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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Summenfolge + Faltung = AKF?
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Universität/Hochschule J Summenfolge + Faltung = AKF?
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-02-27

An einer Stelle aus dem Buch Signalübertragung komme ich nicht auf die genannte AKF. Also, wie kommt man von $$g(t) = m(t)*h(t) = \left[\sum_{n= -\infty}^{\infty}a_ns(t-nT)\right] * s(T-t)$$ Und für die Faltung soll da herauskommen: $$g(t) = \sum_{n= -\infty}^{+\infty}a_n \varphi^E_{ss}{(\color{red}{t-T-nT})}$$ Ich weiss ja, dass das $\tau$ im Argument der AKF die Verschiebung angibt und das die AKF symmetrisch ist aber irgendwie kann ich es mir nicht bildlich vorstellen. Vielleicht denke ich da zu kompliziert.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-02-27

Hallo Sinnfrei, Korrelation und Faltung unterscheiden sich dadurch, dass bei der Faltung eines der beiden Signale zeitgespiegelt wird. Wenn wie in Deinem Beispiel das Signal $h$ eine zeitgespiegelte Version von $s$ ist, wird aus der Faltung eine Korrelation. Wenn Du die Definition der Faltung einsetzt, solltest Du das bestätigen können. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-27

Aber mal ganz unabhängig von der Faltung, gibt doch die Korrelation die Verschiebung beider Signale an und wenn doch das eine Signal um $nT$ und das andere verschoben um $-T$ nach rechts und zeitgespiegelt ist, müsste man doch auch so an die AKF kommen, indem man beide Signalargumente voneinander abzieht oder? Es geht ja um die Argumente und beim matched Filter ist das ja auch irgendwie die Differenz aus beiden gewesen. Du meinst ja das die Korrelation $$\varphi_{ss}(t) = s(-t)*s(t)$$ ist. Dann ist $h(t)$ das zeitgespiegelte von $s(t)$ also $s(-t)$. Wenn ich mir das Rechte anschaue, kann ich es ja schreiben als $$s(-(t + T))$$ Aber das Argument ist ja noch nicht das endgültige Argument der AKF, weil da ja noch die $-nT$ steht und das verwirrt mich an der Stelle. Wie komme ich darauf? Muss ich hier nicht, wie du mal gesagt hast, die Differenz aus beiden berechnen? In dem anderen Fall, wo es um den quadratischen Mittelwert ging, hatten wir es ja auch so gemacht. Edit: Bei den Scharmittelwerten ging es ja nicht um Energiesignale. Hier muss man dann glaube ich das Faltungsintegral für Energiesignale verwenden oder schaue ich mir einfach die Argumente des Faltungsproduktes an und ergänze das eine zu dem anderen, sodass es dann das $\tau$ ergibt? $$\varphi^E_{ss}(\tau) = s(-\tau) * s(\tau))$$ $$\varphi^E_{ss}(t-T-nT) = s(-(t-T \underbrace{-nT}_{\text{ergänzt}})) * s(t-nT \underbrace{-T}_{\text{ergänzt}})$$ Das wirkt für mich aber ohne trifftigen Grund. Einfach nur dahin geschrieben. Deswegen nochmal die Frage, gilt die Verschiebung nur bei Korrelations-Funktionen die statistischen Ursprung haben oder gilt das mit der Verschiebung auch wenn es ein Energiesignal ist? Es gibt da ja zwei verschiedene Arten Korrelations-Funktionen.


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-02-28

Hallo Sinnfrei, ich verstehe nicht, was Du mit "unabhängig von der Faltung" ausdrücken willst. Es geht hier um eine Faltung, die Du einfach ausrechnen kannst. Wegen der Linearität der Faltung, reicht es, einen Summanden zu betrachten: \[ s(t - nT) \star h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) h(t - t')\,\dd t' = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) s(T - (t - t'))\,\dd t' = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) s(t' + T - t)\,\dd t' = \varphi_{ss}(T - t + nT) \] was man wegen der Symmetrie $\varphi_{ss}(t)=\varphi_{ss}(-t)$ auch als \[ s(t - nT) \star h(t) = \varphi_{ss}(t - (n + 1)T) \] schreiben kann. Das Argument $T - t + nT$ der Korrelationsfunktion ist wie immer die Differenz der Argumente der beiden Funktionen im Integral. Daran ändert die unterschiedliche Skalierung bei Energie- und Leistungssignalen nichts. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-28

\quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) Hallo Sinnfrei, ich verstehe nicht, was Du mit "unabhängig von der Faltung" ausdrücken willst. Es geht hier um eine Faltung, die Du einfach ausrechnen kannst. Wegen der Linearität der Faltung, reicht es, einen Summanden zu betrachten: \[ s(t - nT) \star h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) \color{red}{h(t - t')}\,\dd t' = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) \color{red}{s(T - (t - t'))}\,\dd t' = \] \quoteoff Diese Zeile verstehe ich gar nicht. Gerade den Teil den ich rot markiert habe. Undzwar wie du von $h(t-t')$ auf $s(T-(t-t'))$ gekommen bist. \quoteon \[ \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) s(t' + T - t)\,\dd t' = \varphi_{ss}(T - t + nT) \] \quoteoff Ist das noch das Faltungsintegral? \quoteon was man wegen der Symmetrie $\varphi_{ss}(t)=\varphi_{ss}(\color{red}{-t})$ auch als \[ s(t - nT) \star h(t) = \varphi_{ss}(\color{red}{t - (n + 1)T}) \] schreiben kann. Das Argument $T - t + nT$ der Korrelationsfunktion ist wie immer die Differenz der Argumente der beiden Funktionen im Integral. Daran ändert die unterschiedliche Skalierung bei Energie- und Leistungssignalen nichts. \quoteoff Also muss man von beiden die Differenz aber dann kenn ich hier einfach nur den Unterschied zwischen einer Impulsantwort $h$ und dem Eingangssignal $s$ nicht. Ich dachte, ich könnte das Faltungsintegral direkt mit s anstelle dem h wie folgt schreiben $$\int_{-\infty}^{+\infty}s(\tau-nT)s(T-t-\tau)d\tau$$ Im Skript verstehe ich das an der Stelle auch nicht.


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-02-28

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) \[ s(t - nT) \star h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) \color{red}{h(t - t')}\,\dd t' = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) \color{red}{s(T - (t - t'))}\,\dd t' = \] \quoteoff Diese Zeile verstehe ich gar nicht. Gerade den Teil den ich rot markiert habe. Und zwar wie du von $h(t-t')$ auf $s(T-(t-t'))$ gekommen bist. \quoteoff Der ersten Gleichung aus dem Themenstart entnehme ich \[ h(x) = s(T - x) \] mit $x = t - t'$ ergibt sich die Gleichheit der rot markierten Terme. Das ist eine so einfache Umformung, dass ich nicht weiß, wie Du sie nicht sehen konntest. Liegt es vielleicht daran, dass das Argument von $h$ einmal $t$ und einmal $t - t'$ ist? \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) \[ \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) s(t' + T - t)\,\dd t' = \varphi_{ss}(T - t + nT) \] \quoteoff Ist das noch das Faltungsintegral? \quoteoff Denkst Du an das Schiff des Theseus? Es ist die Autokorrelationsfunktion des Signals $s$, die sich aus der Faltung $s \star h$ ergibt. \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) was man wegen der Symmetrie $\varphi_{ss}(t)=\varphi_{ss}(\color{red}{-t})$ auch als \[ s(t - nT) \star h(t) = \varphi_{ss}(\color{red}{t - (n + 1)T}) \] schreiben kann. \quoteoff \quoteoff Was ist Dir an den rot markierten Stellen unklar? Die Autokorrelationsfunktion ist gerade, daher kann man das Argument mit $-1$ multiplizieren ohne den Wert der AKF zu ändern. \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) Das Argument $T - t + nT$ der Korrelationsfunktion ist wie immer die Differenz der Argumente der beiden Funktionen im Integral. Daran ändert die unterschiedliche Skalierung bei Energie- und Leistungssignalen nichts. \quoteoff Also muss man von beiden die Differenz aber dann kenn ich hier einfach nur den Unterschied zwischen einer Impulsantwort $h$ und dem Eingangssignal $s$ nicht. \quoteoff Das Argument der Korrelationsfunktion gibt an, um wieviel die beiden Signale gegeneinander verschoben sind. Das hängt nicht von der Art der Signale ab, wie kommst Du auf diese Idee? \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich dachte, ich könnte das Faltungsintegral direkt mit s anstelle dem h wie folgt schreiben $$\int_{-\infty}^{+\infty}s(\tau-nT)s(T-t-\tau)d\tau$$ Im Skript verstehe ich das an der Stelle auch nicht. \quoteoff Versuche einmal die Schritte, die zu diesem Ergebnis führen aufzuschreiben und zu begründen. Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-28

