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Universität/Hochschule J Integrationstheorie, Lebesgue-Integral für beliebiges Maß
KaSt
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  Themenstart: 2022-02-20

Hallo ans Forum, habe mich vor ein paar Tagen angemeldet, da ich merke, dass ich in Integrationstheorie wahrscheinlich nicht durchkommen werde in meiner Klausur, falls ich nicht irgendwie Hilfe bekomme. Deshalb hier meine erste Frage bzgl einer Aufgabe: Aus den Übungen ist bekannt, dass \( \mu := \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} \delta_k \) ein Maß auf \( ( \mathbb{R}, \mathcal{P}( \mathbb{R}))\). Dabei bezeiche \( \delta_k\) das Dirac-Maß in \(x \in \mathbb{R}\) a) Zeigen sie, dass \( \mu \) ein endliches Maß ist b) Bestimmen sie \( \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{ \mathbb{R}} \sqrt{ x^2 + \frac{1}{n}} d \mu(x) \) Hinweis sie können verwenden: \( \sum\limits_{k=1}^{ \infty} \frac{k}{2^k} = 2\) gilt Die a) habe ich ohne größere Probleme alleine hinbekommen: Dafür musste ich zeigen, dass \(\mu( \mathbb{R}) < \infty\) ist. Es gilt, aber \( \mu( \mathbb{R})= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} \delta_k( \mathbb{R})\). Also ist \( \delta_k( \mathbb{R})=1\) für alle \(k \). Und damit ist die Reihe nach lange bekannten EIgenschaften konvergent und damit endlich. Bei der b) weiß ich nicht weiter. Möglicherweise kann ich den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und damit den Limes in das Integral hereinziehen und damit ein einfacheres Integral berechnen. Mein Problem ist, aber auch eher, dass ich nicht weiß wie ich von solch einem Maß das Lebesgue-Integral berechnen kann. Vielleicht kann mir jemand erklären wie ich solch ein Integral berechne ?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-20

\quoteon(2022-02-20 02:35 - KaSt im Themenstart) Möglicherweise kann ich den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und damit den Limes in das Integral hereinziehen und damit ein einfacheres Integral berechnen. \quoteoff Ja. Bedeutet das "möglicherweise", dass du dabei Probleme siehst? \quoteon(2022-02-20 02:35 - KaSt im Themenstart) Mein Problem ist, aber auch eher, dass ich nicht weiß wie ich von solch einem Maß das Lebesgue-Integral berechnen kann. \quoteoff Du könntest die naheliegende Formel $\int_{\mathbb R}f(x)\,\mathrm d\mu=\sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k}\,f(k)$ mit der üblichen maßtheoretischen Induktion (also erst für charakterische, dann für einfache und schließlich für nicht-negative messbare Funktionen) zeigen. --zippy


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KaSt
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-20

Okay, okay ich probiere den Maßtheoretischen Dreischritt. Ich denke deine naheliegende Formel ist im Nachhinein ziemlich einfach zu bestimmen gewesen. Vielen Dank habe es verstanden. Vielleicht poste ich später noch meine Lösung. Liebe Grüße


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