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 Sigma-Algebra |
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cakepop2001
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2022-03-01
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Könnte mir bitte jemand bei der Bearbeitung der Übungsaufgabe helfen? Ich verstehe nicht wirklich, wie ich da vorgehen soll.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54469_6C2955CA-B492-4DA3-88A0-49E007FAAB68.jpeg
Danke im Voraus
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Liu
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.02.2022
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-01
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Hallo,
der erste Schritt sollte sein, dass du die Definition einer $\sigma$-Algebra nachschlägst.
Welche Eigenschaften sind also zu prüfen?
Bei der (a) und (b) fehlt jedoch der Kontext.
Genauer definiert man eine $\sigma$-Algebra über eine bestimmte Menge $X$.
Ist diese Menge $X$ nicht mit angegeben, so kann man nur raten was gemeint ist.
Bei der (a) würde zum Beispiel die Menge $X=\{1,2\}$ Sinn machen.
In jedem Fall ist die Aufgabe unvollständig.
Kannst du dir für die (a) und (b) Beispiele für $X$ überlegen, dass eine $\sigma$-Algebra vorliegt und keine vorliegt?
Das wäre wohl lehrreich.
Die (c) und (d) lässt da keine Spekulation offen.
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cakepop2001
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.04.2021
Mitteilungen: 22
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-01
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In meinem Skript steht folgende Definition für die Sigma Algebra
„Die Familie An(μ) aller μ-messbaren Mengen bildet eine σ-Algebra: sie enthält die leere Menge und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen und abzählbaren Durchschnitten sowie Komplementbildung.“
Ich hätte gesagt, dass es sich bei der a) um eine Algebra handelt, bei der b nicht, bei der c nicht (die reellen Zahlen sind nicht abzählbar) und bei der d) handelt es sich erneut um eine Sigma Algebra. Stimmt das?
Und wie kann ich den zweiten Teil der Frage beantworten?
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Liu
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.02.2022
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-01
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\quoteon
Ich hätte gesagt, dass es sich bei der a) um eine Algebra handelt
\quoteoff
Wie gesagt hängt das stark davon ab über welche Menge $X$ du das Mengensystem betrachtest. (Edit: Nein, das stimmt nicht. Siehe den folgenden Beitrag.)
Nochmal die Frage ob du eine Menge $X$ angeben kannst, sodass du eine $\sigma$-Algebra hast, und eine, sodass keine $\sigma$-Algebra vorliegt?
Die Aufgabe ist unvollständig. Entweder hast du vergessen etwas mit anzugeben, oder der Aufgabensteller muss nochmal Korrektur anlegen.
\quoteon
bei der b nicht
\quoteoff
Hier gilt das gleiche wie für die (a).
\quoteon
bei der c nicht (die reellen Zahlen sind nicht abzählbar)
\quoteoff
Das mit der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen ist kein Argument.
Der Begriff "offene Menge" hängt mit dem Begriff der Topologie zusammen.
Sinn der Aufgabe ist es die Definition einer Topologie mit der einer $\sigma$-Algebra zu vergleichen.
Welche Eigenschaften hat eine Topologie? Bilden die offenen Mengen also eine $\sigma$-Algebra?
Zusatzfrage: Ist jede $\sigma$-Algebra auch eine Toplogie?
\quoteon
d) handelt es sich erneut um eine Sigma Algebra. Stimmt das?
\quoteoff
Leider nein.
Welche Eigenschaft einer $\sigma$-Algebra geht kaputt?
Ich mach mal ein Beispiel:
Definition:
Eine $\sigma$-Algebra über einer Menge $X$, ist ein Mengensystem $\mathcal{A}\substeq\mathcal{P}(X)$ der Potenzmenge von $X$, sodass folgendes gilt:
1) $\emptyset\in\mathcal{A}$
2) Ist $A\in\mathcal{A}$, so ist auch $A^c$ (das Komplement von $A$ in $X$) ein Element der $\sigma$-Algebra.
3) Für jede Folge $(A_n)$ von Mengen in $\mathcal{A}$ gilt auch $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$.
Eigenschaft (3) sagt hier einfach, dass die beliebige Vereinigung von Mengen der $\sigma$-Algebra wieder in der $\sigma$-Algebra liegt.
Nun betrachten wir mal $X=\{1,2,3\}$ und folgendes Mengensystem:
$\mathcal{A}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{2,3\},\{1,2,3\}\}$
Jetzt müssen wir prüfen:
1) Ist die leere Menge in $\mathcal{A}$ vorhanden?
Ja, offenkundig ist die leere Menge ein Element. Da muss man nur hinsehen.
2) Jetzt müssen wir prüfen, ob für alle Elemente in $\mathcal{A}$ auch das Komplement enthalten ist.
Ist also
$\emptyset^c$
$\{1\}^c$
$\{2\}^c$
$\{2,3\}^c$
$\{1,2,3\}^c$
in der $\sigma$-Algebra?
Das überlasse ich dir als Übungsaufgabe.
Du kannst gerne die Aufgabe "geschickt" lösen, also mit so wenig Arbeitsaufwand wie möglich.
Ist aber auch sonst nicht zu zeitintensiv.
Hinweis: Hier geht schon was schief.
Zu Übungszwecken wollen wir uns aber auch nochmal die dritte zu prüfende Eigenschaft ansehen.
Dazu musst du prüfen, ob für jede(!) Auswahl von Mengen aus der obigen Menge, die Vereinigung wieder drin liegt.
Das händisch zu prüfen ist natürlich etwas mühselig, macht dir aber vielleicht besser klar, was die Eigenschaft eigentlich bedeutet.
Prüfe also so viele Kombinationen durch, bis du dir sicher bist, dass du verstanden hast, wie man diese Eigenschaft (händisch) prüfen kann.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-03-01
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\quoteon(2022-03-01 20:34 - Liu in Beitrag No. 1)
Kannst du dir für die (a) und (b) Beispiele für $X$ überlegen, dass eine $\sigma$-Algebra vorliegt und keine vorliegt?
\quoteoff
Das ist nur bei (b) sinnvoll, (a) ist für kein $X$ eine $\sigma$-Algebra über $X$.
--zippy
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Liu
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.02.2022
Mitteilungen: 24
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-01
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Hast recht... Da hatte ich nicht genau aufgepasst.
Danke für den Hinweis.
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