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Mathematik » Numerik & Optimierung » lineare Ausgleichsrechnung, Normalengleichung
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Universität/Hochschule lineare Ausgleichsrechnung, Normalengleichung
KaSt
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Mitteilungen: 26
  Themenstart: 2022-03-09

Hallo ans Forum, habe eine Frage zum Beweis des folgenden Satzes: Ein Vektor $x \in \mathbb{R}^n$ ist genau dann Lösung von $\vert \vert Ax-b \vert \vert_2^2= \min\limits_{z \in \mathbb{R}^n} \vert \vert Az-b \vert \vert_2^2 $, wenn $A^TAx=A^Tb$ Also was ich gemacht habe: (ist in meinem Skript als Übungsaufgabe gestellt), ich definiere mir $f(y)= \vert \vert Ay-b \vert \vert_2^2$ und probiere mir den Gradienten auszurechnen. Es gilt $\vert \vert Ay-b \vert \vert_2^2= \sum\limits_{i=1}^n(Ay-b)_i^2=\sum\limits_{i=1}^n (Ay-b)_i(Ay-b)_i$ Wenn ich jetzt den Gradienten ausrechnen will, dann bekomme ich: $0=\frac{ \partial}{ \partial z_j }= A((Az)_j-b)+A((Az)_j-b)=2A((Az)_j-b)$ Mag sein, dass ich ein paar Ana 2 Lücken habe, aber ich wüsste jetzt nicht weiter oder weiß insbesondere auch nicht ob ich es so überhaupt richtig gemacht habe. Sieht aber wenigtens schon mal nicht so weit weg von der Lösung aus. Meine Probleme liegen im Ableiten von dieser Funktion. Vielleicht hat jemand Lust mir etwas zu helfen. Liebe Grüße Nachtrag: Muss meine Schreibweise von oben mit dem $j$ nochmal sinnvoll überarbeiten denke ich.

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mathilde01
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 62
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-09

Hallo, du kannst folgendermaßen vorgehen: Es ist $f(y)=\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n A_{ij}y_j-b_i)^2$ $\frac{\partial f}{y_k}=\sum_{i=1}^m 2A_{ik}(\sum_{j=1}^n A_{ij}y_j-b_i)$:

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