\quoteon(2022-02-28 15:11 - rlk in Beitrag No. 5) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) \[ s(t - nT) \star h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) \color{red}{h(t - t')}\,\dd t' = \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) \color{red}{s(T - (t - t'))}\,\dd t' = \] \quoteoff Diese Zeile verstehe ich gar nicht. Gerade den Teil den ich rot markiert habe. Und zwar wie du von $h(t-t')$ auf $s(T-(t-t'))$ gekommen bist. \quoteoff Der ersten Gleichung aus dem Themenstart entnehme ich \[ h(x) = s(T - x) \] mit $x = t - t'$ ergibt sich die Gleichheit der rot markierten Terme. Das ist eine so einfache Umformung, dass ich nicht weiß, wie Du sie nicht sehen konntest. Liegt es vielleicht daran, dass das Argument von $h$ einmal $t$ und einmal $t - t'$ ist? \quoteoff Und warum kann man $x=t-t'$ setzen? Es ist anscheinend das Argument aus dem $h(t-t')$ Das $-t'$ folgt ja das das erste signal $s(t-nT)$ mit h gefaltet wird und nach der Definition des Faltungsintegrals hat dann das $h(t)$ die Verschiebung also $h(t-t')$. Ich weiss noch nicht, wie man darauf kommt, dass man $t-t'$ und nicht nur die Verschiebung für das x einsetzt. Den Punkt mit der Verschiebung verstehe ich einfach nicht. Mit einem Bild wäre es denke ich besser. \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) \[ \int_{-\infty}^{\infty} s(t' - nT) s(t' + T - t)\,\dd t' = \varphi_{ss}(T - t + nT) \] \quoteoff Ist das noch das Faltungsintegral? \quoteoff \quoteon Denkst Du an das Schiff des Theseus? Es ist die Autokorrelationsfunktion des Signals $s$, die sich aus der Faltung $s \star h$ ergibt. \quoteoff \quoteon(2022-02-28 11:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-02-28 10:11 - rlk in Beitrag No. 3) was man wegen der Symmetrie $\varphi_{ss}(t)=\varphi_{ss}(\color{red}{-t})$ auch als \[ s(t - nT) \star h(t) = \varphi_{ss}(\color{red}{t - (n + 1)T}) \] schreiben kann. \quoteoff \quoteoff Die Symmetrie habe ich jetzt verstanden aber das mit Verschiebung und das dann aus dem Faltungsintegral durch Einsetzen von $x=t-t'$, die Korrelationsfunktion ergibt verstehe ich immer noch nicht. Also die Rechnung kann ich jetzt nachvollziehen aber weiss noch nicht warum das so ist oder wie man anfangs aus dem Faltungsintegral auf das Korrelationsintegral schließt.


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-01

Hallo Sinnfrei, ich bin etwas ratlos, wie ich Dir helfen kann, weil mir unklar ist, wo Deine Verständnisschwierigkeiten liegen. Die Gleichung \[ h(x) = s(T - x) \qquad(S)\] gilt für alle Werte des Arguments $x$. Geometrisch bedeutet sie, dass der Graph von $h$ durch Spiegelung um die Gerade $x=T$ aus dem Graphen von $s$ entsteht. Für $T=0$ ist das die Zeitspiegelung, von der ich in Beitrag 1 geschrieben habe. Wenn im Faltungsintegral $h(t-t')$ steht und wir diese Funktion mit Hilfe von $(S)$ durch $s$ ausdrücken wollen, müssen wir für $x$ den Wert des Arguments, also $t-t'$ einsetzen. Du scheinst zu denken, dass man nur Teile des Arguments (die Verschiebung?) ersetzen soll, oder habe ich Dich falsch verstanden? Bitte versuche, Deine Überlegungen möglichst klar aufzuschreiben, damit wir die Unklarheiten beseitigen können. Servus, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-01

