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Universität/Hochschule J Analoge Quelle + Quantisierungsstufen
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-02-25

Gegeben ist eine im Intervall [-1;2] gleichverteilte analoge Quelle x. Mittels einer Abbildung wird das Signal $Y$ gemäß $$Y = (X-1)^3$$ erzeugt Aufgaben: 1) Skizzieren Sie die PDF des Signals X unter Angabe charakteristischer Werte. 2) Bestimmen Sie die PDF des Signals Y und skizzieren Sie diese unter Angabe charakteristischer Werte! 3) Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert des Signals Y! 4) Signal Y soll nun ungleichmäßig mit einer Auflösung von 2 Bit so quantisiert werden, dass für alle Quantisierungsstufen die gleiche Wahrscheinlichkeit gilt. Bestimmen Sie die Quantisierungsstufen! Fragen: Zu 1) Wie bestimme ich die PDF des Signals X? Da hier von der Zufallsvariable X ausgegangen wird, müsste doch trotzdem die PDF von X einen linearen Verlauf haben oder? 2) Hier wäre das ganze ja einmal quadriert und anschließend nochmal mit sich selbst multipliziert. Kann man das irgendwie zerlegen und wenn ja wie? 3) Wie berechnet man den quadratischen Mittelwert aus dem Signal von Y. 4) Hier weiss ich nicht was es mit ungleichmäßig auf sich hat. Die Quantisierungsstufen sind ja eigentlich die Stufen, wo das digitale Signal sein Amplitude einmal behält und danach evt. auf eine andere Amplitude springt, sprich zeit- und wertediskret. Edit zu 1): Müsste die PDF von X nicht, weil es im Bereich [-1;2] gleichverteilt ist, ein $\operatorname{rect}$ der Breite 3, wie im Bild sein? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_gleichverteilt.png Und bei der 2) müsste es ja wieder ein $\operatorname{rect}$ der Breite 3 sein, da die Hochzahl dazu führt, dass ja immer mit dem Wert des $\operatorname{rect}$, der zwischen x = 3 und x = 0 ja eins ist mit sich selbst multipliziert wird. Dann spielt bei gleichverteilter Analoger Quelle, die Potenz, wie in diesem Fall ja keine Rolle. Es bleibt immer der selbe $\operatorname{rect}$ der Breite 3 nur halt um $1$ nach rechts verschoben oder nein ich müsste erstmal die Umkehrfunktion bestimmen, dammit ich an die PDF von $X$ rankommen. Also fange ich erstmal mit 2) an und stelle dann für 1) das ganze nach X um. Also wäre die PDF von y die $\operatorname{rect}$ Funktion um 1 nach rechts verschoben also wie https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_gleichverteilt1.png Und wenn ich die Umkehrfunktion bilde $$P_y(x) = prob(Y = g(x) \leq y) = prob(Y = (X-1)^3 \leq y)$$ Dann bekomme ich nach umstellen von x $$P_x(g^{-1}(y)) = prob(X \leq \sqrt[3]{y + 1})$$ Oder bin ich da komplett auf dem Holzweg?


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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-03

Hallo Sinnfrei, mit PDF ist die Dichtefunktion gemeint, diese hat für die gleichverteilte Zufallsvariable $X$ die Form einer Rechteckfunktion. Die Verteilungsfunktion $P_X$ gibt ja die Wahrscheinlichkeit \[ P_X(x) = \int_{-\infty}^x p_X(u)\,\dd u \qquad (1.1) \] an, damit kannst Du die Höhe $p_X(0)$ des Rechtecks bestimmen. Zu 2: die Variable $Y$ ist nicht gleichverteilt, der Graph von $p_Y$ sieht nicht so aus wie in Deinem Bild. Es ist zwar $X-1$ gleichverteilt, nimmt aber Werte in $[-2,1]$ an, daher kann $Y$ auch den Wert $(-2)^3=-8$ annehmen. Der Ansatz zur Berechnung der Verteilungsfunktion $P_Y(y)$ ist richtig, damit kannst Du auch die Dichte $p_Y(y)$ berechnen, wenn Du Dich an den Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen erinnerst. Mit der so ermittelten Dichte kannst Du den quadratischen Mittelwert \[ \mathcal{E}(Y^2) = \int_{-\infty}^{\infty} u^2 p_Y(u)\,\dd u \qquad (1.2) \] bestimmen. Für die Quantisierungsstufen $y_i, i \in \{1,2,3\}$ soll ja gelten, dass die Wahrscheinlichkeiten \[ P\{ y < y_1\} = P\{ y_1 \leq y < y_2\} = P\{ y_2 \leq y < y_3\} = P\{ y_3 \leq y\} = \frac{1}{4} \qquad (1.3) \] haben, Du musst also Quantile von $Y$ berechnen. Weil diese keine gleichen Abstände zueinander haben, spricht man von ungleichmäßiger Quantisierung. Servus, Roland


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-04

\quoteon(2022-03-03 09:03 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, mit PDF ist die Dichtefunktion gemeint, diese hat für die gleichverteilte Zufallsvariable $X$ die Form einer Rechteckfunktion. Die Verteilungsfunktion $P_X$ gibt ja die Wahrscheinlichkeit \[ P_X(x) = \int_{-\infty}^x p_X(u)\,\dd u \qquad (1.1) \] an, damit kannst Du die Höhe $p_X(0)$ des Rechtecks bestimmen. \quoteoff Muss ich denn die Höhe $p_X(0)$ des Rechtecks bestimmen? Wenn X stetig von $[-1,2]$ gleichverteilt ist, muss ja die Fläche darüber $1$ sein. Dann weiss man ja auch direkt die Höhe, wenn die Breite 3 ist aber ich wüsste auch nicht was mir $p_X(0)$ bringen sollte. Ist das allgemein so oder nur in diesem Fall? \quoteon Zu 2: die Variable $Y$ ist nicht gleichverteilt, der Graph von $p_Y$ sieht nicht so aus wie in Deinem Bild. Es ist zwar $X-1$ gleichverteilt, nimmt aber Werte in $[-2,1]$ an, daher kann $Y$ auch den Wert $(-2)^3=-8$ annehmen. \quoteoff Den Teil mit $[-2,1]$ verstehe ich nicht. Also du sagst das $X-1$ Werte aus diesem Bereich annehmen kann aber wird das Rechteck nicht um $1$ nach unten verschoben, also wenn wir $X-1$ betrachten? Ist hier X linear? Weil wenn $X$ linear ist, wäre $Y$ ja eine kubische Funktion, die auf der x-Achse bei $x=1$ sitzt. Hier bin ich noch unsicher. In der Aufgabe steht was von gleichverteiltem X und jetzt kann man da Werte


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-04

Hallo Sinnfrei, die Höhe des Rechtecks hat den Wert $p_X(x)$ für alle $-1 \leq x \leq 2$, daher kann jeder dieser Werte als Bezeichnung für die Höhe verwendet werden. Wenn $X$ Werte in $[-1, 2]$ annimmt, dann gilt $X-1 \in [-2, 1]$, das ist ja nichts anderes als die Verschiebung des Graphen nach links. Was meinst Du mit \quoteon(2022-03-04 03:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Ist hier X linear? Weil wenn $X$ linear ist, wäre $Y$ ja eine kubische Funktion, die auf der x-Achse bei $x=1$ sitzt. \quoteoff Die Zufallsvariable $X$ ist zwar eine Funktion, die von einem Wahrscheinlichkeitsraum auf das Intervall $[-1, 2]$ abbildet, aber ich wüsste nicht, was hier Linearität bedeuten sollte. Oder meinst Du die Verteilungsfunktion $P_{X}(x)$, die stückweise affin-linear ist? Servus, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-05

\quoteon(2022-03-04 07:35 - rlk in Beitrag No. 3) Hallo Sinnfrei, die Höhe des Rechtecks hat den Wert $p_X(x)$ für alle $-1 \leq x \leq 2$, daher kann jeder dieser Werte als Bezeichnung für die Höhe verwendet werden. Wenn $X$ Werte in $[-1, 2]$ annimmt, dann gilt $X-1 \in [-2, 1]$, das ist ja nichts anderes als die Verschiebung des Graphen nach links. Was meinst Du mit \quoteon(2022-03-04 03:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Ist hier X linear? Weil wenn $X$ linear ist, wäre $Y$ ja eine kubische Funktion, die auf der x-Achse bei $x=1$ sitzt. \quoteoff Die Zufallsvariable $X$ ist zwar eine Funktion, die von einem Wahrscheinlichkeitsraum auf das Intervall $[-1, 2]$ abbildet, aber ich wüsste nicht, was hier Linearität bedeuten sollte. Oder meinst Du die Verteilungsfunktion $P_{X}(x)$, die stückweise affin-linear ist? \quoteoff Ich hatte mich da an ein Beispiel aus dem Skript erinnert, wo $Y = aX + b$ gezeichnet wurde und der Verlauf von $Y$ war affin-linear und ich dachte, ich könnte das hierfür übernehmen aber die range von $X$ ist ja von $[-1,2]$, dass ist ja nicht seine Domain. Wäre $X$ aber gleichverteilt von $[-\infty, +\infty]$, dann wäre in dem Fall, dass wir $Y = aX + b$ hätten, dann eine affin-lineare Abbildung oder? Also heißt das, wenn eine Zufallsvariable in einem endlichen Intervall definiert ist, kann es auch diese Werte auf der $X$-Achse annehmen. Betrachtet man sich den Verlauf, meint man ja nicht die PDF davon sondern wie $X$ in einem Diagramm aussieht, dass wäre dann nur ein horizontaler Strich auf der $X$-Achse oder? Ich dachte man würde das Rechteck um $1$ verschieben aber das ist ja dann nicht mehr $X$ sondern die $PDF$ von $X$, die man da verschiebt und wenn man die Horizontale Linie $X$ um $-1$ verschiebt, wäre das dann keine Verschiebung nach unten, wie man es bei normalen Funktionen her kennt, sondern man zieht die Werte wo $X$ die Werte von $[-1,2]$ annehmen kann ab und man erhält dann die Werte für $X-1 \in [-2,1]$. Ich hatte mich da von normalen Funktion irritieren lassen, wo man $x$ und $y$ Werte hat aber die Werte auf der groß $X$-Achse sind ja nicht der Definitionsbereich von der Zufallsvariable $X$ sondern seine Werte. Dann erhalte ich die Werte, für $Y_{X=-1} = (-1-1)^3 = -8$, wie du bereits geschrieben hast, für $Y_{X = 0} = (-1)^3 = -1$, $Y_{X=1} = 0^3 = 0$ sowie $Y_{X=2} = (1)^3 = 1$ und so würde dann der Verlauf aussehen https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Abbildung_X_auf_Y.png Wenn ich die $PDF$ von $Y$ zeichnen möchte, ist es dann nicht einfach nur $P_Y(y) = prob(Y \leq y) = prob((X-1)^3 < y)$. Ich frage mich gerade warum ich am Anfang die Umformung in dem Ansatz gemacht habe. Edit: Die Werte für $Y$ spielen doch nur später eine Rolle, wenn ich $P_Y(y)$ bestimme. Dann müsste ich hier wie folgt vorgehen $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = prob(X \leq \sqrt[3]{y}-1)$$ Die $CDF$ von $Y$ leite ich dann noch nach $y$ ab $$p_y(y) = \frac{d}{dy} P_y(y) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}$$ Und kann dann jetzt die Werte $Y \in [-8,1]$ für y einsetzen. Ist das soweit richtig?


