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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Kohärenter Empfänger + Demodulation zweier Träger
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Universität/Hochschule J Kohärenter Empfänger + Demodulation zweier Träger
Sinnfrei
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  Themenstart: 2022-03-10

Gegeben ist der dargestellte kohärente Empfänger. Für die kohärente Demodulation stehen zwei mögliche Träger $S_{T1}(t)$ und $S_{T2}(t)$ zur Verfügung https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Koh_renter_Empf_nger.png Das Eingangssignal $s(t)$ des Systems ist das mit einem sinus- bzw. cosinus-förmigen Träger modulierte Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$. Das Eingangssignal $s(t)$ wird durch sein rein reelles Spektrum $S(f)$ gemäß Abbildung beschrieben. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Spektrum_S_f_.png 1) Ist das Eingangssignal $s(t)$ ein reelles Signal? Ist $s(t)$ gerade oder ungerade? $\to$ Ich würde sagen, dass wenn $s(t)$ komplex wäre, dann würde es mit $e^{(2\pi f_T t)} = S_{T2}(t) + jS_{T1}$ multipliziert werden und dadurch hätte man ja dann sowas wie $s(t)^2 = |s(t)|^2 = s(t) \cdot s(t)^*$ mässiges oder? Dann könnte $s(t)$ ja beides enthalten, gerade sowie ungerade Komponenten 2) Ist das Empfangssystem ein zeitinvariantes System? $\to$ Hier bin ich mir nicht sicher, hat es etwas mit der Interpolation des Filters $H_{IP}(f)$ zu tun? 3) Berechnen und skizzieren Sie unter Angabe charakteristischer Werte das Spektrum $S_1(f)$ des Signals $s_1(f)$ für beide möglichen Trägerfunktionen $s_{T1}(t)$ und $s_{T2}(t)$ 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. Welche Trägerfunktion $S_{T1}(t)$ oder $s_{T2}$ ist dann zu verwenden, wenn das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ rein reell ist? 5) Skizzieren Sie gemäß Ihrer Wahl der Trägerfunktion aus 4) unter Angabe charakteristischer Werte das Spektrum $S_2(f)$ am Ausgang des idealen TP's. Berechnen Sie das zugehörige Zeitsignal $s_2(t)$ 6) Es wird nun eine Abtastung mit $f_a = 2B$ durchgeführt. Welche Eigenschaften muss das Interpolationsfilter $H_{IP}(f)$ haben, damit $g(t) = s_2(t)$ gilt? Sind die ersten beiden so ok und wie gehe ich bei denen restlichen vor? Vielen Dank schon mal im voraus


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-10

Hallo Sinnfrei, in 1 geht es um die Frage, ob das Eingangssignal reell ist und nicht darum, was bei der Multiplikation mit einem komplexen Träger passiert. Bei komplexem $s$ wäre die Gleichung $s^2=|s|^2$ nicht erfüllt. Zu 2: Ist ein Filter zeitvariant? Was ist mit den anderen Operationen? Bei 3 erinnere Dich welche Operation im Frequenzbereich einer Multiplikation im Zeitbereich entspricht. Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-18

\quoteon(2022-03-10 21:59 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, in 1 geht es um die Frage, ob das Eingangssignal reell ist und nicht darum, was bei der Multiplikation mit einem komplexen Träger passiert. Bei komplexem $s$ wäre die Gleichung $s^2=|s|^2$ nicht erfüllt. \quoteoff Und wie kommt man dann darauf, ob das Eingangssignal $s$ reell oder komplex ist? \quoteon Zu 2: Ist ein Filter zeitvariant? Was ist mit den anderen Operationen? \quoteoff Aber die Impulsantwort des Filters/Systems könnte doch zeitinvariant sein oder? Was ist dann mit Empfangssystem gemeint? \quoteon Bei 3 erinnere Dich welche Operation im Frequenzbereich einer Multiplikation im Zeitbereich entspricht. \quoteoff Im Frequenzbereich wäre die im Zeitbereich vorliegende Multiplikation die Faltung.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-19

\quoteon(2022-03-18 20:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Und wie kommt man dann darauf, ob das Eingangssignal $s$ reell oder komplex ist? \quoteoff Du kennst das Spektrum: \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) Das Eingangssignal $s(t)$ wird durch sein rein reelles Spektrum $S(f)$ gemäß Abbildung beschrieben. \quoteoff --zippy


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Sinnfrei
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-19

Ohh ja, hab das komplett übersehen. Dann würde ich sagen, dass das Eingangssignal $s(t)$ aufgrund von $S^*(f) = S(-f)$ reell ist. Beim $S^*(f)$ bin ich mir nicht sicher. Es ist doch das konjugiert komplexe Spektrum gemeint oder? das Spektrum hat aber keinen Imaginärteil. Das müsste doch dann heißen, dass das konjugierte komplexe Signal $S(f)$, dass selbe Signal ergibt, wenn es nicht komplex wäre. Also der Imaginärteil ist ja einfach $0$ Damit sind dann auch beide Funktionen, einmal im Zeitbereich und auch im Frequenzbereich gerade, weil beide reell sind und damit spiegelsymmetrisch um $t=0$ oder $f=0$. Ist das so richtig?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-20

\quoteon(2022-03-19 23:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ist das so richtig? \quoteoff Ja. Aus $S(f)=S(-f)^*$ folgt, dass $s(t)$ reell ist, und aus $S(f)=S(-f)$, dass $s(t)$ gerade ist.


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Sinnfrei
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Wie würde dann $S^*(-f)$ aussehen, wenn $S(f)$ komplex gewesen wäre - mal angenommen. Also wie kann ich Beweisen, indem ich sage, dass $$S(f) = \operatorname{rect}(f-f_T) + \operatorname{rect}(f+f_T)$$ und das konjugiert komplexe, wäre dann $$S^*(-f) = \operatorname{rect}(-f - f_T) + \operatorname{rect}(-f + f_T) = \operatorname{rect}(-(f + f_T) + \operatorname{rect}(-(f - f_T))$$ Also die Rechtecke tauschen nur ihre Plätze. Bei der 2 weiß ich nicht was mit Empfangssystem gemeint ist. Sind damit alle vom rechts liegenden Multiplikator liegenden Systeme gemeint? Also TP Filter Abtaster und $H_{IP}$ Filter gemeint oder ist damit das Signal $s_3$ gemeint? Das eine ist ja der Sender, anschließend würde der Kanal kommen aber hier weiss ich nicht welches der Kanal sein soll, das Stück mit dem Abtaster? und zum Schluss würde der Empfänger kommen aber da wir einen Interpolationsfilter noch nicht hatten und im Buch sowie im Skript nicht wirklich darauf eingegangen wird, frage ich mich von wo bis wohin das Empfangssystem ist.


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rlk
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-21

Hallo Sinnfrei, für ein komplexwertiges Spektrum $S(f)$ berechnest Du das konjugierte Spektrum $S^*(-f)$ so wie bei jeder anderen komplexen Zahl: \[ S^*(-f) = \operatorname{Re}\left(S(-f)\right) - \mathbf{i} \operatorname{Im}\left(S(-f)\right) \] Zu Deiner Frage, was denn mit dem Empfangssystem gemeint ist erinnere Dich an die Aufgabe: \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) Gegeben ist der dargestellte kohärente Empfänger. ... Das Eingangssignal $s(t)$ des Systems ist das mit einem sinus- bzw. cosinus-förmigen Träger modulierte Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$. \quoteoff Sender und Kanal sind hier nicht dargestellt. Das Signal $s_3(t)$ wird niemand als System bezeichnen. Servus, Roland


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-03-21

\quoteon(2022-03-21 08:33 - rlk in Beitrag No. 7) \[ S^*(-f) = \operatorname{Re}\left(S(-f)\right) - \operatorname{Im}\left(S(-f)\right) \] \quoteoff Du meinst sicher$$S^*(-f) = \operatorname{Re}\left(S(-f)\right) - \color{red}i \operatorname{Im}\left(S(-f)\right) \;. $$


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22

Und wie bestimmt man, ob das Empfangssystem ein zeitinvariantes System ist? Ich kenn es bezogen auf Ein- und Ausgangssignale, also das ich das Ausgangssignal verschiebe und dann das selbe erhalte wie, wenn ich das Eingangssignal verschiebe. Also $$g(t-t_0) = \mathrm{Tr}\{s(t-t_0)\}$$ Dann müsste ich $\mathrm{Tr}\{s(t-t_0)\}$ auf $s_1(t)$ anwenden oder, sprich $$\mathrm{Tr}\{s_1(t-t_0)\} = s(t-t_0)\cdot s_{T1}(t-t_0) = s(t-t_0)\cdot \sin(2\pi f_T(t-t_0)) = \underbrace{g(t-t_0)}_{?}$$ Falls das richtig sein sollte, wie kann ich denn jetzt zeigen, dass das Gleich ist? $g(t)$ kennt man ja so ohne weiteres nicht oder?


