden Funktionen treffen, wenn deren Integrale identisch sind? Was wäre, wenn die Integrale für jede messbare Menge identisch sind?
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nzimme10
Senior 
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-02-18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-02-12 13:34 - Gast123 in Beitrag No. 5)
okay also kann man gar keine Aussage über die Beziehung zwischen den beiden Funktionen treffen, wenn deren Integrale identisch sind? Was wäre, wenn die Integrale für jede messbare Menge identisch sind?
\quoteoff
Machen wir es mal konkreter: Sei $(X,\mathcal A,\mu)$ ein Maßraum, $\mathbb R$ versehen mit der Borel-Algebra $\mathcal B$ sowie $f,g\colon X\to \mathbb R$ messbare Funktionen mit
$$
\int_A f\d \mu=\int_A g\d \mu
$$
für alle $A\in\mathcal A$. Dann gilt in der Tat $f=g$ $\mu$-fast überall. Das kann man wie folgt einsehen: Da $f$ und $g$ messbar sind, gilt
$$
\lbrace fg\rbrace:=\lbrace x\in X\mid f(x)>g(x)\rbrace\in \mathcal A.
$$
Daher gilt nun
$$
0=\int\limits_{\lbrace f>g\rbrace} f\d\mu-\int\limits_{\lbrace f>g\rbrace} g\d\mu=\int\limits_{\lbrace f>g\rbrace} (f-g)\d\mu=\int_X (f-g)\cdot \chi_{\lbrace f>g\rbrace} \d \mu.
$$
Nun ist $(f-g)\cdot \chi_{\lbrace f>g\rbrace}$ eine nicht-negative und messbare Funktion und somit gilt $(f(x)-g(x))\cdot \chi_{\lbrace f>g\rbrace}(x)=0$ $\mu$-fast überall. Es gilt also $f\leq g$ $\mu$-fast überall. Analog zeigt man dann mit der Menge $\lbrace f\(\endgroup\)
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Gast123
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-01
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Hi,
danke, ja das war meine Frage. Aber wie passt das zu deinem Gegenbeispiel wo du ja zeigst, dass die beiden Funktionen eben nicht fast überall gleich sind?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-03-01
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-03-01 07:15 - Gast123 in Beitrag No. 7)
Hi,
danke, ja das war meine Frage. Aber wie passt das zu deinem Gegenbeispiel wo du ja zeigst, dass die beiden Funktionen eben nicht fast überall gleich sind?
\quoteoff
Bei meinem Gegenbeispiel stimmen die Integrale ja nicht auf allen messbaren Mengen überein. Es ist ja zum Beispiel
$$
\int_0^\pi \sin(x) \d x=2\neq 0=\int_0^\pi 0 \d x.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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Gast123
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-02
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Okay also zusammenfassend, wann kann man schließen, dass $f=g$ fast überall? Wenn deren Integrale auf allen messbaren Mengen identisch sind? Müssen $f$ und $g$ noch zusätzlich nicht negative messbare Mengen sein? zippy meinte ja , dass es auch dafür nicht stimmen würde?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-03-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-03-02 06:39 - Gast123 in Beitrag No. 9)
Okay also zusammenfassend, wann kann man schließen, dass $f=g$ fast überall? Wenn deren Integrale auf allen messbaren Mengen identisch sind?
\quoteoff
Hast du meinen Beitrag mit der Nummer 6 nicht gelesen? Dort habe ich die Voraussetzungen, die ich verwendet habe, alle aufgezählt.
\quoteon
Müssen $f$ und $g$ noch zusätzlich nicht negative messbare Mengen sein? zippy meinte ja , dass es auch dafür nicht stimmen würde?
\quoteoff
zippy meinte wohl, dass deine ursprüngliche Aussage aus dem Themenstart auch dort nicht stimmt.
LG Nico\(\endgroup\)
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Gast123
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-02
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Ja, aber muessten die Funktionen nicht sogar integrierbar sein, damit man das Integral ueberhaupt erst bilden kann?
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nzimme10
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| Beitrag No.12, eingetragen 2022-03-02
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Nein, das Integral ist für jede messbare Funktion definiert. Edit: Natürlich muss man die Quasiintegrierbarkeit fordern, wenn die Funktion auch negative Werte annimmt.
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Gast123
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-02
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Aber das macht ja nur Sinn wenn man nicht-negative Funktionen hat. Wenn man beliebige Funktionen hat moechte man ja zumindest quasiintegrierbarkeit, weil sonst die beiden Integrale ueber den positiven Teil und den negativen Teil beide gleichzeitig unendlich sein koennten. Und dann hat man $\infty - \infty$ was ja nicht definiert ist...
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nzimme10
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-03-02
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Da hast du natürlich recht. Das war mein Fehler. Wenn wir aber fordern, dass die Integrale über allen messbaren Mengen identisch sind, dann fordern wir natürlich auch implizit, dass die Integrale definiert sind.
LG Nico
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2023-11-28 18:29 <
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