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-07

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-03-04 07:35 - rlk in Beitrag No. 3) Hallo Sinnfrei, die Höhe des Rechtecks hat den Wert $p_X(x)$ für alle $-1 \leq x \leq 2$, daher kann jeder dieser Werte als Bezeichnung für die Höhe verwendet werden. Wenn $X$ Werte in $[-1, 2]$ annimmt, dann gilt $X-1 \in [-2, 1]$, das ist ja nichts anderes als die Verschiebung des Graphen nach links. Was meinst Du mit \quoteon(2022-03-04 03:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Ist hier X linear? Weil wenn $X$ linear ist, wäre $Y$ ja eine kubische Funktion, die auf der x-Achse bei $x=1$ sitzt. \quoteoff Die Zufallsvariable $X$ ist zwar eine Funktion, die von einem Wahrscheinlichkeitsraum auf das Intervall $[-1, 2]$ abbildet, aber ich wüsste nicht, was hier Linearität bedeuten sollte. Oder meinst Du die Verteilungsfunktion $P_{X}(x)$, die stückweise affin-linear ist? \quoteoff Ich hatte mich da an ein Beispiel aus dem Skript erinnert, wo $Y = aX + b$ gezeichnet wurde und der Verlauf von $Y$ war affin-linear und ich dachte, ich könnte das hierfür übernehmen aber die range von $X$ ist ja von $[-1,2]$, dass ist ja nicht seine Domain. Wäre $X$ aber gleichverteilt von $[-\infty, +\infty]$, dann wäre in dem Fall, dass wir $Y = aX + b$ hätten, dann eine affin-lineare Abbildung oder? \quoteoff In dem Beispiel aus dem Skript ist $Y$ affin-linear von $X$ abhängig. Das ist eine Beschreibung der Funktion $X \mapsto Y$, die nicht davon abhängt, welche Werte $X$ annimmt. Ich würde aber nicht sagen, dass $Y$ affin-linear ist. \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) heißt das, wenn eine Zufallsvariable in einem endlichen Intervall definiert ist, kann es auch diese Werte auf der $X$-Achse annehmen. Betrachtet man sich den Verlauf, meint man ja nicht die PDF davon sondern wie $X$ in einem Diagramm aussieht, dass wäre dann nur ein horizontaler Strich auf der $X$-Achse oder? \quoteoff Ja, auch wenn dieser Darstellung unüblich ist. Welche Werte die Zufallsvariable annimmt, kannst Du auch am Graphen der Dichtefunktion ablesen. \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich dachte man würde das Rechteck um $1$ verschieben aber das ist ja dann nicht mehr $X$ sondern die $PDF$ von $X$, die man da verschiebt und wenn man die Horizontale Linie $X$ um $-1$ verschiebt, wäre das dann keine Verschiebung nach unten, wie man es bei normalen Funktionen her kennt, sondern man zieht die Werte wo $X$ die Werte von $[-1,2]$ annehmen kann ab und man erhält dann die Werte für $X-1 \in [-2,1]$. Ich hatte mich da von normalen Funktion irritieren lassen, wo man $x$ und $y$ Werte hat aber die Werte auf der groß $X$-Achse sind ja nicht der Definitionsbereich von der Zufallsvariable $X$ sondern seine Werte. \quoteoff Genau. Ich finde es gut, dass Du hier aufschreibst, was Du Dir gedacht hast, weil es so viel leichter ist, Dir gezielte Hinweise zu geben. \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Dann erhalte ich die Werte, für $Y_{X=-1} = (-1-1)^3 = -8$, wie du bereits geschrieben hast, für $Y_{X = 0} = (-1)^3 = -1$, $Y_{X=1} = 0^3 = 0$ sowie $Y_{X=2} = (1)^3 = 1$ und so würde dann der Verlauf aussehen https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Abbildung_X_auf_Y.png \quoteoff Das ist richtig, der Graph sieht aber ein bisschen anders aus: \geoon konstante(xmax,2) konstante(ymax,1) ebene(250,300) x(-1,2) y(-8,1) punkt(0,0,O,hide,nolabel) punkt(xmax,0,P1,hide,X) punkt(0,ymax,P2,hide,Y) punkt(-1,0,O1,hide,nolabel) punkt(0,-8,O2,hide,nolabel) c(black) form(.) plot((x-1)**3) pfeil(O1,P1,X) pfeil(O2,P2,Y) \geooff geoprint(,) \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Wenn ich die $PDF$ von $Y$ zeichnen möchte, ist es dann nicht einfach nur $P_Y(y) = prob(Y \leq y) = prob((X-1)^3 < y)$. Ich frage mich gerade warum ich am Anfang die Umformung in dem Ansatz gemacht habe. Edit: Die Werte für $Y$ spielen doch nur später eine Rolle, wenn ich $P_Y(y)$ bestimme. Dann müsste ich hier wie folgt vorgehen $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = prob(X \leq \sqrt[3]{y}-1)$$ \quoteoff Das ist richtig, aber für die Verteilungsfunktion (CDF) $P_Y(y)$ musst Du die Verteilungsfunktion von $X$ berücksichtigen. \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Die $CDF$ von $Y$ leite ich dann noch nach $y$ ab $$p_y(y) = \frac{d}{dy} P_y(y) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}$$ Und kann dann jetzt die Werte $Y \in [-8,1]$ für y einsetzen. Ist das soweit richtig? \quoteoff Du bist auf dem richtigen Weg. Wie gesagt hängt die Verteilung von $Y$ von der von $X$ ab. Zur Kontrolle kannst Du nachprüfen, ob \[ \operatorname{prob}(y=1) = \int_{-\infty}^1 p_Y(u)\,\dd u = 1 \] erfüllt ist. Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-07

Wenn also geschrieben steht, dass eine Quelle entweder gleich- oder normalverteilt ist, meint man also die $PDF$? Bei dem Begriff gleichverteilt dachte ich auch schon an die $CDF$ und nicht an die $PDF$ 😄. Um die $CDF$ von $X$ zu bestimmen, muss ich dann nur die $PDF$ davon integrieren oder? Die Grenzen sind doch von $[-1,2]$ oder? Dann wäre in dem Intervall, die Rechteckverteilung ja $1$. Also für die $CDF$ von $X$ bekomme ich \[ P_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(x+1), & -1 \leq x \leq 2 \\ 1, & x > 2\\ \end{array}\right.\\ \] Bei den Fällen habe ich Schwierigkeiten. Ich habe es einfach so von einer Seite übernommen aber weiss nicht warum $F(2) = 0$ sein soll, für den Fall $P_X(2 < x < \infty)$ Da habe ich folgendes stehen $$P_X(x) = P_X(2 < x < \infty) = F_X(\infty) - F_X(2)$$ Das $F_X(\infty) = 1$ ist, folgt ja direkt aus der PDF von X, da dort von $[-\infty,\infty]$ integriert wird aber warum $F_X(2) = 0$ sein soll keine Ahnung und wie ich von da weiter mache, weiss ich auch nicht. Die CDF habe ich aber inwiefern die von der CDF von Y abhängt weiss ich nicht. Ich kenne nur die Umformung mit dem X, dass mit den Fällen haben wir aber so nie gemacht.


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-08

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wenn also geschrieben steht, dass eine Quelle entweder gleich- oder normalverteilt ist, meint man also die $PDF$? Bei dem Begriff gleichverteilt dachte ich auch schon an die $CDF$ und nicht an die $PDF$ 😄. \quoteoff gleichverteilt bedeutet, dass die PDF im Intervall konstant ist, in dem Beispiel gilt \[ p_X(x) = \cases{0,\quad x < -1 \\ \frac{1}{3},\quad -1 \leq x \leq 2 \\ 0,\quad x>2} \] Die CDF ist ja monoton wachsend, kann also nicht nur gleiche Werte annehmen. \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Um die $CDF$ von $X$ zu bestimmen, muss ich dann nur die $PDF$ davon integrieren oder? Die Grenzen sind doch von $[-1,2]$ oder? Dann wäre in dem Intervall, die Rechteckverteilung ja $1$. \quoteoff Ja, Du musst integrieren, \[ P_X(x) = \int_{-\infty}^x p_X(u)\,\dd u. \] Was Du mit den Grenzen und dem letzten Satz sagen willst, verstehe ich nicht. \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Also für die $CDF$ von $X$ bekomme ich \[ P_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(x+1), & -1 \leq x \leq 2 \\ 1, & x > 2\\ \end{array} \qquad(1)\right.\\ \] \quoteoff Das ist richtig. \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Bei den Fällen habe ich Schwierigkeiten. Ich habe es einfach so von einer Seite übernommen aber weiss nicht warum $F(2) = 0$ sein soll, für den Fall $P_X(2 < x < \infty)$ Da habe ich folgendes stehen $$P_X(x) = P_X(2 < x < \infty) = F_X(\infty) - F_X(2)$$ Das $F_X(\infty) = 1$ ist, folgt ja direkt aus der PDF von X, da dort von $[-\infty,\infty]$ integriert wird aber warum $F_X(2) = 0$ sein soll keine Ahnung und wie ich von da weiter mache, weiss ich auch nicht. \quoteoff Was meinst Du mit $F$ und Ausdrücken wie $P_X(2 < x < \infty)$? Du scheinst hier Wahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen zu verwechseln. Weil $X$ nur Werte im Intervall $[-1,2]$ annimmt, ist die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(X \leq 2)=1$. Das Komplementärereignis $X > 2$ hat daher die Wahrscheinlichkeit 0. \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Die CDF habe ich aber inwiefern die von der CDF von Y abhängt weiss ich nicht. Ich kenne nur die Umformung mit dem X, dass mit den Fällen haben wir aber so nie gemacht. \quoteoff Ich vermute, dass Du auf den Zusammenhang zwischen den Verteilungen $P_X$ und $P_Y$ anspielst. Du hast ja schon richtig erkannt, dass \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = prob(X \leq \sqrt[3]{y}-1)$$ \quoteoff gilt. Die Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite musst Du durch $P_X$ ausdrücken, also $(1)$ einsetzen. Servus, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-08

\quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Bei den Fällen habe ich Schwierigkeiten. Ich habe es einfach so von einer Seite übernommen aber weiss nicht warum $F(2) = 0$ sein soll, für den Fall $P_X(2 < x < \infty)$ Da habe ich folgendes stehen $$P_X(x) = P_X(2 < x < \infty) = F_X(\infty) - F_X(2)$$ Das $F_X(\infty) = 1$ ist, folgt ja direkt aus der PDF von X, da dort von $[-\infty,\infty]$ integriert wird aber warum $F_X(2) = 0$ sein soll keine Ahnung und wie ich von da weiter mache, weiss ich auch nicht. \quoteon Was meinst Du mit $F$ und Ausdrücken wie $P_X(2 < x < \infty)$? Du scheinst hier Wahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen zu verwechseln. \quoteoff \quoteoff Bei Punkt 4 stetige Verteilungsfunktion hier steht weiter unten analog zu der Rechnnung hier, dasselbe nur mit $P(X > 4) = 1 - F(4)$. \quoteon Weil $X$ nur Werte im Intervall $[-1,2]$ annimmt, ist die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(X \leq 2)=1$. Das Komplementärereignis $X > 2$ hat daher die Wahrscheinlichkeit 0. \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Die CDF habe ich aber inwiefern die von der CDF von Y abhängt weiss ich nicht. Ich kenne nur die Umformung mit dem X, dass mit den Fällen haben wir aber so nie gemacht. \quoteoff Ich vermute, dass Du auf den Zusammenhang zwischen den Verteilungen $P_X$ und $P_Y$ anspielst. Du hast ja schon richtig erkannt, dass \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = prob(X \leq \sqrt[3]{y}-1)$$ \quoteoff gilt. Die Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite musst Du durch $P_X$ ausdrücken, also $(1)$ einsetzen. \quoteoff Und wie setze ich das ein? Da ist nichts mit $y$. Man kann doch nicht einfach $P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = \frac{1}{3}(x+1)$ setzen. Es muss doch die Umkehrfunktion von $Y$ sein und $P_X(g^{-1}(Y)) = \frac{1}{3}(x+1)$ ist ja wohl schlecht die Umkehrfunktion davon.


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Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-08 13:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Bei den Fällen habe ich Schwierigkeiten. Ich habe es einfach so von einer Seite übernommen aber weiss nicht warum $F(2) = 0$ sein soll, für den Fall $P_X(2 < x < \infty)$ Da habe ich folgendes stehen $$P_X(x) = P_X(2 < x < \infty) = F_X(\infty) - F_X(2)$$ Das $F_X(\infty) = 1$ ist, folgt ja direkt aus der PDF von X, da dort von $[-\infty,\infty]$ integriert wird aber warum $F_X(2) = 0$ sein soll keine Ahnung und wie ich von da weiter mache, weiss ich auch nicht. \quoteon Was meinst Du mit $F$ und Ausdrücken wie $P_X(2 < x < \infty)$? Du scheinst hier Wahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen zu verwechseln. \quoteoff \quoteoff Bei Punkt 4 stetige Verteilungsfunktion hier steht weiter unten analog zu der Rechnnung hier, dasselbe nur mit $P(X > 4) = 1 - F(4)$. \quoteoff Das beantwortet nicht meine Frage. Es ist zwar mit $F$ offensichtlich die Verteilungsfunktion (CDF) von $X$ gemeint, aber wieso verwendest Du ohne Erklärung ein neues Symbol, wenn wir bisher mit $P_X$ ausgekommen sind? Die Verteilungsfunktion erwartet als Argument eine reelle Zahl $x$ und ihr Wert $P_X(x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $X \leq x$ an. Ausdrücke wie $P_X(2 < x < \infty)$ sind daher undefiniert, Du meinst vermutlich die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(2 < X < \infty)$ (beachte auch den Unterschied zwischen der Zufallsvariablen $X$ und der reellen Zahl $x$). Wieder frage ich mich, ob diese schlampige Schreibweise ein Indiz für Verständnisfehler ist. \quoteon(2022-03-08 13:07 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-03-07 04:22 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Die CDF habe ich aber inwiefern die von der CDF von Y abhängt weiss ich nicht. Ich kenne nur die Umformung mit dem X, dass mit den Fällen haben wir aber so nie gemacht. \quoteon(2022-03-08 11:11 - rlk in Beitrag No. 7) Ich vermute, dass Du auf den Zusammenhang zwischen den Verteilungen $P_X$ und $P_Y$ anspielst. Du hast ja schon richtig erkannt, dass \quoteon(2022-03-05 00:18 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = prob(X \leq \sqrt[3]{y}-1)$$ \quoteoff gilt. Die Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite musst Du durch $P_X$ ausdrücken, also $(1)$ einsetzen. \quoteoff \quoteoff Und wie setze ich das ein? Da ist nichts mit $y$. Man kann doch nicht einfach $P_Y(y) = P_X(g^{-1}(Y)) = \frac{1}{3}(x+1)$ setzen. Es muss doch die Umkehrfunktion von $Y$ sein und $P_X(g^{-1}(Y)) = \frac{1}{3}(x+1)$ ist ja wohl schlecht die Umkehrfunktion davon. \quoteoff Du willst doch die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(X \leq \sqrt[3]{y}-1)$ berechnen. Nach der Definition der Verteilungsfunktion hat sie den Wert $P_X(\sqrt[3]{y}-1) = \frac{1}{3}(\sqrt[3]{y})$. Statt $P_X(g^{-1}(Y))$ sollte $P_X(g^{-1}(y))$ stehen, wir suchen eine Funktion der reellen Variablen $y$. Das habe ich leider übersehen, als ich Beiträge 5 und 7 schrieb. Servus, Roland


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Ich bin bei dem ganzen Thema noch sehr unsicher, gerade weil mich die Bezeichner klein $x$ und groß $X$ in Kombination irritieren, obwohl ich weiss, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_X(x)$ einen Wert ausgibt, der aussagt, dass die Zufallsvariable $X$ höchstens den Wert $x$ annehmen kann, sprich $P(X \leq x)$. Das Thema muss ich mir noch mal in Ruhe zu gemüte führen aber an diesen Gedanken \quoteon(2022-03-08 22:55 - rlk in


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-03-10

Hallo Sinnfrei, wenn Du unsicher bist, versuche die Begriffe zu wiederholen und Fragen zu stellen. Dass $F$ die CDF bezeichnet, habe ich vermutet, aber ist ungünstig, mehrere Bezeichnungen für dasselbe Objekt zu verwenden. Bei der CDF \[ P_Y(y) = \cases{0, \quad y < -8; \\ \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{y} + 2\right), \quad -8 \leq y \leq 1 \\ 1, \quad y > 1} \] hattest Du noch einen Vorzeichenfehler: aus $y = g(x) = (x - 1)^3$ ergibt sich $g^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} + 1$. Zur Kontrolle ist es nützlich, die Randwerte $P_Y(-8) = \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{-8} + 2\right) = 0$ und $P_Y(1) = \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{1} + 2\right) = 1$ zu prüfen. Bei der Ableitung hast Du den Faktor $\frac{1}{3}$ nicht berücksichtigt: \[ p_Y(y) = \frac{\dd P_Y(y)}{\dd y} = \cases{0, \quad y < -8; \\ \frac{1}{9} y^{-2/3}, \quad -8 \leq y \leq 1 \\ 0, \quad y > 1} \] Servus, Roland