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rlk
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-03-22

Hallo Sinnfrei, Deine Idee ist richtig, aber die Ausführung enthält noch Fehler. Es ist gut, zuerst nur das erste Teilsystem mit dem Eingangssignal $s(t)$ und dem Ausgangssignal $s_1(t)$ zu betrachten. Es ist unklar, was Du mit $\mathrm{T_r}$ meinst. Wie sieht das Ausgangssignal $s_1$ aus, wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird? Womit musst Du es vergleichen, um die Zeitinvarianz zu überprüfen? Servus, Roland


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22

\quoteon(2022-03-22 19:59 - rlk in Beitrag No. 10) Hallo Sinnfrei, Deine Idee ist richtig, aber die Ausführung enthält noch Fehler. Es ist gut, zuerst nur das erste Teilsystem mit dem Eingangssignal $s(t)$ und dem Ausgangssignal $s_1(t)$ zu betrachten. Es ist unklar, was Du mit $\mathrm{T_r}$ meinst. \quoteoff Beim $\mathrm{Tr}$ hatte ich das $\mathrm{r}$ fälschlicherweise als Index an das T geschrieben - Sorry an der Stelle. Es steht für die Transformationsgleichung des Systems. Demnach hätte man auch $S\{s(t-T)\} = s_1(t-T)$ schreiben können. Das mit dem großen S macht das denke ich nachvollziehbarer, jedoch hatte ich mich für die Notation aus dem Buch Ohm/Lücke entschieden, damit ich nicht zwischen den ganzen Schreibweisen durcheinander komme und mich weitestgehend danach richte. \quoteon Wie sieht $\color{red}{\text{ das Ausgangssignal }}$ $s_1$ aus, wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird? Womit musst Du es vergleichen, um die Zeitinvarianz zu überprüfen? \quoteoff Du meinst wohl - Wie sieht das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1$ aus oder? Wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird, würde sich für das zeitverschobene $s_1$ ergeben $$s_1(t-T) = \mathrm{Tr}\{s(t-T)\} = s(t-T)\cdot s_{T1}(t) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T t)$$ Dann bezieht sich die Verschiebung gar nicht auf alle $t$ abhängigen Funktionen. Bisschen verwirrend, da in der Aufgabe das Trägersignal 1, auch von t abhängt. Darauf muss ich dann wohl achten.


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rlk
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-03-22

Hallo Sinnfrei, ob Du die Transformation (keine Gleichung) $\mathrm{Tr}$, $\mathrm{T_r}$ oder $S$ nennst, ist nicht so wichtig, aber Du solltest bei neu eingeführten Größen erklären, was Du damit meinst. Ich glaube, dass Dir das auch helfen würde. \quoteon(2022-03-22 22:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 11) \quoteon(2022-03-22 19:59 - rlk in Beitrag No. 10) Wie sieht $\color{red}{\text{ das Ausgangssignal }}$ $s_1$ aus, wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird? Womit musst Du es vergleichen, um die Zeitinvarianz zu überprüfen? \quoteoff Du meinst wohl - Wie sieht das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1$ aus oder? \quoteoff Ja, wir müssen das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1(t-T)$ mit der Reaktion $\mathrm{Tr}\{s(t-T)\}$ auf das zeitverschobene Eingangssignal vergleichen. \quoteon(2022-03-22 22:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 11) Wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird, würde sich für das zeitverschobene $s_1$ ergeben $$s_1(t-T) \stackrel{?}{=}\mathrm{Tr}\{s(t-T)\} = s(t-T)\cdot s_{T1}(t) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T t)$$ Dann bezieht sich die Verschiebung gar nicht auf alle $t$ abhängigen Funktionen. Bisschen verwirrend, da in der Aufgabe das Trägersignal 1, auch von t abhängt. Darauf muss ich dann wohl achten. \quoteoff Wenn Du das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1(t-T)$ einsetzt, kannst Du überprüfen, ob die mit $\stackrel{?}{=}$ markierte Gleichung erfüllt ist oder nicht und die Frage nach der Zeitinvarianz beantworten. Ein anderer Weg wäre, die Funktion des Empfängers \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. \quoteoff mit den bekannten Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme zu vergleichen. Servus, Roland


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-23

\quoteon(2022-03-22 23:11 - rlk in Beitrag No. 12) Hallo Sinnfrei, ob Du die Transformation (keine Gleichung) $\mathrm{Tr}$, $\mathrm{T_r}$ oder $S$ nennst, ist nicht so wichtig, aber Du solltest bei neu eingeführten Größen erklären, was Du damit meinst. Ich glaube, dass Dir das auch helfen würde. \quoteon(2022-03-22 22:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 11) \quoteon(2022-03-22 19:59 - rlk in Beitrag No. 10) Wie sieht $\color{red}{\text{ das Ausgangssignal }}$ $s_1$ aus, wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird? Womit musst Du es vergleichen, um die Zeitinvarianz zu überprüfen? \quoteoff Du meinst wohl - Wie sieht das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1$ aus oder? \quoteoff Ja, wir müssen das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1(t-T)$ mit der Reaktion $\mathrm{Tr}\{s(t-T)\}$ auf das zeitverschobene Eingangssignal vergleichen. \quoteon(2022-03-22 22:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 11) Wenn am Eingang $s(t-T)$ angelegt wird, würde sich für das zeitverschobene $s_1$ ergeben $$s_1(t-T) \stackrel{?}{=}\mathrm{Tr}\{s(t-T)\} = s(t-T)\cdot s_{T1}(t) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T t)$$ Dann bezieht sich die Verschiebung gar nicht auf alle $t$ abhängigen Funktionen. Bisschen verwirrend, da in der Aufgabe das Trägersignal 1, auch von t abhängt. Darauf muss ich dann wohl achten. \quoteoff Wenn Du das zeitverschobene Ausgangssignal $s_1(t-T)$ einsetzt, kannst Du überprüfen, ob die mit $\stackrel{?}{=}$ markierte Gleichung erfüllt ist oder nicht und die Frage nach der Zeitinvarianz beantworten. \quoteoff Dann wäre das Empfangssystem nicht zeitinvariant, da aus $$s_1(t) = s(t)\cdot s_{T1} = s(t)\cdot \sin(2\pi f_T t)$$ und der Verschiebung um $T$ nach rechts folgendes ergibt $$s_1(\underbrace{t-T}_{t}) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T (t-T))$$ Hier müsste ich das für jede nach $t$ abhängige Funktion um T nach rechts verschieben. Da komme ich manchmal durcheinander. Mal ist da nur für das Eingangssignal und dann für jedes zeitabhängige Signal, die Verschiebung um T nach rechts gemeint. somit ist die Bedingung für ein zeitinvariantes System nicht erfüllt und das Empfangssystem ist nicht zeitinvariant. \quoteon Ein anderer Weg wäre, die Funktion des Empfängers \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. \quoteoff mit den bekannten Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme zu vergleichen. \quoteoff Wie komme ich denn an die Gesamtfunktion des Empfängers ran? Der Abtaster hat ja die Formel $$s_a(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty}s(nT)\delta(t-nT)$$ Also falls das so gemeint ist, dass man von allen Teilsystemen deren Funktionen multipliziert? Edit: Die Gesamtfunktion wäre doch dann $$H = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right) \cdot \underbrace{H_{IP}}_{?}(f) \cdot S_a(f)$$ Und $S_a(f) = {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{\infty}S(f- {k\over T})$ Was ist denn mit $t = k/f_a$ gemeint und was ist die Übertragungsfunktion von $H_{IP}(f)$ ?