Also meinst du egal was im Argument von $h$ unter dem Faltungsintegral steht, ist es dann automatisch für x also in dem Beispiel für das t dann. Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Ständig diese Scheuklappen vor den Augen um die Korrelations- und Faltungsgeschichte. Damit das auch kein Sonntagstreffer war. Hier mal ein anderes Beispiel aber der selbe Zusammenhang $$g(t) = m(t) \star h(t) = \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot s(t-\mu + 2\theta)\right] \star s(T-t) \quad (1)$$ Das Faltungsintegral wäre dann $$g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}s(t' - \mu -2\theta)h(t-t')dt' \quad (2)$$ Dann ist ja das Argument von meinen h nicht mehr nur t wie bei der Formel des matched Filters $h(t) = A\cdot s(T-t)$ sondern das h hat sich durch die Verschiebung um $t$ verändert und ist eine Funktion der Zeit $t'$ - laut dem Faltungsintegral. Dann folgt erstmal $$h(x=t-t') = s(T-(t-t')) \quad (3)$$ Das $s$ in das Faltungsintegral anstelle für h eingesetzt $$\int_{-\infty}^{+\infty}s(t' - \mu + 2 \theta) s(T -(t-t'))dt' \quad (4)$$ $$=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t' -\mu + 2\theta)s(T+t'-t)dt' \quad (5)$$ Und dann komme ich nach Differenz der Signal Argumente auf $$\varphi_{ss}(2\theta + T -\mu - t) \quad (6)$$ Nach anwenden der Symmetrie-Eigenschaft für Korrelations-Funktionen $$\varphi_{ss}(t + \mu - 2\theta - T) \quad (7)$$ Wenn ich jetzt in $(1)$ für den rechten Term anstelle von $s(T-t)$ z.B. $s(3T+t-\theta)$ hätte, müsste ich dann $h(t-t')$ mit $s(3T+(t-t')-\theta)$ im Faltungsintegral ersetzen richtig? Das hieße dann ich müsste entweder immer das Faltungsintegral aufstellen oder ich stelle das im Kopf um, also einen noch schnelleren Weg gibt es da wahrscheinlich nicht oder?


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-01

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-01 01:58 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Also meinst du egal was im Argument von $h$ unter dem Faltungsintegral steht, ist es dann automatisch für x also in dem Beispiel für das t dann. Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Ständig diese Scheuklappen vor den Augen um die Korrelations- und Faltungsgeschichte. \quoteoff mir ist noch immer unklar, wie Du das missverstanden hast und ich befürchte, dass das ein Symptom eines tieferliegenden Problems ist. Leider hast Du nicht versucht, Deine Gedanken, die Dich zu falschen Umformungen geleitet haben, aufzuschreiben. \quoteon(2022-03-01 01:58 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Damit das auch kein Sonntagstreffer war. Hier mal ein anderes Beispiel aber der selbe Zusammenhang $$g(t) = m(t) \star h(t) = \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot s(t-\mu + 2\theta)\right] \star s(T-t) \quad (1)$$ Das Faltungsintegral wäre dann $$\color{red}{g(t) =} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t' - \mu \color{red}{-}2\theta)h(t-t')dt' \quad (2)$$ \quoteoff Das Argument von $s$ in der Summe sollte auch vom Summationsindex $n$ abhängen. Aus $+2\theta$ in $(1)$ ist $-2\theta$ in $(2)$ geworden, ich vermute, dass das nur ein Tippfehler war. Das Faltungsintegral in $(2)$ ist ja nur ein Term der Summe, daher ist es ungleich $g(t)$. \quoteon(2022-03-01 01:58 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Dann ist ja das Argument von meinen h nicht mehr nur t wie bei der Formel des matched Filters $h(t) = A\cdot s(T-t)$ sondern das h hat sich durch die Verschiebung um $t$ verändert und ist eine Funktion der Zeit $t'$ - laut dem Faltungsintegral. \quoteoff Die Funktion $h$ hat sich nicht verändert, aber im Faltungsintegral steht der Ausdruck $h(t-t')$, die um $t$ verschobene, gespiegelte Funktion. Diese Spiegelung macht ja den Unterschied zwischen Faltung und Korrelation aus. \quoteon(2022-03-01 01:58 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Dann folgt erstmal $$h(x=t-t') = s(T-(t-t')) \quad (3)$$ Das $s$ in das Faltungsintegral anstelle für h eingesetzt $$\int_{-\infty}^{+\infty}s(t' - \mu + 2 \theta) s(T -(t-t'))dt' \quad (4)$$ $$=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t' -\mu + 2\theta)s(T+t'-t)dt' \quad (5)$$ Und dann komme ich nach Differenz der Signal Argumente auf $$\varphi_{ss}(2\theta + T -\mu - t) \quad (6)$$ \quoteoff Nein, die Differenz ist \[ T+t'-t - (t' -\mu + 2\theta) = T - t + \mu - 2\theta = - t + T + \mu - 2\theta \] \quoteon(2022-03-01 01:58 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Wenn ich jetzt in $(1)$ für den rechten Term anstelle von $s(T-t)$ z.B. $s(3T+t-\theta)$ hätte, müsste ich dann $h(t-t')$ mit $s(3T+(t-t')-\theta)$ im Faltungsintegral ersetzen richtig? Das hieße dann ich müsste entweder immer das Faltungsintegral aufstellen oder ich stelle das im Kopf um, also einen noch schnelleren Weg gibt es da wahrscheinlich nicht oder? \quoteoff Du solltest das Faltungsintegral aufschreiben und jede Umformung begründen können. Servus, Roland