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-18

Ich hab das mal in die Fälle mit den Integralen aufgeschrieben, da es da auch noch Aufgaben von der Sorte gibt, die mit $\cos$ und oder Normalverteilung daher kommen. Deswegen hier mal ausführlich und kannst du mir sagen, ob ich da mit klein x und groß X durcheinander gekommen bin? Ausgangssituation: $$P_Y(y) = prob(Y = (X-1)^3 \leq y) = prob(X \leq \sqrt[3]{y} + 1) = P_X(g^{-1}(y)) = P_X(\sqrt[3]{y} + 1)$$ $$P_X(X\leq x) = \int_{-\infty}^{x} p_x(u)du$$ Nun zu den Fällen und da habe ich mit den Ungleichungen/Schranken oder Intervallen Schwierigkeiten, diese zu verstehen. In einem Video, was ich auf youtube gefunden habe, wurden die Grenzen der Integrale nach Fällen wie folgt aufgeschrieben Für $x < -1$: $$P_X(X\leq -1) = \int_{-\infty}^{\color{red}{x}}0 du = 0$$ Hier ist es ja noch so, dass aus der Dichtefunktion von x, das Integral von $[-\infty,-1]$ gerechnet wird und da dort die Rechteckverteilung den Wert $0$ hat, ist das dementsprechend auch das Integral $0$. Hier konnte ich das $x$ als obere Grenze noch halbwegs nachvollziehen. Im nächsten Fall $-1\leq x \leq 2$: $$P_X(-1\leq X\leq 2) = \int_{-\infty}^{\color{red}{-1}}0 du + \int_{-1}^{\color{red}{x}} {1\over 3} du = $$ Hier hätte ich das erste Integral auch weglassen können, dass ist mir klar aber was ich beim zweiten Integral nicht verstehe ist, warum ich nicht die Bedingung als Ober-/Untergrenze schreiben kann. Also $\int_{-1}^{2}{1\over 3}du$ Im dritten und letzten Fall $x>2$: $$P_X(X > 2) = \int_{-\infty}^{-1} 0 du + \int_{-1}^{2}{1\over 3}du + \int_{2}^{x} 0 du$$ Wie interpretiert man das Integral. Also die Wahrscheinlichkeit für $X>2$ ergibt jetzt das Integral über die Grenzen $[-1,2]$. Hier verstehe ich nicht, warum das $X$ dabei größer 2 sein muss. Ich dachte man hätte die Integral-grenzen bei dem Fall $-1\leq x\leq 2$ aber dort wurden die Integralgrenzen $[-1,x]$ gewählt. Also wie ich aus der Fallbedingung, die Integralgrenzen bestimme und wie man auf die mehreren Integrale dabei kommt. Im dritten Fall hätte ich ja so gesehen 2 Integrale auslassen können, weil die Integrale $0$ ergeben würden. Das meinte ich in Beitrag No. 6 Vielleicht wurde mein Problem dadurch etwas klarer. Für die Fälle für die CDF und PDF von $Y$ aus Beitrag No. 11 hast du dann die Werte genommen, wo wir $X$ in der Funktion um eins nach links verschoben und dann hoch drei gerechnet hatten oder? Also $y\in [-8,1]$ und das was dann echt kleiner als $-8$ ist, ist dann analog zur CDF von $X$ für $x < -1$ und die CDF von $Y$ ist dann $1$ für größer $y > 1$ was dann dasselbe bei der CDF von $X$ bei $x > 2$ ist oder? Das sieht für mich so aus, als hättest du die Fälle im Beitrag Beitrag No. 11 einfach aus dem Anfang für die Werte $Y\in [-8,1]$ aus den Fällen für die CDF von $X$ angepasst. Kannst du mir erklären wie du darauf kommst, dass bei der CDF von $Y$ für $y < -8$ Der Wert $0$ rauskommt und warum bei $y > 1$ der Wert $1$?


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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-03-20

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Ich hab das mal in die Fälle mit den Integralen aufgeschrieben, da es da auch noch Aufgaben von der Sorte gibt, die mit $\cos$ und oder Normalverteilung daher kommen. Deswegen hier mal ausführlich und kannst du mir sagen, ob ich da mit klein x und groß X durcheinander gekommen bin? Ausgangssituation: $$P_Y(y) = prob(Y = (X-1)^3 \leq y) = prob(X \leq \sqrt[3]{y} + 1) = P_X(g^{-1}(y)) = P_X(\sqrt[3]{y} + 1) \quad \checkmark$$ $$\color{red}{P_X(X\leq x)} = \int_{-\infty}^{x} p_\color{red}{x}(u)du$$ \quoteoff in der zweiten Gleichung verwechselst Du die Verteilungsfunktion (CDF) mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $X\leq x$. Sie haben zwar denselben Wert, sind aber unterschiedliche Begriffe. Der Index bei der Dichtefunktion gibt die Zufallsvariable an, für die diese Dichte gilt, daher muss dort $X$ stehen. \[ \operatorname{prob}(X\leq x) = P_X(x) = \int_{-\infty}^{x} p_X(u)\,\dd u \qquad(13.1) \] \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Nun zu den Fällen und da habe ich mit den Ungleichungen/Schranken oder Intervallen Schwierigkeiten, diese zu verstehen. In einem Video, was ich auf youtube gefunden habe, wurden die Grenzen der Integrale nach Fällen wie folgt aufgeschrieben Für $x < -1$: $$\color{red}{P_X(X\leq -1)} = \int_{-\infty}^{\color{red}{x}}0 du = 0$$ \quoteoff Abgesehen von der falschen Verwendung der Verteilungsfunktion, die eine relle Zahl, kein Ereignis als Argument erwartet, sollte Dir auffallen, dass links kein $x$ vorkommt. Es geht offenbar um eine auf $[-1,2]$ gleichverteilte Zufallsvariable $X$. Die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(X\leq x)$ ergibt sich wie immer aus $(13.1)$. Gleichverteilt bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte $p_X(x)$ für $-1 \leq x \leq 2$ den gleichen Wert $\frac{1}{2-(-1)} = \frac{1}{3}$ hat. Werte außerhalb des Intervalls werden von $X$ nicht angenommen, daher gilt $p_X(x) = 0$ für $x \notin [-1,2]$. Setzt man das in $(13.1)$ ein, so ergibt sich für $x < -1$ \[ \operatorname{prob}(X\leq x) = P_X(x) = \int_{-\infty}^{x} p_X(u)\,\dd u = \int_{-\infty}^{x} 0\,\dd u = 0. \qquad(13.2) \] Wegen der Beschränktheit von $p_X$ gilt die Gleichung auch für $x=-1$. Setzt man $x=-1$ ein, so ergibt sich \[ \operatorname{prob}(X\leq -1) = 0. \] \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Hier ist es ja noch so, dass aus der Dichtefunktion von $\color{red}{x}$, das Integral von $[-\infty,-1]$ gerechnet wird und da dort die Rechteckverteilung den Wert $0$ hat, ist das dementsprechend auch das Integral $0$. Hier konnte ich das $x$ als obere Grenze noch halbwegs nachvollziehen. \quoteoff Was willst Du hier eigentlich ausrechnen? Die von $x$ abhängige Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(X \leq x)$, also den Wert der Verteilungsfunktion (CDF) $P_X(x)$ oder die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(X \leq -1)$? \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Im nächsten Fall $-1\leq x \leq 2$: $$\color{red}{P_X(-1\leq X\leq 2)} = \int_{-\infty}^{\color{red}{-1}}0 du + \int_{-1}^{\color{red}{x}} {1\over 3} du = $$ Hier hätte ich das erste Integral auch weglassen können, dass ist mir klar aber was ich beim zweiten Integral nicht verstehe ist, warum ich nicht die Bedingung als Ober-/Untergrenze schreiben kann. Also $\int_{-1}^{2}{1\over 3}du$ \quoteoff Die obere Integrationsgrenze hängt davon ab, was Du berechnen willst. Für die Wahrscheinlichkeit $\operatorname{prob}(-1\leq X\leq 2)$, die natürlich nicht von $x$ abhängt, kannst Du Dir überlegen, dass \[ \operatorname{prob}(a < X \leq b) = \int_a^b p_X(u)\,\dd u = P_X(b) - P_X(a) \qquad(13.3) \] gilt. Für $a=-1$ und $b=2$ ergibt sich \[ \operatorname{prob}(-1\leq X\leq 2) = \int_{-1}^{2} \frac{1}{3}\,\dd u = 1 \] was auch anschaulich klar sein sollte, weil $X$ ja nur Wert in diesem Intervall annimmt. Weil $P_X(-1) = 0$ ist, liefert auch die Summe der Integrale dasselbe Ergebnis. \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Im dritten und letzten Fall $x>2$: $$\color{red}{P_X(X > 2)} = \int_{-\infty}^{-1} 0 du + \int_{-1}^{2}{1\over 3}du + \int_{2}^{x} 0 du$$ Wie interpretiert man das Integral. \quoteoff Welches der drei Integrale meinst Du? Die rechte Seite liefert $P_X(x) = \operatorname{prob}(X \leq x)$ für $x > 2$. Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ Werte größer als $2$ annimmt, wendest Du $(13.3)$ an: \[ \operatorname{prob}(2 < X < \infty) = \int_2^\infty p_X(u)\,\dd u = P_X(\infty) - P_X(2) = 0. \] \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Also die Wahrscheinlichkeit für $X>2$ ergibt jetzt das Integral über die Grenzen $[-1,2]$. Hier verstehe ich nicht, warum das $X$ dabei größer 2 sein muss. Ich dachte man hätte die Integral-grenzen bei dem Fall $-1\leq x\leq 2$ aber dort wurden die Integralgrenzen $[-1,x]$ gewählt. Also wie ich aus der Fallbedingung, die Integralgrenzen bestimme und wie man auf die mehreren Integrale dabei kommt. Im dritten Fall hätte ich ja so gesehen 2 Integrale auslassen können, weil die Integrale $0$ ergeben würden. \quoteoff Wie ich schon geschrieben habe ist unklar, was hier berechnet werden soll. Ich empfehle Dir, ein Buch zu lesen statt Dir Videos anzusehen, die mehr Verwirrung als Klarheit zu stiften scheinen. \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Das meinte ich in Beitrag No. 6 Vielleicht wurde mein Problem dadurch etwas klarer. \quoteoff Leider scheinst Du noch immer Schwierigkeiten zu haben, Begriffe wie Wahrscheinlichkeit und Verteilungsfunktion auseinanderzuhalten. \quoteon(2022-03-18 07:24 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Für die Fälle für die CDF und PDF von $Y$ aus Beitrag No. 11 hast du dann die Werte genommen, wo wir $X$ in der Funktion um eins nach links verschoben und dann hoch drei gerechnet hatten oder? Also $y\in [-8,1]$ und das was dann echt kleiner als $-8$ ist, ist dann analog zur CDF von $X$ für $x < -1$ und die CDF von $Y$ ist dann $1$ für größer $y > 1$ was dann dasselbe bei der CDF von $X$ bei $x > 2$ ist oder? Das sieht für mich so aus, als hättest du die Fälle im Beitrag Beitrag No. 11 einfach aus dem Anfang für die Werte $Y\in [-8,1]$ aus den Fällen für die CDF von $X$ angepasst. Kannst du mir erklären wie du darauf kommst, dass bei der CDF von $Y$ für $y < -8$ Der Wert $0$ rauskommt und warum bei $y > 1$ der Wert $1$? \quoteoff Du hast doch selbst in Beitrag No. 4 den Graphen der Funktion $g(x)=(x-1)^3$ gezeichnet, die Intervallgrenzen $-1$ und $2$ werden davon auf $-8$ und $1$ abgebildet. Weil $X$ keine Werte außerhalb $[-1,2]$ annimmt, kann $Y=g(X)$ keine Werte außerhalb $[-8,1]$ annehmen, daher sind die Wahrscheinlichkeiten \[ \operatorname{prob}(Y \leq -8) = P_Y(8) = 0 \] und \[ \operatorname{prob}(Y > 1) = P_Y(\infty) - P_Y(2) = 0. \] Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-17

Ich habe die PDF von Y mal gerechnet aber weiss nicht, wie man diese jetzt zeichnet, da im Argument der PDF dritte Wurzel von $y$ + 1 anstelle von x steht. Also das $y$ an der Stelle verwirrt mich dabei. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-17_175657.png Ist die Rechnung denn soweit richtig? Diesen Zusammenhang zwischen Verteilungs- und Dichtefunktion, hattest du denke ich in Beitrag No. 1 gemeint oder?