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rlk
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-03-23

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Dann wäre das Empfangssystem nicht zeitinvariant, da aus $$s_1(t) = s(t)\cdot s_{T1} = s(t)\cdot \sin(2\pi f_T t)$$ und der Verschiebung um $T$ nach rechts folgendes ergibt $$s_1(\underbrace{t-T}_{t}) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T (t-T))$$ Hier müsste ich das für jede nach $t$ abhängige Funktion um T nach rechts verschieben. Da komme ich manchmal durcheinander. Mal ist da nur für das Eingangssignal und dann für jedes zeitabhängige Signal, die Verschiebung um T nach rechts gemeint. somit ist die Bedingung für ein zeitinvariantes System nicht erfüllt und das Empfangssystem ist nicht zeitinvariant. \quoteoff Das ist richtig. Die mit $\stackrel{?}{=}$ markierte Gleichung sieht dann so aus \[ s_1(t-T) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T (t-T))\stackrel{?}{=} \mathrm{Tr}\{s(t-T)\} = s(t-T)\cdot s_{T1}(t) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T t) \] sie ist nicht erfüllt und das System ist zeitvariant. Was willst Du mit der Klammer $s_1(\underbrace{t-T}_{t})$ unter dem Argument von $s_1$ andeuten? \quoteon(2022-03-22 23:11 - rlk in Beitrag No. 12) Ein anderer Weg wäre, die Funktion des Empfängers \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. \quoteoff mit den bekannten Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme zu vergleichen. \quoteoff Hier habe ich gemeint, dass ein LTI-System das Spektrum des Eingangssignals mit seiner Übertragungsfunktion multipliziert, während der Empfänger ja das Bandpassspektrum $S(f)$ in ein Basisbandspektrum umwandeln soll. Eine solche Frequenzumsetzung kann ein LTI-System nicht leisten, daher ist ein zeitvariantes oder nichtlineares System notwendig. Nachdem hier keine Nichtlinearität vorkommt, muss der Empfänger zeitvariant sein, was Deine Rechnung ja für das erste Teilsystem zeigt. \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Wie komme ich denn an die Gesamtfunktion des Empfängers ran? Der Abtaster hat ja die Formel $$s_a(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty}s(nT)\delta(t-nT) \qquad(13.1)$$ Also falls das so gemeint ist, dass man von allen Teilsystemen deren Funktionen multipliziert? \quoteoff Für LTI-Systeme ergibt sich die Übertragungsfunktion aus dem Produkt der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme. \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Edit: Die Gesamtfunktion wäre doch dann $$H = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right) \cdot \underbrace{H_{IP}}_{?}(f) \cdot S_a(f) \qquad(13.2)$$ Und $$S_a(f) = {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{\infty}S(f- {k\over T}) \qquad(13.3)$$ \quoteoff Hier musst Du aufpassen, am Eingang des Abtasters liegt ja das Signal $s_2(t)$ an, wie sieht dessen Spektrum $S_2(f)$ aus? Dazu musst Du die Frage 4 beantworten. \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Was ist denn mit $t = k/f_a$ gemeint und was ist die Übertragungsfunktion von $H_{IP}(f)$ ? \quoteoff Ersteres bedeutet, dass mit der Frequenz $f_a$ abgetastet wird, das Abtastintervall $T$ in $(13.1)$ und $(13.3)$ hat daher den Wert $T=1/f_a$. Die Übertragungsfunktion von $H_{IP}(f)$ ist das Thema der Frage 6. Servus, Roland


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-24

\quoteon(2022-03-23 08:23 - rlk in Beitrag No. 14) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Dann wäre das Empfangssystem nicht zeitinvariant, da aus $$s_1(t) = s(t)\cdot s_{T1} = s(t)\cdot \sin(2\pi f_T t)$$ und der Verschiebung um $T$ nach rechts folgendes ergibt $$s_1(\underbrace{t-T}_{t}) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T (t-T))$$ Hier müsste ich das für jede nach $t$ abhängige Funktion um T nach rechts verschieben. Da komme ich manchmal durcheinander. Mal ist da nur für das Eingangssignal und dann für jedes zeitabhängige Signal, die Verschiebung um T nach rechts gemeint. somit ist die Bedingung für ein zeitinvariantes System nicht erfüllt und das Empfangssystem ist nicht zeitinvariant. \quoteoff Das ist richtig. Die mit $\stackrel{?}{=}$ markierte Gleichung sieht dann so aus \[ s_1(t-T) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T (t-T))\stackrel{?}{=} \mathrm{Tr}\{s(t-T)\} = s(t-T)\cdot s_{T1}(t) = s(t-T)\cdot \sin(2\pi f_T t) \] sie ist nicht erfüllt und das System ist zeitvariant. Was willst Du mit der Klammer $s_1(\underbrace{t-T}_{t})$ unter dem Argument von $s_1$ andeuten? \quoteoff Das soll ja für jedes $t$ eingesetzt werden, dessen Funktion zeitabhängig ist. Eigentlich hätte ich das auch weglassen können aber vielleicht hat der- oder diejenige das selbe Problem bei der Beurteilung, ob das System zeitinvariant ist. \quoteon \quoteon(2022-03-22 23:11 - rlk in Beitrag No. 12) Ein anderer Weg wäre, die Funktion des Empfängers \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. \quoteoff mit den bekannten Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme zu vergleichen. \quoteoff Hier habe ich gemeint, dass ein LTI-System das Spektrum des Eingangssignals mit seiner Übertragungsfunktion multipliziert, während der Empfänger ja das Bandpassspektrum $S(f)$ in ein Basisbandspektrum umwandeln soll. Eine solche Frequenzumsetzung kann ein LTI-System nicht leisten, daher ist ein zeitvariantes oder nichtlineares System notwendig. Nachdem hier keine Nichtlinearität vorkommt, muss der Empfänger zeitvariant sein, was Deine Rechnung ja für das erste Teilsystem zeigt. \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Wie komme ich denn an die Gesamtfunktion des Empfängers ran? Der Abtaster hat ja die Formel $$s_a(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty}s(nT)\delta(t-nT) \qquad(13.1)$$ Also falls das so gemeint ist, dass man von allen Teilsystemen deren Funktionen multipliziert? \quoteoff Für LTI-Systeme ergibt sich die Übertragungsfunktion aus dem Produkt der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme. \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Edit: Die Gesamtfunktion wäre doch dann $$H = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right) \cdot \underbrace{H_{IP}}_{?}(f) \cdot S_a(f) \qquad(13.2)$$ Und $$S_a(f) = {1\over T} \sum_{k=-\infty}^{\infty}S(f- {k\over T}) \qquad(13.3)$$ \quoteoff Hier musst Du aufpassen, am Eingang des Abtasters liegt ja das Signal $s_2(t)$ an, wie sieht dessen Spektrum $S_2(f)$ aus? Dazu musst Du die Frage 4 beantworten. \quoteoff Als ich den Anfang dieses Satzes von dir gelesen habe, dachte ich zuerst daran, dass ich hier durch Fourier-Transformation von $s_1(t)$, dass Spektrum $S_1(f)$ mit dem Spektrum von $H(f)$ multiplizieren könnte, sodass ich dann auf das Spektrum von $S_2(f)$ komme, um dann mittels inverser Fourier-Transformation auf $s_2(t)$ zu gelangen aber das macht ja schon keinen Sinn, weil $s_1(t)$ ja kein Teilsystem ist sondern ein Ausgangssignal oder? Bei der Demodulation des Basisbandsignals war ich dann auch schon raus. Wie geht man denn bei der Demodulation vor? Bei reellen Signalen würde ich immer auf den $\cos$ schließen, wegen $\mathcal{Re}\{e^{j\varphi t}\} = \cos(\varphi t)$ aber weiß nicht ob das jetzt richtig oder falsch ist. \quoteon \quoteon(2022-03-23 00:13 - Sinnfrei in Beitrag No. 13) Was ist denn mit $t = k/f_a$ gemeint und was ist die Übertragungsfunktion von $H_{IP}(f)$ ? \quoteoff