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Dabei seit: 30.06.2021
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-01

Ich glaube ich weiss jetzt wo das Problem bei mir liegt. Es war an zwei Stellen, die sich aufgrund der Unsicherheit der Faltungs- und Korrelationsintegrale zur Verwirrung geführt haben. Einmal an der Stelle, wo man h in das Faltungsintegral einsetzt und einmal wo man die Ersetzung mit s macht. Ich dachte ich könnte anstelle von h direkt das s aber in der Form wie das h mit den Argumenten in das Faltungsintegral einsetzen, sprich aus $h(t-t')$ wollte ich irgendwie s(t-t') dahin schreiben, weil ja auch im Faltungsprodukt s und nicht h steht. Da habe ich mich sehr schnell vom Korrelationsintegral verwirren lassen und aus dem Grund habe ich auch bereits geschrieben, dass mir an einigen Stellen der Unterschied zwischen dem Eingangssignal und der Impulsantwort h nicht so ganz klar ist, wenn es z.B. um die Verschiebung zur Bestimmung des Arguments der AKF oder KKF geht(im Faltungs- und Korrelationsintegral). Also kann man die Differenz auch auf das Faltungsprodukt anwenden oder muss ich dafür zuerst das Faltungs-/Korrelationsintegral aufstellen und kann ich nicht anstelle von h direkt, an erster Stelle s(t-t') in den Integranden für h(t-t') schreiben. Hinter dem Faltungsprodukt steckt ja das Faltungsintegral und da hatte ich irgendwie diesen Zwischenschritt übersprungen, sodass ich die Verschiebung direkt für das s ohne das tatsächliche Argument der Impulsantwort h anwenden wollte und habe dabei gar nicht gemerkt, dass das tatsächliche Argument von h nicht t sein kann. An nächster Stelle war dann auch direkt das mit $h(t) = s(T-t)$ klar. Ich denke, dass ich es so richtig verstanden habe. Es war oder ist jedoch auch ein grundsätzliches Problem, dass ich versuchen werde noch weiter zu begründen, sodass ich es dann direkt sehen kann. Den Rest, den du in Beitrag No. 9 angekreidet hattest, habe ich dann auch direkt verstanden. Da war ich wohl einwenig zu schnell beim Schreiben und habe bei der Differenz einen verheerenden Fehler gemacht und das mit dem minus war ein Tippfehler genau. Ich danke dir auf jeden Fall, für die Kraft und Zeit, die du investierst. Das Gebiet der Signalübertragung in der Signale- und Systeme ist für mich noch ein großes Fragezeichen und es wirkt für mich auch sehr abschreckend deswegen danke ich dir auch für deine Geduld, die durch solche trivialen Fragen hervorgehen.


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