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-09-17

Hallo Sinnfrei, wenn Du die Dichtefunktion (PDF) $p_Y(y)$ oder die Verteilungsfunktion (CDF) $P_Y(y)$ zeichnen willst, gibt die unabhängige Variable $y$ die Koordinate auf der horizontalen Achse (Abszisse) und der Funktionswert die Koordinate auf der vertikalen Achse (Ordinate) an. Der Grund Deiner Verwirrung vielleicht die Tatsache, dass hier $y$ die Koordinate auf Abszisse statt nicht wie meistens auf der Ordinate ist? Die ersten beiden Gleichungen sind richtig, aber dann taucht plötzlich die Bedingung $-\sqrt[3]{y} + 1 \leq X$ aus dem Nichts auf. Kann es sein, dass Du hier an die Diskussion https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674 gedacht hast? Die Funktion $y = (x-1)^3$ ist monoton wachsend und daher bijektiv. In Beitrag 4 hattest Du schon die richtige Gleichung $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(y)) = \operatorname{prob}(X \leq \sqrt[3]{y}-1) = P_X(\sqrt[3]{y}-1)$$ Die Verteilungsfunktion $P_X(x)$ hast Du in Beitrag 6 schon aufgeschrieben. Ja, mit dem Zusammenhang zwischen Verteilungs- und Dichtefunktion hatte ich die Gleichung $$\frac{\dd P_Y(y)}{\dd y} = p_Y(y)$$ gemeint. Servus, Roland


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-17

\quoteon(2022-09-17 20:47 - rlk in Beitrag No. 15) Hallo Sinnfrei, wenn Du die Dichtefunktion (PDF) $p_Y(y)$ oder die Verteilungsfunktion (CDF) $P_Y(y)$ zeichnen willst, gibt die unabhängige Variable $y$ die Koordinate auf der horizontalen Achse (Abszisse) und der Funktionswert die Koordinate auf der vertikalen Achse (Ordinate) an. Der Grund Deiner Verwirrung vielleicht die Tatsache, dass hier $y$ die Koordinate auf Abszisse statt nicht wie meistens auf der Ordinate ist? \quoteoff Das hattest du ja bereits gesagt, komplett vergessen. Man musste so gesehen nur die beiden Randwerte also $-1$ und $2$ für $X$ in $Y$ einsetzen damit man auf den Bereich von $Y$ kommt. Das hatte sich ja alles um die $-1$ nach links verschoben und nicht nach rechts verschoben, wie das bei normalen Funktionen wäre. Mir ging es darum, was ich nochmal alles für $Y$ einsetzen darf. Hat sich aber an der Stelle erledigt. \quoteon(2022-09-17 20:47 - rlk in Beitrag No. 15) Die ersten beiden Gleichungen sind richtig, aber dann taucht plötzlich die Bedingung $-\sqrt[3]{y} + 1 \leq X$ aus dem Nichts auf. Kann es sein, dass Du hier an die Diskussion https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674 gedacht hast? Die Funktion $y = (x-1)^3$ ist monoton wachsend und daher bijektiv. In Beitrag 4 hattest Du schon die richtige Gleichung $$P_Y(y) = P_X(g^{-1}(y)) = \operatorname{prob}(X \leq \sqrt[3]{y}-1) = P_X(\sqrt[3]{y}-1)$$ Die Verteilungsfunktion $P_X(x)$ hast Du in Beitrag 6 schon aufgeschrieben. \quoteoff Dann ist das bei ungeraden Wurzelexponenten anders als bei geraden Wurzelexponenten. Muss ich mir direkt mal merken. Ich komme auf folgendes https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-17_222423.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-17_222459.png Doch wie du für die PDF und CDF von $Y$, die in rot markierten Stellen errechnet hast verstehe ich nicht. \quoteon(2022-03-10 07:44 - rlk in Beitrag No. 11) Hallo Sinnfrei, wenn Du unsicher bist, versuche die Begriffe zu wiederholen und Fragen zu stellen. Dass $F$ die CDF bezeichnet, habe ich vermutet, aber ist ungünstig, mehrere Bezeichnungen für dasselbe Objekt zu verwenden. Bei der CDF \[ P_Y(y) = \cases{0, \quad y < -8; \\ \color{red}{\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{y} + 2\right)}, \quad -8 \leq y \leq 1 \\ 1, \quad y > 1} \] hattest Du noch einen Vorzeichenfehler: aus $y = g(x) = (x - 1)^3$ ergibt sich $g^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} + 1$. Zur Kontrolle ist es nützlich, die Randwerte $P_Y(-8) = \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{-8} + 2\right) = 0$ und $P_Y(1) = \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{1} + 2\right) = 1$ zu prüfen. Bei der Ableitung hast Du den Faktor $\frac{1}{3}$ nicht berücksichtigt: \[ p_Y(y) = \frac{\dd P_Y(y)}{\dd y} = \cases{0, \quad y < -8; \\ \color{red}{\frac{1}{9} y^{-2/3}}, \quad -8 \leq y\leq 1 \\ 0, \quad y > 1} \] \quoteoff


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Hallo Sinnfrei, für die PDF musst Du nur $$p_X(x) = p_X(\sqrt[3]{y} - 1) = \frac{1}{3} \qquad(17.1)$$ in Deine richtige Formel $$p_Y(y) = \frac{1}{3} y^{-2/3} p_X(\sqrt[3]{y} - 1)$$ einsetzen. Wie Du bereits festgestellt hast, gilt $(17.3)$ für $-1 \leq x \leq 2$ und $-8 \leq y \leq 1$. Hier hatte ich $(17.1)$ gemeint, aber leider $(17.3)$ geschrieben. Für Werte von $x$ und $y$ außerhalb dieser Intervalle gilt natürlich $p_X(x)=0$ und $p_Y(y)=0$. Für die CDF kannst Du entweder $P_X(x)$ aus Beitrag 11 in Deine Formel einsetzen oder die PDF $p_Y(y)$ integrieren. Servus, Roland


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 14:31 - rlk in Beitrag No. 17) Hallo Sinnfrei, für die PDF musst Du nur $$p_X(x) = p_X(\sqrt[3]{y} - 1) = \frac{1}{3} \qquad(17.1)$$ in Deine richtige Formel $$p_Y(y) = \frac{1}{3} y^{-2/3} p_X(\sqrt[3]{y} - 1)$$ einsetzen. Wie Du bereits festgestellt hast, gilt $(17.3)$ für $-1 \leq x \leq 2$ und $-8 \leq y \leq 1$. Für Werte von $x$ und $y$ außerhalb dieser Intervalle gilt natürlich $p_X(x)=0$ und $p_Y(y)=0$. Für die CDF kannst Du entweder $P_X(x)$ aus Beitrag 11 in Deine Formel einsetzen oder die PDF $p_Y(y)$ integrieren. Servus, Roland \quoteoff Hier fehlt denke ich was (17.3) Ich habe da folgendes stehen. Weiss aber nicht, wie man das zeichnet. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-18_185414.png


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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-09-18

Hallo Sinnfrei, was fehlt Deiner Meinung nach in $(17.3)$? Ich dachte, dass Du den in Beitrag 11 rot markierten Ausdruck $\frac{1}{9} y^{-2/3}$ für die PDF $p_Y(y)$ nachvollziehen willst? Dieser gilt für $-8 \leq y \leq 1$, also auch für $y=1/3$ und liefert den Wert $$p_Y\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2/3} = \frac{1}{9} \sqrt[3]{3^2} =\frac{1}{9} \sqrt[3]{9} \approx 0.231 $$ daher liegt der Punkt $P(0.333, 0.231)$ auf dem Graphen von $p_Y(y)$. \geoon konstante(xmax,1) konstante(ymax,2) ebene(400,400) x(-8,1) y(0,2) punkt(0,0,O,hide,nolabel) punkt(xmax,0,P1,hide,y) punkt(0,ymax,P2,hide,P_Y) punkt(-8,0,O1,hide,nolabel) punkt(0,0,O2,hide,nolabel) pfeil(O1,P1,X) pfeil(O2,P2,nohide,nolabel) punkt(-1,1.7,p_Y) c(red) punkt(0.333, 0.231,P) c(blue) form(.) plot(((x**2)**(-1/3))/9) \geooff geoprint(,) Servus, Roland


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

Du hast 17.3 erwähnt aber die Gleichung bzw. das was du für 17.3 aufschreiben wolltest taucht doch gar nicht auf. Lies mal den Satz bei deinem Betrag in 17. Leider hast du nicht erklärt, wie du auf diese Gleichung gekommen bist. Bei mir kommt z.B. kein Vorfaktor $1/9$ vor.