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Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-24 00:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 15) \quoteon Was willst Du mit der Klammer $s_1(\underbrace{t-T}_{t})$ unter dem Argument von $s_1$ andeuten? \quoteoff Das soll ja für jedes $t$ eingesetzt werden, dessen Funktion zeitabhängig ist. Eigentlich hätte ich das auch weglassen können aber vielleicht hat der- oder diejenige das selbe Problem bei der Beurteilung, ob das System zeitinvariant ist. \quoteoff Ganz klar scheint Dir die Vorgangsweise noch nicht zu sein. Wir vergleichen die Reaktion $\operatorname{Tr}(s(t-T))$ auf das verzögerte Eingangssignal $s(t-T)$ mit dem verzögerten Ausgangssignal $s_1(t-T)$. Im Blockschaltbild kannst Du Dir für den ersten Fall ein Verzögerungsglied vor dem Multiplizierer vorstellen. Im zweiten Fall liegt das Verzögerungsglied nach dem Multiplizierer und wirkt deshalb auch auf das Trägersignal. \quoteon(2022-03-24 00:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 15) Als ich den Anfang dieses Satzes von dir gelesen habe, dachte ich zuerst daran, dass ich hier durch Fourier-Transformation von $s_1(t)$, dass Spektrum $S_1(f)$ mit dem Spektrum von $H(f)$ multiplizieren könnte, sodass ich dann auf das Spektrum von $S_2(f)$ komme, um dann mittels inverser Fourier-Transformation auf $s_2(t)$ zu gelangen aber das macht ja schon keinen Sinn, weil $s_1(t)$ ja kein Teilsystem ist sondern ein Ausgangssignal oder? \quoteoff Welchen Satz meinst Du? Das Signal $s_1$ ist das Eingangssignal des Filters mit der Übertragungsfunktion $H_{\mathrm{TP}}$, Deine Idee ist daher richtig. Wieso glaubst Du, dass sie keinen Sinn ergeben sollte? \quoteon(2022-03-24 00:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 15) Bei der Demodulation des Basisbandsignals war ich dann auch schon raus. Wie geht man denn bei der Demodulation vor? \quoteoff Bei der Demodulation geht es darum, das Modulationssignal $a(t)$ aus dem modulierten Signal $a(t) \cos(2\pi f_0 t)$ zurückzugewinnenen. Wenn Du das Bild des Spektrums aus dem Themenstart mit dem Leistungsdichtespektrum aus https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257629&post_id=1871380 vergleichst, kannst Du das Modulationssignal ablesen. \quoteon(2022-03-24 00:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 15) Bei reellen Signalen würde ich immer auf den $\cos$ schließen, wegen $\mathcal{Re}\{e^{j\varphi t}\} = \cos(\varphi t)$ aber weiß nicht ob das jetzt richtig oder falsch ist. \quoteoff Auch $\operatorname{Im}(e^{j\varphi t}) = \color{red}{\cos}(\varphi t)$ ist ein reelles Signal. Korrektur: ich wollte den folgenden Satz schreiben. Auch $\operatorname{Im}(e^{j\varphi t}) = \sin(\varphi t)$ ist ein reelles Signal. Erinnere Dich an \quoteon(2022-03-18 20:38 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-03-10 21:59 - rlk in Beitrag No. 1) Bei 3 erinnere Dich welche Operation im Frequenzbereich einer Multiplikation im Zeitbereich entspricht. \quoteoff Im Frequenzbereich wäre die im Zeitbereich vorliegende Multiplikation die Faltung. \quoteoff dann kannst Du die Spektren $S_1(f)$ und $S_2(f)$ berechnen und Fragen 3 und 4 beantworten. Servus, Roland


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-25

\quoteon(2022-03-24 22:12 - rlk in Beitrag No. 16) Ganz klar scheint Dir die Vorgangsweise noch nicht zu sein. Wir vergleichen die Reaktion $\operatorname{Tr}(s(t-T))$ auf das verzögerte Eingangssignal $s(t-T)$ mit dem verzögerten Ausgangssignal $s_1(t-T)$. Im Blockschaltbild kannst Du Dir für den ersten Fall ein Verzögerungsglied vor dem Multiplizierer vorstellen. Im zweiten Fall liegt das Verzögerungsglied nach dem Multiplizierer und wirkt deshalb auch auf das Trägersignal. \quoteoff Ist ja im Grunde genommen, dass was ich geschrieben habe. Das Beispiel mit dem Blockschaltbild finde ich dennoch gut als Eselsbrücke, so ist man dann immer auf der sicheren Seite. Manchmal vertue ich mich halt an der Stelle, sodass sich das jetzt mit dem von dir genannten Blockschaltbild Beispiel geklärt hat. \quoteon(2022-03-23 08:23 - rlk in Beitrag No. 14) Hier musst Du aufpassen, am Eingang des Abtasters liegt ja das Signal $s_2(t)$ an, wie sieht dessen Spektrum $S_2(f)$ aus? Dazu musst Du die Frage 4 beantworten. \quoteoff Diesen Satz meinte ich, also eigentlich der Satz im Anschluss. Komisch warum du das nicht gemerkt hast, weil ich auch nicht dazwischen irgendwo geschrieben habe sondern direkt im Anschluss. Hier nochmal Aufgabe $4)$ \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. Welche Trägerfunktion $s_{T1}(t)$ oder $s_{T2}$ ist dann zu verwenden, wenn das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ rein reell ist? \quoteoff Hieraus ekenne ich nicht, dass das etwas mit dem Signal $s_2(t)$ zu tun hat. Da ist ja von einem Basisbandsignal die Rede. Im welchem Zusammenhang steht das Basisbandsignal mit dem Signal $s_2(t)$. Soll das andeuten, dass $s_1(t)$ das modulierte und nach dem id.-TP-Filter das demodulierte Signal $s_1(t)$ also $s_2(t)$ ist? Den folgenden Teil verstehe ich auch nicht. \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) Welche Trägerfunktion $s_{T1}(t)$ oder $s_{T2}$ ist dann zu verwenden, wenn das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ rein reell ist? \quoteoff Wie bestimme ich denn welche Trägerfunktion ich benutzen muss? \quoteon(2022-03-24 22:12 - rlk in Beitrag No. 16)Welchen Satz meinst Du? Das Signal $s_1$ ist das Eingangssignal des Filters mit der Übertragungsfunktion $H_{\mathrm{TP}}$, Deine Idee ist daher richtig. Wieso glaubst Du, dass sie keinen Sinn ergeben sollte? \quoteoff Also ich habe für $S_1(f)$ $$S_1(f) = \left(\operatorname{rect}\left({f-f_T \over B} \right) + \operatorname{rect}\left({f + f_T \over B}\right)\right)\cdot \left({1\over 2j}\delta(f-f_T) + {1\over 2j}\delta(f+f_T)\right)$$ Weiterhin bin ich wie folgt vorgegangen $$S_2(f) = H_{TP}(f) \cdot S_1(f)$$ $$S_2(f) = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\cdot\left(\operatorname{rect}\left({f-f_T \over B} \right) + \operatorname{rect}\left({f + f_T \over B}\right)\right)\cdot \left({1\over 2j}\delta(f-f_T) + {1\over 2j}\delta(f+f_T)\right)$$ Daraus kann ich noch nicht wirklich viel erkennen. Wie gehts denn weiter? Der Imaginärteil von $e^{j\varphi t}$ ist doch laut der Polardarstellung der $\sin(\varphi t)$ wegen $\cos(\varphi t) + j\sin(\varphi t)$ Ich bin davon ausgegangen, dass man ein Spektrum mit einer Übertragungsfunktion nicht multiplizieren könnte, da das beide ja an sich unterschiedliche Dinge sind aber wenn man die invers Fourier Transformiert, ergibt das ja laut Definition die Faltung aus zwei zeitabhängigen Funktionen, dem Eingangssignal mit der Impulsantwort des System. Daran hatte ich nicht gedacht aber im nachhinein wurde es mir dann doch klar.


