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 Reelle Hauptfundamentalmatrix erstellen |
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Boomerhead
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Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 64
 |  Themenstart: 2022-02-23
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Guten Abend Leute,
ich hab ein kleines Verständnisproblem. Es geht um reelle Fundamentalsysteme. Hierzu sei A die Matrix\(\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 \\-2 & -1 \\\end{array}\right)\). Es sollte ein reelles Fundamentalsystem gefunden werden. Hierzu habe ich die Eigentwerte \(\lambda_1 =-1+2i, \lambda_2 =-1-2i\) sowie die Eigenvektoren \(v_1=\left(\begin{array}{c}-i \\1 \\\end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{c}i \\1 \\\end{array}\right)\) errechnet. In meiner Übungsserie wollte ich nun aus dem imaginären Fundamentalsystem eine reelle Hauptfundamentalmatrix machen. Dazu habe ich recht umständlich die Transformationsmatrix, ihr Inverse und das Matrixexponential ausgerechnet und habe als HFM die Matrix \(X(t)=e^{-t}\left(\begin{array}{ccc}cos(2t) & sin(2t) \\-sin(2t) & cos(2t) \\\end{array}\right)\). Leider habe ich zu spät bemerkt, dass es leichtere Wege gibt, ein reelles Fundamentalsystem zu bestimmen. Also habe ich von der Lösung \(e^{-1+2i}v_1\) Real- und Imaginärteil bestimmt. Dann habe ich die Lösungen \(x_1=e^{-t}\left(\begin{array}{c}sin(2t) \\cos(2t) \\\end{array}\right)\) und \(x_2=e^{-t}\left(\begin{array}{c}-cos(2t) \\sin(2t) \\\end{array}\right)\). Wenn ich daraus dann aber die entsprechende HFM mache, sieht die anders aus als die, die ich oben berechnet habe. Zudem gilt dann auch nicht mehr, dass \(X(t_0)=I\), was ja eigentlich eine Grundvoraussetzung für eine Hauptfundamentalmatrix ist. Kann mir jemand erklären, wo da mein Denkfehler liegt ?
Würde mich über Anregungen freuen :-)
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4638
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-23
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\quoteon(2022-02-23 22:55 - Boomerhead im Themenstart)
Kann mir jemand erklären, wo da mein Denkfehler liegt ?
\quoteoff
Wenn Real- und Imaginärteil einer komplexen Lösung $z=x_1+ix_2$ linear unabhängig sind, kannst du ein Fundamentalsystem $X=(x_1,x_2)$ konstruieren. Das hat aber nur dann die Eigenschaft $X(t_0)=1$, wenn du deine komplexe Lösung so gewählt hast, dass $z(t_0)=(1,i)^T$ gilt. Wenn du von einer anderen komplexen Lösung ausgegangen bist, kannst du aber einfach $X(t)X(t_0)^{-1}$ betrachten.
--zippy
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