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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-09-19

Hallo Sinnfrei, Du hast recht, dort sollte $(17.1)$ stehen, sorry. Trotzdem hättest Du die PDF $p_X(x) = \frac{1}{3}$ in die unnummerierte Gleichung für $p_Y(y)$ einsetzen können um zu erkennen, dass sich der Faktor $\frac{1}{9}$ aus dem Produkt von $p_X(x) = \frac{1}{3}$ und dem aus der inneren Ableitung stammenden $\frac{1}{3}$ ergibt. Welche Gleichung meinst Du hier? \quoteon(2022-09-18 22:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 20) Leider hast du nicht erklärt, wie du auf diese Gleichung gekommen bist. Bei mir kommt z.B. kein Vorfaktor $1/9$ vor. \quoteoff Bitte schreibe konkretere Fragen, dann können wir beide Zeit sparen. Zum Beispiel \quoteon Du beziehst Dich in Beitrag 17 auf Gleichung $(17.3)$, die dort nicht zu finden ist. \quoteoff statt \quoteon(2022-09-18 18:55 - Sinnfrei in Beitrag No. 18) Hier fehlt denke ich was (17.3) \quoteoff oder \quoteon Ich bin unsicher, welche Werte ich für $y$ betrachten soll. \quoteoff (wenn das der Grund Deiner Verwirrung war) statt \quoteon(2022-09-17 18:02 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Ich habe die PDF von Y mal gerechnet aber weiss nicht, wie man diese jetzt zeichnet, da im Argument der PDF dritte Wurzel von $y$ + 1 anstelle von x steht. Also das $y$ an der Stelle verwirrt mich dabei. \quoteoff Servus, Roland


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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19

\quoteon(2022-09-19 08:13 - rlk in Beitrag No. 21) Hallo Sinnfrei, Du hast recht, dort sollte $(17.1)$ stehen, sorry. Trotzdem hättest Du die PDF $p_X(x) = \frac{1}{3}$ in die unnummerierte Gleichung für $p_Y(y)$ einsetzen können um zu erkennen, dass sich der Faktor $\frac{1}{9}$ aus dem Produkt von $p_X(x) = \frac{1}{3}$ und dem aus der inneren Ableitung stammenden $\frac{1}{3}$ ergibt. \quoteoff Aber gerade das habe ich doch in Beitrag 18 versucht. Dann hättest du wenigstens auf diese anscheinend fehlerhafte Rechnung in Beitrag 19 reagieren können, anstelle von einem Ergebnis woher ich nicht weiss, wie man darauf kommt. Ich habe dort eine Rechteckfunktion, die fehlt oder ist nicht bei dir in Beitrag 19 zu sehen. \quoteon(2022-09-19 08:13 - rlk in Beitrag No. 21) Welche Gleichung meinst Du hier? \quoteon(2022-09-18 22:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 20) Leider hast du nicht erklärt, wie du auf diese Gleichung gekommen bist. Bei mir kommt z.B. kein Vorfaktor $1/9$ vor. \quoteoff \quoteoff Die folgenden Gleichungen, die ich auch schon in Beitrag 16 in rot markiert habe. Also $$p_Y(y) = {1\over 9}y^{-2/3}\quad (-8\leq y\leq 1)$$ $$P_Y(y) = {1\over 3}(\sqrt[3]{y} + 2)\quad (-8\leq y\leq 1)$$ Bei der Verteilungsfunktion weiss ich nicht, wie du auf die 2 in den Klammern gekommen bist - Anscheinend durch die Integration. Bei der Dichtefunktion habe ich z.B. auch die Rechteckfunktion, die hier anscheinend nicht vorkommt. Das Thema fällt mir an sich sehr schwer darum bitte ich dich vielleicht um etwas Nachsicht, da ich Stochastik nie gehabt habe und da auch erst einmal ein/e Gefühl/Vorstellung für solche Sachen, wie Verteilung, Dichte usw. aufbauen muss. Ich gebe mir dafür auch wirklich sehr viel Mühe, das irgendwie zu verstehen.


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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-20

Hallo Sinnfrei, mir ist nicht immer klar, wo Deine Schwierigkeiten liegen. Nachdem wir uns im März über die Zusammenhänge zwischen Wahrscheinlichkeiten, Dichte- und Verteilungsfunktionen ausgetauscht hatten, dachte ich, dass Du diese Begriffe schon verinnerlicht hast. In Beitrag 17 kommen zwei Gleichungen vor: $$p_X(x) = p_X(\sqrt[3]{y} - 1) = \color{green}{\frac{1}{3}} \qquad(17.1)$$ und Deine Formel $$p_Y(y) = \color{blue}{\frac{1}{3}} y^{-2/3} \color{green}{p_X(\sqrt[3]{y} - 1)} \qquad(23.2).$$ Auch ohne die Bedeutung der Funktionen $p_X$ und $p_Y$ im Detail zu verstehen, sollte doch klar sein, dass Du $p_X$ aus $(17.1)$ in $(23.2)$ einsetzen musst, um die gesuchte Funktion $p_Y$ zu erhalten. Warum Du das nicht machst, ist mir ein Rätsel. Statt der $\operatorname{rect}$-Funktion habe ich die Ungleichungen $$-1 \leq x \leq 2 \qquad(23.3)$$ und $$-8 \leq y \leq 1 \qquad(23.4)$$ verwendet, weil ich diese leichter verständlich finde. Als ich Beitrag 18 zum ersten Mal las, hatte ich mich gewundert, warum Du nur einen Wert für $y$ betrachtest und $y=\frac{1}{3}$ einsetzt. Kann es sein, dass Du die Funktion $p_X = \frac{1}{3}$ mit der unabhängigen Variablen $y$ verwechselt hast? Bei der CDF kannst Du genauso rechnen, indem Du $$P_X(x) = \frac{1}{3} (x + 1) \qquad(23.5)$$ aus Beitrag 6 in $$P_Y(y) = P_X(\sqrt[3]{y} + 1) \qquad(23.6)$$ einsetzt. Beim erneuten Durchlesen der Diskussion habe ich gesehen, dass Du die Umkehrfunktion $g^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} + 1$ von $g(x) = (x-1)^3$ manchmal mit falschem Vorzeichen, also $g^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \color{red}{-} 1$ aufgeschrieben hast, diesen Vorzeichenfehler hatte ich in Beitrag 11 gemeint. Leider habe ich in manchen Beträgen die falsche Gleichung für $g^{-1}$ bestätigt, es tut mir leid, wenn ich Dich damit verwirrt habe. Servus, Roland


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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-20

Dann weiss ich jetzt wie du vorgegangen bist. Wenn du so wie ich, über die CDF von $Y$ an die PDF von $Y$ herangegangen währst, würdest du denke ich auch nicht um die Rechteckfunktion, für die PDF von $Y$ herumkommen, da die PDF von $X$ nur den Wert $1/3$ hat. Zumindest lese ich es so auch auf Wikipedia. Demnach wäre auch folgendes richtig oder? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-20_220321.png Die Wurzel, die ich in rot markiert habe, kann ich nicht einfach so weglassen oder? In dem nicht-bijektiven Beispiel, konnte man nachher die Wurzel vernachlässigen. Hat das etwas mit dem Intervall zu tun, wo die Rechteckfunktion liegt? Da du jetzt geschrieben hast, dass du über die CDF von X, durch Integration an die PDF von $Y$ gelangt bist, komme ich jetzt auch auf dieses Ergebnis, ohne die Rechteckfunktion. Das war halt das, was mich verwirrt hat. Macht aber auch Sinn, da nur die CDF eine unabhängige Variable $x$ hat und die PDF ja nicht. Darauf wäre ich glaube ich nie gekommen - Also auch das Integral zu berechnen. Ich habe es immer so gesehen, dass ich, nachdem ich $P_X(\sqrt[3]{y}+1)$ geschrieben hatte (Beitrag 12), zügig ableiten muss, um an die PDF von $Y$ zu gelangen. Also den Teil mit integrieren habe ich nie gemacht, da ich auch unsicher war, aufgrund der Grenzen des Integrals für die CDF. Wann man was macht, muss ich trotzdem noch üben aber ich denke, dass ich das jetzt zumindest irgendwie verstanden haben sollte. Angenehmer zum zeichnen ist definitiv die Version mit den Fällen aber ich denke das der Prüfer die Skizze anhand der Rechteckfunktion erwartet, einfach aus dem Grund weil er auch sehr oft mit solchen Funktionen rechnet und in sehr vielen Musterlösungen vorkommt. Von der Hand geht deins aber schneller. Ich denke ich werde trotzdem deine Version verwenden. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-20_215350.png Vielen Dank an der Stelle :) Nachtrag: Für den quadratischen Mittelwert bekomme ich folgendes heraus https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-20_225038.png


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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-09-21

Hallo Sinnfrei, es freut mich, dass ich Dir helfen konnte. :-) \quoteon(2022-09-20 22:19 - Sinnfrei in Beitrag 24) Dann weiss ich jetzt wie du vorgegangen bist. Wenn du so wie ich, über die CDF von $Y$ an die PDF von $Y$ herangegangen wärst, würdest du denke ich auch nicht um die Rechteckfunktion, für die PDF von $Y$ herumkommen, da die PDF von $X$ nur den Wert $1/3$ hat. Zumindest lese ich es so auch auf Wikipedia. \quoteoff wieso denkst Du, dass ich nicht über die CDF gegangen bin? Der Zusammenhang $(23.2)$ zwischen den Dichtefunktionen $p_X$ und $p_y$ ergibt sich ja aus $(23.5)$ durch Ableiten, wie Du das in Beitrag 24 nachrechnest. Die Rechteckfunktion ist nur eine andere Schreibweise für die Unterscheidung der Fälle $x<-1$, $-1funktion (CDF) als auch die Dichtefunktion hängen von einer unabhängigen Variablen ab. \quoteon Darauf wäre ich glaube ich nie gekommen - Also auch das Integral zu berechnen. Ich habe es immer so gesehen, dass ich, nachdem ich $P_X(\sqrt[3]{y}+1)$ geschrieben hatte (Beitrag 12), zügig ableiten muss, um an die PDF von $Y$ zu gelangen. \quoteoff Ich weiß nicht, was Dich hier blockiert, die Vorgehensweise erscheint mir einfach (die Rechnung kann dann vielleicht aufwendig werden, hier ist sie aber überschaubar). 1. Die Verteilungsfunktionen (CDFs) werden mit $(23.5)$ bzw. allgemein für eine bijektive Abbildung $Y=g(X)$ mit $$ P_Y(y) = P_X(g^{-1}(y)) \qquad(25.3) $$ umgerechnet. 2. Die Dichtefunktionen (PDFs) werden mit $(23.2)$ bzw. allgemein mit $$ p_Y(y) = \frac{\dd g^{-1}(y)}{\dd y} p_X(g^{-1}(y)) \qquad(25.4)$$ umgerechnet, diese Gleichung ergibt sich ja durch Ableiten von $(25.3)$. \quoteon Also den Teil mit integrieren habe ich nie gemacht, da ich auch unsicher war, aufgrund der Grenzen des Integrals für die CDF. \quoteoff Für den Fall dass man die Verteilungsfunktion $P_X(x)$ nicht kennt, kann man die Verteilungsfunktion $P_Y(y)$ aus der Dichtefunktion $p_Y(y)$ durch Integration erhalten, die Integrationsgrenzen $-\infty$ und $y$ kannst Du in $(25.1)$ ablesen. \quoteon Wann man was macht, muss ich trotzdem noch üben aber ich denke, dass ich das jetzt zumindest irgendwie verstanden haben sollte. \quoteoff Üben ist sicher eine gute Idee, aber Du solltest auch ein gutes Buch zu dem Thema lesen, um aus dem "irgendwie" ein "wirklich" zu machen. Deine Aussage \quoteon(2022-09-19 12:22 - Sinnfrei in Beitrag 19) Diesen Zusammenhang mit den Ereignissen in der PDF, die an sich ja eigentlich nur in der Verteilungsfunktion eine Rolle spielen sollten. \quoteoff in der anderen Diskussion https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674&post_id=1871241 zeigt, dass Dir die Begriffe noch nicht wirklich klar geworden sind. Dichte- und Verteilungsfunktion sind ja über $(25.1)$ und $(25.2)$ miteinander verknüpft, wie soll es Ereignisse geben, die nur für eine der Funktionen eine Rolle spielen? Den quadratischen Mittelwert hast Du richtig berechnet. Servus, Roland