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Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Ist ja im Grunde genommen, dass was ich geschrieben habe. Das Beispiel mit dem Blockschaltbild finde ich dennoch gut als Eselsbrücke, so ist man dann immer auf der sicheren Seite. Manchmal vertue ich mich halt an der Stelle, sodass sich das jetzt mit dem von dir genannten Blockschaltbild Beispiel geklärt hat. \quoteoff ich versuche herauszufinden, was Du meinst und ob Du es verstanden hast. Ich hoffe, dass mir das zumindest manchmal gelingt. Es freut mich, dass Dir die Betrachtung des Blockschaltbilds hilft. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) \quoteon(2022-03-23 08:23 - rlk in Beitrag No. 14) Hier musst Du aufpassen, am Eingang des Abtasters liegt ja das Signal $s_2(t)$ an, wie sieht dessen Spektrum $S_2(f)$ aus? Dazu musst Du die Frage 4 beantworten. \quoteoff Diesen Satz meinte ich, also eigentlich der Satz im Anschluss. Komisch warum du das nicht gemerkt hast, weil ich auch nicht dazwischen irgendwo geschrieben habe sondern direkt im Anschluss. \quoteoff ja, im Nachhinein scheint es klar zu sein, welchen Satz Du gemeint hast. Er bezieht sich auf die Gleichung $(13.3)$, in der das Spektrum des Eingangssignals des Abtasters mit $S(f)$ bezeichnet wird, was nicht zu dem Blockschaltbild passt, wo an dieser Stelle $S_2(f)$ steht. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Hier nochmal Aufgabe $4)$ \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) 4) Am Ausgang des idealen Tiefpasses soll das korrekt demodulierte Basisbandsignal anstehen. Welche Trägerfunktion $s_{T1}(t)$ oder $s_{T2}$ ist dann zu verwenden, wenn das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ rein reell ist? \quoteoff Hieraus erkenne ich nicht, dass das etwas mit dem Signal $s_2(t)$ zu tun hat. Da ist ja von einem Basisbandsignal die Rede. Im welchem Zusammenhang steht das Basisbandsignal mit dem Signal $s_2(t)$. \quoteoff Im Blockschaltbild siehst Du, dass am Ausgang des idealen Tiefpasses das Signal $s_2(t)$ entsteht. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Soll das andeuten, dass $s_1(t)$ das modulierte und nach dem id.-TP-Filter das demodulierte Signal $s_1(t)$ also $s_2(t)$ ist? \quoteoff Nein das Signal $s_1$ ist ein Zwischenergebnis. Das modulierte Signal $s$ liegt am Eingang des Empfängers an. Das demodulierte Basisbandsignal $s_\mathrm{Basis}$ entsteht bei der richtigen Wahl aus $s_{T1}$, $s_{T2}$ am Ausgang des idealen Tiefpasses, also $s_2$. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Den folgenden Teil verstehe ich auch nicht. \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) Welche Trägerfunktion $s_{T1}(t)$ oder $s_{T2}$ ist dann zu verwenden, wenn das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ rein reell ist? \quoteoff Wie bestimme ich denn welche Trägerfunktion ich benutzen muss? \quoteoff Indem Du für beide Fälle $s_2$ berechnest und mit dem erwünschten Ausgangssignal $s_\mathrm{Basis}$ vergleichst. Die Aufgabe solltest Du ja nicht ohne Vorbereitung lösen, sondern die Begriffe Modulation, Demodulation, Basisbandsignal, Übertragungsfunktion solltet ihr ja schon in der Vorlesung und Übungen besprochen haben. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Also ich habe für $S_1(f)$ $$S_1(f) = \left(\operatorname{rect}\left({f-f_T \over B} \right) + \operatorname{rect}\left({f + f_T \over B}\right)\right)\color{red}{\cdot} \left({1\over 2j}\delta(f-f_T) \color{red}{+} {1\over 2j}\delta(f+f_T)\right)$$ \quoteoff Anscheinend hast Du begonnen, den Fall mit dem lokalen Oszillatorsignal $s_{T1}$ zu untersuchen. Wie ich schon geschrieben habe, solltest Du schreiben, was Du vorhast, um den Lesern und auch Dir selbst zu helfen. Die Spektren von Eingangs- und lokalem Oszillatorsignal müssen gefaltet, nicht multipliziert werden, statt $\color{red}{\cdot}$ muss also $\star$ stehen. Die Fouriertransformierte von $s_\mathrm{T1}$ ist \[ \mathcal{F} s_{T1} = \mathcal{F} \sin(2\pi f_T t) = {1\over 2j}\delta(f-f_T) - {1\over 2j}\delta(f+f_T)\] Du hast dort noch einen Vorzeichenfehler. Wenn Du die Faltung ausrechnest, kannst Du das Spektrum $S_2$ am Ausgang des Tiefpassfilters bestimmen. Ich empfehle Dir ein Skizze, weil man dort besser erkennt, was passiert. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Der Imaginärteil von $e^{j\varphi t}$ ist doch laut der Polardarstellung der $\sin(\varphi t)$ wegen $\cos(\varphi t) + j\sin(\varphi t)$ \quoteoff Das habe ich nicht bestritten. Der Imaginärteil $\sin(\varphi t)$ ist reell, es gilt ja $z=\operatorname{Re}(z) +j\cdot \operatorname{Im}(z)$. \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Ich bin davon ausgegangen, dass man ein Spektrum mit einer Übertragungsfunktion nicht multiplizieren könnte, da das beide ja an sich unterschiedliche Dinge sind aber wenn man die invers Fourier Transformiert, ergibt das ja laut Definition die Faltung aus zwei zeitabhängigen Funktionen, dem Eingangssignal mit der Impulsantwort des System. Daran hatte ich nicht gedacht aber im nachhinein wurde es mir dann doch klar. \quoteoff Die Übertragungsfunktion ist doch als das Verhältnis von Ausgangs- und Eingangsspektrum definiert, die Multiplikation ist daher naheliegend und richtig. Servus, Roland


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zippy
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-03-26

\quoteon(2022-03-26 14:08 - rlk in Beitrag No. 18) \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Der Imaginärteil von $e^{j\varphi t}$ ist doch laut der Polardarstellung der $\sin(\varphi t)$ wegen $\cos(\varphi t) + j\sin(\varphi t)$ \quoteoff Das habe ich nicht bestritten. \quoteoff Diese Formel ist wohl der Grund der Verwirrung: \quoteon(2022-03-24 22:12 - rlk in Beitrag No. 16) $\operatorname{Im}(e^{j\varphi t}) = \cos(\varphi t)$ \quoteoff


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rlk
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-03-26

