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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Verhältnis Leistung Nutzsignal zu Leistung Störsignal (KKF)
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Universität/Hochschule Verhältnis Leistung Nutzsignal zu Leistung Störsignal (KKF)
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-02-24

Wie kommt man darauf, dass: $$\frac{S_a}{Na} = \frac{E_s}{N_0} \cdot \frac{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)s(T-\tau)d\tau\right)^2}{\int_{-\infty}^{+\infty}h^2(t)dt \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)dt}$$ folgendes ergibt: $$\frac{S_a}{N_a} = \frac{E_s}{N_0}\cdot \color{red}{\rho^E_{sh}(\tau)^2}$$


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-24

Hallo Sinnfrei, geht es hier um eine Kreuzkorrelation wie im Titel oder eine Faltung wie im Zähler? Das Integral ist eine Funktion von $T$, nicht von der Integrationsvariablen $\tau$. Etwas mehr Kontext wäre nützlich. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-24

Achso, bin davon ausgegangen, dass es klar ist, was gemeint war. Es geht darum wie man von der folgenden Gleichung für das Verhältnis $$\frac{Leistung~des~Nutzsignals~im~Abtastzeitpunkt}{Leistung~des~Stoersignals~im~Abtastzeitpunkt} = \frac{S_a}{N_a} \quad (1)$$ Wobei $$S_a(T) = g^2{(T)} \quad N_a = \overline{n_a^2(t)} = \color{red}{\varphi_{nn}(\tau = 0)} = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}h^2(t)dt \quad (2)$$ Hier verstehe ich das in rot markierte $\color{red}{\varphi_{\tau = 0}}$ nicht. Also warum muss $\tau = 0$ sein und warum ist, dass das Integral auf der rechten Seite, der Gleichung mit $N_0$? Wenn ich dann beide in das Verhältnis für $S_a$ und $N_a$ einsetze, ergibt das erstmal folgendes: $$\frac{S_a}{N_a} = \frac{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)s(T-\tau)d\tau\right)^2}{N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}h^2(t)dt} \quad (3)$$ Dann wird die rechte Seite, der Gleichung mit einer 1 erweitert, undzwar mit der Energie des Zufallssignals $E_s = \int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)dt$ und das ergibt dann: $$\frac{S_a}{N_a} = \frac{\color{green}{E_s}}{N_0} \cdot {\frac{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)s(T-\tau)d\tau\right)^2}{\int_{-\infty}^{+\infty}h^2(t)dt \cdot \color{green}{\int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)dt}}} \quad (4)$$ $$\frac{S_a}{N_a} = \frac{E_s}{N_0} \cdot \color{red}{(\varphi^E_{sh}(\tau))^2} \quad (5)$$ Und das in rot soll wohl das quadrat der normierten KKF $\varphi_{sh}(\tau)$ ergeben. Darauf war meine Frage bezogen. Also wie man von Schritt (4) auf Schritt (5) zur KKF kommt.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-27

Hallo Sinnfrei, wenn $n_a(t)$ das mit der Impulsantwort $h(t)$ gefilterte Rauschsignal ist, dann gibt $n_a^2(t)$ dessen Momentanleistung und $\overline{n_a^2(t)}$ die mittlere Leistung an. Diesen Mittelwert kann man auch $\overline{n_a(t)\cdot n_a(t+\tau)}$ für $\tau=0$ schreiben, was Dir hoffentlich bekannt vorkommt. Die Leistung von gefiltertem weiße Rauschen habt ihr wohl schon einmal berechnet, oder etwa nicht? Das Integral im Zähler des Bruchs in $(3)$ ist eine Faltung, keine Korrelation. Ist die Impulsantwort $h$ vielleicht eine gerade Funktion? Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-27

Es geht dabei um den Empfang eines matched-Filters. Also Matched Filter Empfang. Ein System bestehend aus Sender dem $h_{channel}(t)$ und danach wird ein weißes Rauschen, Leistungsdichte $N_0$ auf den Kanal gegeben. Dieser heißt $s_N(t)$ und geht dann weiter an das Filter $h(t)$ und am Ausgang steht dann $g(t)+n_a(t)$ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Empfangssystem.png Es wird als Störung weißes Rauschen angenommen. Es wird angenommen, dass der Kanal selbst verzerrungsfrei ist und durch eine Stoßantwort der Form $$h_{channel}(t) = A \cdot \delta(t-T_0)$$ beschrieben werden kann. Da damit lediglich eine Verstärkung/Dämpfung mit Verzögerung gegeben ist, wird diese in den folgenden Betrachtungen nicht weiter berücksichtigt. Das Eingangssignal des Empfängers $s_N(t)$ ist nun: $$s_N(t) = s(t) + n(t)$$ Am Ausgang des Empfangsfilters steht dann das Signal $$(s(t) + n(t))*h(t) = \underbrace{s(t)*h(t)}_{g(t)} + \underbrace{n(t)*h(t)}_{n_a(t)}$$ Das Filter $h(t)$ soll nun so bestimmt werden, dass das Verhältnis $$\frac{S_a}{N_a}$$ im Abtastzeitpunkt T maximal wird. Der Rest steht dann bereits in Beitrag No. 2 Ob nun $h(t)$ eine gerade Funktion ist, steht nicht explizit drin aber vielleicht wirst du ja aus dem Text schlau und kannst es mir erklären


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