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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-21

\quoteon(2022-09-21 20:51 - rlk in Beitrag No. 25) Für den Fall dass man die Verteilungsfunktion $P_X(x)$ nicht kennt, kann man die Verteilungsfunktion $P_Y(y)$ aus der Dichtefunktion $p_Y(y)$ durch Integration erhalten, die Integrationsgrenzen $-\infty$ und $y$ kannst Du in $(25.1)$ ablesen. \quoteoff Und das war halt das Problem, ich hatte ja auch eine andere Vorgehensweise zur Lösung dieses Integrals aufgeschrieben, welches aus einem youtube Video entstammt. Erst nach mehrmaligem recherchieren und jetzt auch durch die Videos von Stanley H. Chan, habe ich da auch schon so einige Beispiele gesehen, wie man beim lösen dieses Integrals für die CDF herangeht. Allgemein haben wir mit solchen Integralen, wo dann die obere Grenze $x$ ist und man nach berechnen des Integrals für einen Fall eine Funktion erhält, sehr wenig bis gar nicht gemacht. Erster Anfang war ja die Faltung und dann ging es halt so weiter. Beispiele waren dabei sehr rar.


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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22

Weiss gerade nicht ob das richtig ist, da ich das gerade beim vorbeilesen auf folgender Seite gesehen habe. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-22_000921.png Quelle: Statistics LibreTexts Im Punkt "The Uniform Distribution", gibt es eine Beispielaufgabe dazu. Daher dachte ich mir, dass Sie dazu passen könnte, da wir in dieser Aufgabe auch eine Gleichverteilte Zufallsvariable haben. Nachtrag: $Y$ ist aber nicht gleichverteilt. Kommando zurück :D Oder ne, das ist doch richtig. Ich habe ja die Verteilung aus dieser Aufgabe genommen.


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  Beitrag No.28, eingetragen 2022-09-22

Hallo Sinnfrei, die Entscheidungsschwellen $y_1 \ldots y_3$ hast Du richtig berechnet, Du solltest aber zumindest dazuschreiben, dass sie sich aus der zweiten Gleichung für $p_i = \frac{1}{4} i$ mit $i \in \{1,2,3\}$ ergeben. Die Variable $Y$ ist nicht gleichverteilt, sonst hätten wir die Verteilungs- und Dichtefunktion schneller berechnet. Es gibt aber eine andere Zufallsvariable (ich meine damit nicht $X$), die gleichverteilt ist, welche ist das? Servus, Roland


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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-22

\quoteon(2022-09-22 21:47 - rlk in Beitrag No. 28) Hallo Sinnfrei, die Entscheidungsschwellen $y_1 \ldots y_3$ hast Du richtig berechnet, Du solltest aber zumindest dazuschreiben, dass sie sich aus der zweiten Gleichung für $p_i = \frac{1}{4} i$ mit $i \in \{1,2,3\}$ ergeben. Die Variable $Y$ ist nicht gleichverteilt, sonst hätten wir die Verteilungs- und Dichtefunktion schneller berechnet. Es gibt aber eine andere Zufallsvariable (ich meine damit nicht $X$), die gleichverteilt ist, welche ist das? \quoteoff In dieser Aufgabe sollte aber nur $X$ gleichverteilt sein. Also keine Ahnung was du damit meinst, welche Zufallsvariable noch gleichverteilt sein soll und mehr als 2 Zufallsvariablen $(X,Y)$ haben wir nicht kennen gelernt. Zu dem ersten Absatz weiss ich nicht, wie du auf $i\in\{1,2,3\}$ kommst. Wenn die Auflösung in 2 Bit quantisiert werden soll, müsste ich doch $i\in\{1,2,3,4\}$ haben und ich weiss auch nicht was du mit dazuschreiben meinst. Also wie man das jetzt korrekt aufschreibt. Ich habe die obige Notation aus der genannten Seite, für diese Aufgabe übernommen.


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  Beitrag No.30, eingetragen 2022-09-23

Hallo Sinnfrei, ich verstehe zwar, dass Du mit den Erklärungen Deines Professors nicht zurechtkommst und daher nach anderen Informationsquellen suchst, aber statt auf eine beim "vorbeilesen" entdeckte Aufgabe aufzubauen, würde ich vorschlagen, systematisch vorzugehen. Als erstes musst Du dazu die Frage analysieren. \quoteon(2022-02-25 03:30 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Signal Y soll nun ungleichmäßig mit einer Auflösung von 2 Bit so quantisiert werden, dass für alle Quantisierungsstufen die gleiche Wahrscheinlichkeit gilt. Bestimmen Sie die Quantisierungsstufen! \quoteoff Das Ausgangssignal des Quantisierers kann mit 2 bit beschrieben werden, es kann daher $2^2=4$ verschiedene Werte annehmen. Dazu teilt man den Wertebereich des Eingangssignals $Y$ in $4$ Intervalle auf. Die $3$(!) Grenzen zwischen den Intervallen habe ich $y_i$ genannt, der Index $i$ nimmt daher die drei Werte $1$, $2$ und $3$ an. Wie würdest Du das Ausgangssignal mathematisch beschreiben? Wie sieht der Zusammenhang zwischen dem Eingang $Y$ und dem Ausgang $Q$ des Quantisierers aus? Was ist mit den in der Frage leider ungenau verwendeten Quantisierungsstufen gemeint? Mit dazuschreiben meine ich, dass Du Deinen Rechenweg erklärst, idealerweise mit den Überlegungen, die Du dazu angestellt hast. Bisher stehen nur zwei Gleichungen und Ergebnisse, aber nicht, wie Du die Ergebnisse berechnet hast. Das Ziel solcher Aufgaben ist doch, Dein Verständnis zu überprüfen, mit den Fragmenten ist das schwierig. Auf einige meiner Fragen, die ich in Beitrag 25 bist Du nicht eingegangen, was es nicht leicht macht, Deine Verständnisschwierigkeiten zu verstehen und etwas dagegen zu tun. Das Skript, dass Du gefunden hast sieht gut aus, aber das Beispiel, das Du verwendet hast, habe ich nicht gefunden, weder in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/05%3A_Special_Distributions/5.20%3A_General_Uniform_Distributions noch in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/03%3A_Distributions/3.06%3A_Distribution_and_Quantile_Functions#The_Uniform_Distribution Der von mir verwendete Begriff Quantil wird in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/03%3A_Distributions/3.06%3A_Distribution_and_Quantile_Functions#Definitions erklärt. Servus, Roland


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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 08:41 - rlk in Beitrag No. 30) Hallo Sinnfrei, ich verstehe zwar, dass Du mit den Erklärungen Deines Professors nicht zurechtkommst und daher nach anderen Informationsquellen suchst, aber statt auf eine beim "vorbeilesen" entdeckte Aufgabe aufzubauen, würde ich vorschlagen, systematisch vorzugehen. Als erstes musst Du dazu die Frage analysieren. \quoteon(2022-02-25 03:30 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Signal Y soll nun ungleichmäßig mit einer Auflösung von 2 Bit so quantisiert werden, dass für alle Quantisierungsstufen die gleiche Wahrscheinlichkeit gilt. Bestimmen Sie die Quantisierungsstufen! \quoteoff Das Ausgangssignal des Quantisierers kann mit 2 bit beschrieben werden, es kann daher $2^2=4$ verschiedene Werte annehmen. Dazu teilt man den Wertebereich des Eingangssignals $Y$ in $4$ Intervalle auf. Die $3$(!) Grenzen zwischen den Intervallen habe ich $y_i$ genannt, der Index $i$ nimmt daher die drei Werte $1$, $2$ und $3$ an. Wie würdest Du das Ausgangssignal mathematisch beschreiben? Wie sieht der Zusammenhang zwischen dem Eingang $Y$ und dem Ausgang $Q$ des Quantisierers aus? Was ist mit den in der Frage leider ungenau verwendeten Quantisierungsstufen gemeint? \quoteoff Diesen Aufgabentyp haben wir i.R.d Einführung zur Stochastik kennen gelernt aber was der Ausgang $Q$ des Quantisierers sein soll nicht. Unabhängig davon, was wir in der Veranstaltung hatten gibt der Quantisierer oder die Quantisierung ein in der Höhe diskreten Wert an. Demnach müsste man einen Verlauf erhalten der stufenförmig ist. Nachtrag: Warum ist $Y$ der Eingang. Laut der Aufgabe stellt doch $Y$ gerade den output dar. In einer anderen Aufgabenstellung, würde ich das vielleicht noch nachvollziehen, dass $Y$ der Eingang des Quantisierers ist aber hier ist das doch denke ich nicht so. Klar kann man dabei über den Tellerrand blicken. \quoteon(2022-09-23 08:41 - rlk in Beitrag No. 30) Mit dazuschreiben meine ich, dass Du Deinen Rechenweg erklärst, idealerweise mit den Überlegungen, die Du dazu angestellt hast. Bisher stehen nur zwei Gleichungen und Ergebnisse, aber nicht, wie Du die Ergebnisse berechnet hast. Das Ziel solcher Aufgaben ist doch, Dein Verständnis zu überprüfen, mit den Fragmenten ist das schwierig. Auf einige meiner Fragen, die ich in Beitrag 25 bist Du nicht eingegangen, was es nicht leicht macht, Deine Verständnisschwierigkeiten zu verstehen und etwas dagegen zu tun. \quoteoff Bei den Fragen, die du in dem Beitrag 25 noch erwähnt hast, habe ich keinen Zusammenhang zu der Aufgabe 4 gesehen, daher konnte ich Sie auch nicht wirklich beantworten. Ich habe das nochmal etwas anders aufgeschrieben https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-23_095901.png Zum Verständnis der Quantilsfunktion bzw. der Quantile, habe ich eine Skizze mit den Grenzen, die ich in blau auf der Abszisse markiert habe, skizziert. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-23_102256.png Mit der Skizze wollte ich lediglich andeuten, wo sich die Punkte für $i$ und damit für $y_i$ auf der horizontalen Achse befinden. Ist das so mit den Grenzen, die du meintest richtig. Beim Startpunkt des nicht ausgefüllten Kreises bin ich mir unsicher, ob die Linie so richtig skizziert ist oder nicht doch auf der horizontalen Achse liegen muss. Ich weiss das die Werte für $y$ nicht richtig auf der Abszisse skizziert sind und das ist auch beabsichtigt. Die Skizze soll nur das Verständnis der Quantile eindeutig machen, also wo genau diese liegen. \quoteon(2022-09-23 08:41 - rlk in Beitrag No. 30) Das Skript, dass Du gefunden hast sieht gut aus, aber das Beispiel, das Du verwendet hast, habe ich nicht gefunden, weder in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/05%3A_Special_Distributions/5.20%3A_General_Uniform_Distributions noch in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/03%3A_Distributions/3.06%3A_Distribution_and_Quantile_Functions#The_Uniform_Distribution \quoteoff Dazu musst du auf "Answer" klicken, dann öffnet sich im Unterabschnitt "The Uniform Distribution" der Rechenweg, auch wenn er etwas knapp gehalten ist. \quoteon(2022-09-23 08:41 - rlk in Beitrag No. 30) Der von mir verwendete Begriff Quantil wird in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/03%3A_Distributions/3.06%3A_Distribution_and_Quantile_Functions#Definitions erklärt. \quoteoff Das habe ich auch schon gesehen aber ich konnte damit nicht wirklich was anfangen. Daher habe ich mich an eine Beispielrechnung orientiert.