Hallo zippy, danke für den Hinweis! Dort sollte natürlich $\operatorname{Im}(e^{j\varphi t}) = \sin(\varphi t)$ stehen. Es tut mir leid, wenn ich dadurch Verwirrung gestiftet habe. Servus, Roland


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Sinnfrei
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\quoteon(2022-03-26 14:08 - rlk in Beitrag No. 18) Nein das Signal $s_1$ ist ein Zwischenergebnis. Das modulierte Signal $s$ liegt am Eingang des Empfängers an. Das demodulierte Basisbandsignal $s_\mathrm{Basis}$ entsteht bei der richtigen Wahl aus $s_{T1}$, $s_{T2}$ am Ausgang des idealen Tiefpasses, also $s_2$. \quoteoff Achso also ist bereits das $s(t)$ das modulierte Signal. Steht ja auch eigentlich in der Aufgabe, dass $s(t)$ das modulierte Signal aus $s_{Basis}$ und einem der möglichen Trägersignale $\sin$ bzw. $\cos$ ist. \quoteon(2022-03-26 14:08 - rlk in Beitrag No. 18) Anscheinend hast Du begonnen, den Fall mit dem lokalen Oszillatorsignal $s_{T1}$ zu untersuchen. Wie ich schon geschrieben habe, solltest Du schreiben, was Du vorhast, um den Lesern und auch Dir selbst zu helfen. \quoteoff Ich hatte es ja bereits geschrieben, was ich vor habe. Siehe folgendes \quoteon \quoteon(2022-03-24 00:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 15) Als ich den Anfang dieses Satzes von dir gelesen habe, dachte ich zuerst daran, dass ich hier durch Fourier-Transformation von $s_1(t)$, dass Spektrum $S_1(f)$ mit dem Spektrum von $H(f)$ multiplizieren könnte, sodass ich dann auf das Spektrum von $S_2(f)$ komme, um dann mittels inverser Fourier-Transformation auf $s_2(t)$ zu gelangen aber das macht ja schon keinen Sinn, weil $s_1(t)$ ja kein Teilsystem ist sondern ein Ausgangssignal oder? \quoteoff Welchen Satz meinst Du? Das Signal $s_1$ ist das Eingangssignal des Filters mit der Übertragungsfunktion $H_{\mathrm{TP}}$, Deine Idee ist daher richtig. Wieso glaubst Du, dass sie keinen Sinn ergeben sollte? \quoteoff Du hattest sogar schon darauf geantwortet und meine Vorgehensweise als richtig erklärt. Jetzt sagst du aber weiter \quoteon Die Spektren von Eingangs- und lokalem Oszillatorsignal müssen gefaltet, nicht multipliziert werden, statt $\color{red}{\cdot}$ muss also $\star$ stehen. Die Fouriertransformierte von $s_\mathrm{T1}$ ist \[ \mathcal{F} s_{T1} = \mathcal{F} \sin(2\pi f_T t) = {1\over 2j}\delta(f-f_T) - {1\over 2j}\delta(f+f_T)\] Du hast dort noch einen Vorzeichenfehler. Wenn Du die Faltung ausrechnest, kannst Du das Spektrum $S_2$ am Ausgang des Tiefpassfilters bestimmen. Ich empfehle Dir ein Skizze, weil man dort besser erkennt, was passiert. \quoteoff Hier müsste es doch die Multiplikation sein, weil das Signal ja sonst im Zeitbereich wäre. $s_1(t)$ müsste ich ja im Zeitbereich mit der Impulsantwort des TP-Systems falten, um an das Ausgangssignal $s_2(t)$ zu kommen und im Frequenzbereich wäre es ja laut dem Bild aus der Aufgabe die Multiplikation. Warum jetzt im Frequenzbereich gefaltet werden muss verstehe ich nicht. \quoteon(2022-03-26 14:08 - rlk in Beitrag No. 18) \quoteon(2022-03-25 22:31 - Sinnfrei in Beitrag No. 17) Den folgenden Teil verstehe ich auch nicht. \quoteon(2022-03-10 05:58 - Sinnfrei im Themenstart) Welche Trägerfunktion $s_{T1}(t)$ oder $s_{T2}$ ist dann zu verwenden, wenn das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ rein reell ist? \quoteoff Wie bestimme ich denn welche Trägerfunktion ich benutzen muss? \quoteoff Indem Du für beide Fälle $s_2$ berechnest und mit dem erwünschten Ausgangssignal $s_\mathrm{Basis}$ vergleichst. Die Aufgabe solltest Du ja nicht ohne Vorbereitung lösen, sondern die Begriffe Modulation, Demodulation, Basisbandsignal, Übertragungsfunktion solltet ihr ja schon in der Vorlesung und Übungen besprochen haben. \quoteoff Ich denke daran, dass $s_{Basis}(f)$ ein Tiefpass, bei der die Symmetrielinie im Ursprung $f=0$ liegt. Weiss aber nicht ob das stimmt. Hab das mit der Äquivalenz zwischen $BP$ und $TP$ noch nicht so ganz verstanden, wie aus einem BP-Spektrum ein TP-Spektrum wird. Dann wäre $s_{Basis}(t)$ ja die $\operatorname{si}$ - Funktion, falls das richtig wäre. \quoteoff


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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-03-27

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-03-27 03:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 21) Achso also ist bereits das $s(t)$ das modulierte Signal. Steht ja auch eigentlich in der Aufgabe, dass $s(t)$ das modulierte Signal aus $s_{Basis}$ und einem der möglichen Trägersignale $\sin$ bzw. $\cos$ ist. \quoteoff ja. Vielleicht solltest Du die ganze Diskussion nocheinmal durchlesen und Dir vielleicht Notizen machen und fragen, wenn Dir etwas unklar ist. \quoteon(2022-03-27 03:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 21) \quoteon(2022-03-26 14:08 - rlk in Beitrag No. 18) Anscheinend hast Du begonnen, den Fall mit dem lokalen Oszillatorsignal $s_{T1}$ zu untersuchen. Wie ich schon geschrieben habe, solltest Du schreiben, was Du vorhast, um den Lesern und auch Dir selbst zu helfen. \quoteoff Ich hatte es ja bereits geschrieben, was ich vor habe. Siehe folgendes \quoteon \quoteon(2022-03-24 00:17 - Sinnfrei in Beitrag No. 15) Als ich den Anfang dieses Satzes von dir gelesen habe, dachte ich zuerst daran, dass ich hier durch Fourier-Transformation von $s_1(t)$, dass Spektrum $S_1(f)$ mit dem Spektrum von $H(f)$ multiplizieren könnte, sodass ich dann auf das Spektrum von $S_2(f)$ komme, um dann mittels inverser Fourier-Transformation auf $s_2(t)$ zu gelangen aber das macht ja schon keinen Sinn, weil $s_1(t)$ ja kein Teilsystem ist sondern ein Ausgangssignal oder? \quoteoff Welchen Satz meinst Du? Das Signal $s_1$ ist das Eingangssignal des Filters mit der Übertragungsfunktion $H_{\mathrm{TP}}$, Deine Idee ist daher richtig. Wieso glaubst Du, dass sie keinen Sinn ergeben sollte? \quoteoff Du hattest sogar schon darauf geantwortet und meine Vorgehensweise als richtig erklärt. \quoteoff Das war eine Beschreibung der Vorgehensweise zur Berechnung von $s_2$ und $S_2$, trotzdem wäre es gut, wenn Du auch bei Teilschritten schreibst, was und warum Du etwas rechnest. \quoteon(2022-03-27 03:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 21) Jetzt sagst du aber weiter \quoteon Die Spektren von Eingangs- und lokalem Oszillatorsignal müssen gefaltet, nicht multipliziert werden, statt $\color{red}{\cdot}$ muss also $\star$ stehen. Die Fouriertransformierte von $s_\mathrm{T1}$ ist \[ \mathcal{F} s_{T1} = \mathcal{F} \sin(2\pi f_T t) = {1\over 2j}\delta(f-f_T) - {1\over 2j}\delta(f+f_T)\] Du hast dort noch einen Vorzeichenfehler. Wenn Du die Faltung ausrechnest, kannst Du das Spektrum $S_2$ am Ausgang des Tiefpassfilters bestimmen. Ich empfehle Dir ein Skizze, weil man dort besser erkennt, was passiert. \quoteoff Hier müsste es doch die Multiplikation sein, weil das Signal ja sonst im Zeitbereich wäre. $s_1(t)$ müsste ich ja im Zeitbereich mit der Impulsantwort des TP-Systems falten, um an das Ausgangssignal $s_2(t)$ zu kommen und im Frequenzbereich wäre es ja laut dem Bild aus der Aufgabe die Multiplikation. Warum jetzt im Frequenzbereich gefaltet werden muss verstehe ich nicht. \quoteoff Es geht um die Berechnung von $S_1$, die Du mit der von $S_2$ durcheinanderzubringe scheinst. Das Signal $s_1$ ist das Produkt $s(t)\color{green}{\cdot}s_T(t)$ aus Eingangssignal $s$ und lokalem Oszillatorsignal $s_T$ (einem der beiden Kandidaten $s_{T1}$ und $s_{T2}$). Wie bereits mehrfach besprochen korrespondiert diese Multiplikation im Zeitbereich mit einer Faltung im Frequenzbereich. Dass Du diese nicht von der richtigen Multiplikation in $S_2(f)=H_{TP}\cdot S_1(f)$ unterscheiden kannst, obwohl ich die falsche Multiplikation rot markiert habe macht mich etwas ratlos. Ohne diese Faltung hätten wir ein LTI-System, das die gewünschte Demodulation nicht leisten kann. \quoteon(2022-03-27 03:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 21) Ich denke daran, dass $s_{Basis}(f)$ ein Tiefpass, bei der die Symmetrielinie im Ursprung $f=0$ liegt. Weiss aber nicht ob das stimmt. \quoteoff Mit Tiefpass bezeichnet man normalerweise ein System, kein Signal wie $s_\mathrm{Basis}(t)$. Aber es stimmt, dass das Spektrum die Form einer Tiefpass-Übertragungsfunktion hat. \quoteon(2022-03-27 03:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 21) Hab das mit der Äquivalenz zwischen $BP$ und $TP$ noch nicht so ganz verstanden, wie aus einem BP-Spektrum ein TP-Spektrum wird. Dann wäre $s_{Basis}(t)$ ja die $\operatorname{si}$ - Funktion, falls das richtig wäre. \quoteoff Wenn Du die Faltung ausrechnest, sollte es klarer werden. Eine geeignet skalierte $\operatorname{si}$-Funktion hat das passende Amplitudenspektrum. Ohne Informationen zum Phasenspektrum lässt sich das Basisbandsignal nicht eindeutig bestimmen, aber das ist für die Aufgabe nicht notwendig. Servus, Roland


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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-02 03:28

\quoteon(2022-03-27 16:42 - rlk in Beitrag No. 22) Es geht um die Berechnung von $S_1$, die Du mit der von $S_2$ durcheinanderzubringe scheinst. Das Signal $s_1$ ist das Produkt $s(t)\color{green}{\cdot}s_T(t)$ aus Eingangssignal $s$ und lokalem Oszillatorsignal $s_T$ (einem der beiden Kandidaten $s_{T1}$ und $s_{T2}$). Wie bereits mehrfach besprochen korrespondiert diese Multiplikation im Zeitbereich mit einer Faltung im Frequenzbereich. Dass Du diese nicht von der richtigen Multiplikation in $S_2(f)=H_{TP}\cdot S_1(f)$ unterscheiden kannst, obwohl ich die falsche Multiplikation rot markiert habe macht mich etwas ratlos. Ohne diese Faltung hätten wir ein LTI-System, das die gewünschte Demodulation nicht leisten kann. \quoteoff Da lag auch mein Problem, zu glauben, man könnte die Fourier-Spektren aus $S_1(f)$, $S_{T1}(f)$ mit dem Multiplikator multiplizieren. Das Eingangssignal wurde hier als eine Funktion, die von f abhängig ist, angegeben und nicht von $t$. Laut dem Blockschaltbild müsste das Eingangssignal aber als Funktion der Zeit vorliegen, damit man die Multiplikation anstelle der Faltung durchführen kann. Das hatte ich komplett ausgeblendet. \quoteon(2022-03-27 16:42 - rlk in Beitrag No. 22) \quoteon(2022-03-27 03:56 - Sinnfrei in Beitrag No. 21) Hab das mit der Äquivalenz zwischen $BP$ und $TP$ noch nicht so ganz verstanden, wie aus einem BP-Spektrum ein TP-Spektrum wird. Dann wäre $s_{Basis}(t)$ ja die $\operatorname{si}$ - Funktion, falls das richtig wäre. \quoteoff Wenn Du die Faltung ausrechnest, sollte es klarer werden. Eine geeignet skalierte $\operatorname{si}$-Funktion hat das passende Amplitudenspektrum. Ohne Informationen zum Phasenspektrum lässt sich das Basisbandsignal nicht eindeutig bestimmen, aber das ist für die Aufgabe nicht notwendig. \quoteoff Ich habe jetzt zur (3) folgendes aufgeschrieben $$S_1(f) = \left(\operatorname{rect}\left({f-f_T \over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+f_T \over B}\right)\right) \star {j\over 2} \left[\delta(f+f_T) - \delta(f-f_T)\right]$$ $$S_1(f) = {j\over 2}\left[\operatorname{rect}\left({f+2f_T\over B}\right) -\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)\right]\qquad(1)$$ Mit $S_{T2}$ ergibt sich dann folgende Rechnung $$S_1(f) = \left[\operatorname{rect}\left({f-f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+f_T\over B}\right)\right]\star {1\over 2}\left[\delta(f+f_T) + \delta(f-f_T)\right]$$ $$S_1(f) = {1\over 2}\left[2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+2f_T\over B}\right)\right] \qquad (2)$$ Frage: Was wären denn hier charakteristische Werte beim Zeichnen? Sind das nicht einfach nur Rechtecke, der Breite B, die verschoben sind um $f = \pm 2f_T$ und eins bei $f = 0$ ? Und für $S_2(f)$ bekomme ich dann nach Multiplikation mit $H_{TP}(f)$ $$S_2(f) = S_1(f)\cdot H_{TP}(f) = {j\over 2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\left[\operatorname{rect}\left({f+2f_T\over B}\right) -\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)\right] \qquad(2)$$ Ist soweit alles richtig oder habe ich an irgendeiner Stelle einen Fehler gemacht? Zur (4) Hier weiss ich noch nicht, wie man vorgeht. Schaut man sich hierbei die Spektren der Trägerfunktionen an? $S_{T1}$ hat ja ein komplexes Spektrum, wenn aber das Ausgangssignal am $TP-Filter$ das reelle Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ ergeben soll, würde ich auf das zweite Trägersignal $S_{T2}$ tippen, da es auch ein reelles Spektrum hat.