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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-09-24

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-09-23 10:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 31) Diesen Aufgabentyp haben wir i.R.d Einführung zur Stochastik kennen gelernt aber was der Ausgang $Q$ des Quantisierers sein soll nicht. \quoteoff In der Frage geht es um die Wahrscheinlichkeit der Quantisierungsstufen, also der Werte von $Q$. Daher ist $Q$ eine Zufallsvariable. \quoteon Unabhängig davon, was wir in der Veranstaltung hatten gibt der Quantisierer oder die Quantisierung ein in der Höhe diskreten Wert an. Demnach müsste man einen Verlauf erhalten der stufenförmig ist. \quoteoff ja, der Graph der Funktion $Y \mapsto Q$ ist stufenförmig. Es geht also wieder um eine (diesmal nicht bijektive) Abbildung zwischen Zufallsvariablen, hier $Y$ und $Q$. \quoteon Nachtrag: Warum ist $Y$ der Eingang. \quoteoff Wie verstehst Du den Satz aus Aufgabe 4? \quoteon(2022-02-25 03:30 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Signal Y soll nun ungleichmäßig mit einer Auflösung von 2 Bit so quantisiert werden \quoteoff Das zu quantisierende Signal $Y$ ist der Eingang des Quantisierers. \quoteon Laut der Aufgabe stellt doch $Y$ gerade den output dar. \quoteoff Den Ausgang wovon? \quoteon Bei den Fragen, die du in dem Beitrag 25 noch erwähnt hast, habe ich keinen Zusammenhang zu der Aufgabe 4 gesehen, daher konnte ich Sie auch nicht wirklich beantworten. \quoteoff Die Fragen haben das Ziel, Deine Verständnisschwierigkeiten zu Grundbegriffen zu verstehen, da spielt es doch keine Rolle, zu welchen der Teilaufgaben gehören. \quoteon Ich habe das nochmal etwas anders aufgeschrieben https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-23_095901.png \quoteoff Ja, das ist besser. Du solltest immer an Deine Leser denken, wenn Du etwas aufschreibst. \quoteon Zum Verständnis der Quantilsfunktion bzw. der Quantile, habe ich eine Skizze mit den Grenzen, die ich in blau auf der Abszisse markiert habe, skizziert. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-09-23_102256.png \quoteoff Was genau hast Du hier skizziert? Welche Größen werden auf Abszisse und Ordinate aufgetragen? In der Rechnung schreibst Du richtig $$ y_i = P_Y^{-1}(p_i)$$ warum steht dann $P_Y^{-1}(y)$ an der Abszisse? \quoteon Mit der Skizze wollte ich lediglich andeuten, wo sich die Punkte für $i$ und damit für $y_i$ auf der horizontalen Achse befinden. Ist das so mit den Grenzen, die du meintest richtig. Beim Startpunkt des nicht ausgefüllten Kreises bin ich mir unsicher, ob die Linie so richtig skizziert ist oder nicht doch auf der horizontalen Achse liegen muss. Ich weiss das die Werte für $y$ nicht richtig auf der Abszisse skizziert sind und das ist auch beabsichtigt. Die Skizze soll nur das Verständnis der Quantile eindeutig machen, also wo genau diese liegen. \quoteoff Die senkrechte Linie zwischen dem nicht ausgefüllten Kreis und dem ausgefüllten darüber gehört weg. Dass Du den Abszissenwert an dieser Stelle nicht beschriftet hast, sollte Dir zu denken geben. \quoteon Dazu musst du auf "Answer" klicken, dann öffnet sich im Unterabschnitt "The Uniform Distribution" der Rechenweg, auch wenn er etwas knapp gehalten ist. \quoteoff Danke! Warum hast Du ausgerechnet die Gleichverteilung gewählt, wo doch in den Plots in Beitrag 19 und Beitrag 24 klar zu sehen ist, dass die Zufallsvariable $Y$ nicht gleichverteilt ist? \quoteon \quoteon(2022-09-23 08:41 - rlk in Beitrag No. 30) Der von mir verwendete Begriff Quantil wird in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/03%3A_Distributions/3.06%3A_Distribution_and_Quantile_Functions#Definitions erklärt. \quoteoff Das habe ich auch schon gesehen aber ich konnte damit nicht wirklich was anfangen. Daher habe ich mich an eine Beispielrechnung orientiert. \quoteoff Vielleicht ist die Erkärung auf https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)#Bei_stetigen_Verteilungsfunktionen besser verständlich? Unabhängig von der Bezeichnung führt doch die Forderung, dass alle 4 Ausgangswerte des Quantisierers die gleiche Wahrscheinlichkeit $p$ haben (also $p = 1/4$) dazu, dass die Gleichung $$\operatorname{prob}\{Q=0\} = \operatorname{prob}\{Y < y_1\} = P_Y(y_1) = p$$ nach $y_1$ aufgelöst werden muss. Servus, Roland


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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 01:04 - rlk in Beitrag No. 32) Danke! Warum hast Du ausgerechnet die Gleichverteilung gewählt, wo doch in den Plots in Beitrag 19 und Beitrag 24 klar zu sehen ist, dass die Zufallsvariable $Y$ nicht gleichverteilt ist? \quoteoff Ich habe doch gesagt, dass ich mich an eine Bespielrechnung orientiert habe. Einfach aus dem Grund, weil wir die Quantile bzw. die Quantilsfunktion nicht hatten. Ob das jetzt die Gleichverteilung oder die Exponentialverteilung ist, ist hier nur zweitrangig. Im Endeffekt habe ich ja auch nicht die Gleichverteilung aus der Seite genommen sondern mich nur daran orientiert, damit ich die Vorgehensweise für die Verteilung aus dieser Aufgabe übernehmen kann. Das du das nicht gemerkt hast, ist mir an der Stelle ein Rätsel. \quoteon(2022-09-24 01:04 - rlk in Beitrag No. 32) \quoteon(2022-09-23 10:25 - Sinnfrei in Beitrag No. 31) \quoteon(2022-09-23 08:41 - rlk in Beitrag No. 30) Der von mir verwendete Begriff Quantil wird in https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/03%3A_Distributions/3.06%3A_Distribution_and_Quantile_Functions#Definitions erklärt. \quoteoff Das habe ich auch schon gesehen aber ich konnte damit nicht wirklich was anfangen. Daher habe ich mich an eine Beispielrechnung orientiert. \quoteoff Vielleicht ist die Erkärung auf https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)#Bei_stetigen_Verteilungsfunktionen besser verständlich? \quoteoff Die Seite finde ich nicht so gut, da es aus meiner Sicht an passenden Beispielen mangelt und ich den Text nicht ganz nachvollziehen kann - Zu mathematisch. \quoteon(2022-09-24 01:04 - rlk in Beitrag No. 32) Unabhängig von der Bezeichnung führt doch die Forderung, dass alle 4 Ausgangswerte des Quantisierers die gleiche Wahrscheinlichkeit $p$ haben (also $p = 1/4$) dazu, dass die Gleichung $$\operatorname{prob}\{Q=0\} = \operatorname{prob}\{Y < y_1\} = P_Y(y_1) = p$$ nach $y_1$ aufgelöst werden muss. \quoteoff Das wir die Quantile nicht hatten, habe ich ja bereits oben schon gesagt und ausserdem wird auf der von dir genannten Wikipedia Seite gesagt, dass $Q$ die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion $F$ ist. Aus dieser Zeile, die weder auf deiner Seite noch auf meiner Seite irgendwo auftaucht bzw. ich nicht gefunden habe, kann ich diese Zeile nicht nachvollziehen. Ich möchte an der Stelle auch das Thema nicht noch weiter in die Länge ziehen, wenn die Aufgabe an der Stelle fertig ist sollte es zumindest ausreichen. Ist vielleicht gut gemeint, dass du mir das Thema noch tiefer erklären möchtest aber gut gemeint ist nicht immer gut geholfen. Zumindest sehe ich hierfür keinen Nutzen für diese Aufgabe. Die anderen Fragen erspar ich mir an der Stelle. Danke trotzdem für die Hilfe aber so viel Zeit habe ich dann doch nicht, bis ich alles aus diesem Bereich verstanden habe, was ich an der Stelle ja nicht brauche.


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