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rlk
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-06-03 18:16

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-06-02 03:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 23) Da lag auch mein Problem, zu glauben, man könnte die Fourier-Spektren aus $S_1(f)$, $S_{T1}(f)$ mit dem Multiplikator multiplizieren. Das Eingangssignal wurde hier als eine Funktion, die von f abhängig ist, angegeben und nicht von $t$. Laut dem Blockschaltbild müsste das Eingangssignal aber als Funktion der Zeit vorliegen, damit man die Multiplikation anstelle der Faltung durchführen kann. Das hatte ich komplett ausgeblendet. \quoteoff gut, dass Du das erkannt hast. \quoteon(2022-06-02 03:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 23) Ich habe jetzt zur (3) folgendes aufgeschrieben $$S_1(f) = \left(\operatorname{rect}\left({f-f_T \over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+f_T \over B}\right)\right) \star {j\over 2} \left[\delta(f+f_T) - \delta(f-f_T)\right]$$ $$S_1(f) = {j\over 2}\left[\operatorname{rect}\left({f+2f_T\over B}\right) -\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)\right]\qquad(1)$$ \quoteoff Hier würde ich erwähnen, dass die beiden Terme $\pm\frac{j}{2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)$ wegfallen, weil ihre Summe Null ergibt. \quoteon(2022-06-02 03:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 23) Mit $S_{T2}$ ergibt sich dann folgende Rechnung $$S_1(f) = \left[\operatorname{rect}\left({f-f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+f_T\over B}\right)\right]\star {1\over 2}\left[\delta(f+f_T) + \delta(f-f_T)\right]$$ $$S_1(f) = {1\over 2}\left[2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+2f_T\over B}\right)\right] \qquad (2)$$ Frage: Was wären denn hier charakteristische Werte beim Zeichnen? Sind das nicht einfach nur Rechtecke, der Breite B, die verschoben sind um $f = \pm 2f_T$ und eins bei $f = 0$ ? \quoteoff Die Gleichung $(2)$ ist richtig und es sind Rechtecke. Für die Zeichnung würde ich die Werte von $B$ und $f_T$ aus der Skizze im Themenstart übernehmen. Dort sieht man auch, dass $f_T > B/2$ gelten muss, damit die Teilspektren bei $-f_T \pm B/2$ und $+f_T \pm B/2$ nicht überlappen. \quoteon(2022-06-02 03:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 23) Und für $S_2(f)$ bekomme ich dann nach Multiplikation mit $H_{TP}(f)$ $$S_2(f) = S_1(f)\cdot H_{TP}(f) = {j\over 2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\left[\operatorname{rect}\left({f+2f_T\over B}\right) -\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)\right] \qquad(2)$$ \quoteoff Hier solltest Du eine andere Gleichungsnummer verwenden und erwähnen, dass $S_1(f)$ aus $(1)$ verwendet wurde. Wenn Du die Skizze gemacht hast, wirst Du sehen, dass für diesen Fall (also mit dem Trägersignal $s_{T1}(t)$) das Ausgangssignal $S_2(f)$ den Wert Null hat. Der interessantere Fall für das Trägersignal $s_{T2}(t)$ fehlt noch. \quoteon(2022-06-02 03:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 23) Ist soweit alles richtig oder habe ich an irgendeiner Stelle einen Fehler gemacht? Zur (4) Hier weiss ich noch nicht, wie man vorgeht. Schaut man sich hierbei die Spektren der Trägerfunktionen an? $S_{T1}$ hat ja ein komplexes Spektrum, wenn aber das Ausgangssignal am $TP-Filter$ das reelle Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ ergeben soll, würde ich auf das zweite Trägersignal $S_{T2}$ tippen, da es auch ein reelles Spektrum hat. \quoteoff Wenn Du $S_2(f)=S_1(f)\cdot H_{TP}(f)$ mit $S_1(f)$ aus $(2)$ berechnest, wirst Deu sehen, dass Du richtig getippt hast. Servus, Roland


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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-04 01:49

\quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Die Gleichung $(2)$ ist richtig und es sind Rechtecke. Für die Zeichnung würde ich die Werte von $B$ und $f_T$ aus der Skizze im Themenstart übernehmen. Dort sieht man auch, dass $f_T > B/2$ gelten muss, damit die Teilspektren bei $-f_T \pm B/2$ und $+f_T \pm B/2$ nicht überlappen. \quoteoff Hab jetzt lange darüber nachgedacht was du meinst und das scheinen die Unstetigkeitsstellen aus der Zeichnung, bei $f = -f_T \pm B/2$ und bei $f = f_T \pm B/2$, zu sein. Den Teil mit der Überlappung verstehe ich jedoch nicht. Wie überlappt denn bei $S_1(f)$ etwas? \quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Wenn Du $S_2(f)=S_1(f)\cdot H_{TP}(f)$ mit $S_1(f)$ aus $(2)$ berechnest, wirst Deu sehen, dass Du richtig getippt hast. \quoteoff Aus der Multiplikation war das direkt ersichtlich, nur habe ich das nicht direkt gesehen. Aus $$S_2(f) = S_1(f) \cdot H_{TP}(f)$$ $${1\over 2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\left[2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+ 2f_T\over B}\right)\right]$$ $$S_2(f) = {1\over 2}\cdot 2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right)$$ Und das dann Fourier-Rücktransformiert ergibt dann das Basisbandsignal $s_{Basis}(t) = B\cdot\operatorname{si}(\pi B t)$


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  Beitrag No.26, eingetragen 2022-06-07 22:58

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) \quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Die Gleichung $(2)$ ist richtig und es sind Rechtecke. Für die Zeichnung würde ich die Werte von $B$ und $f_T$ aus der Skizze im Themenstart übernehmen. Dort sieht man auch, dass $f_T > B/2$ gelten muss, damit die Teilspektren bei $-f_T \pm B/2$ und $+f_T \pm B/2$ nicht überlappen. \quoteoff Hab jetzt lange darüber nachgedacht was du meinst und das scheinen die Unstetigkeitsstellen aus der Zeichnung, bei $f = -f_T \pm B/2$ und bei $f = f_T \pm B/2$, zu sein. Den Teil mit der Überlappung verstehe ich jedoch nicht. Wie überlappt denn bei $S_1(f)$ etwas? \quoteoff sieh' Dir das Spektrum $S(f)$ des Eingangssignals an: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Spektrum_S_f_.png Es besteht genau dann aus zwei nichtüberlappenden Rechtecken, wenn die Bedingung $$f_T > B/2$$ erfüllt ist. Mit einer Skizze kannst Du die Spektren $S(f)$ und $S_1(f)$ für den Fall $f_T < B/2$ ermitteln und feststellen, was dann passiert. Eine andere Möglichkeit ist, sich in Erinnerung zu rufen, warum man das Basisbandsignal auf einen Träger moduliert: es soll über einen Kanal übertragen werden, der niedrige Frequenzen nicht durchlässt. \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) \quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Wenn Du $S_2(f)=S_1(f)\cdot H_{TP}(f)$ mit $S_1(f)$ aus $(2)$ berechnest, wirst Deu sehen, dass Du richtig getippt hast. \quoteoff Aus der Multiplikation war das direkt ersichtlich, nur habe ich das nicht direkt gesehen. Aus $$S_2(f) = S_1(f) \cdot H_{TP}(f)$$ $${1\over 2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\left[2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+ 2f_T\over B}\right)\right]$$ $$S_2(f) = {1\over 2}\cdot 2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right)$$ \quoteoff Hier setzt Du voraus, dass die untere Grenzfrequenz $2f_T -\frac{B}{2}$ des Terms $\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)$ größer als die obere Grenzfrequenz $\frac{B}{2}$ von Basisbandsignal und Tiefpassfilter ist. Welche Ungleichung folgt daraus für die Trägerfrequenz $f_T$? \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) Und das dann Fourier-Rücktransformiert ergibt dann das Basisbandsignal $s_{Basis}(t) = B\cdot\operatorname{si}(\pi B t)$ \quoteoff Das sieht gut aus. Welche Konvention verwedent ihr für die Fourier(rück)transformation? Servus, Roland


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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-13 02:37

\quoteon(2022-06-07 22:58 - rlk in Beitrag No. 26) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) \quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Die Gleichung $(2)$ ist richtig und es sind Rechtecke. Für die Zeichnung würde ich die Werte von $B$ und $f_T$ aus der Skizze im Themenstart übernehmen. Dort sieht man auch, dass $f_T > B/2$ gelten muss, damit die Teilspektren bei $-f_T \pm B/2$ und $+f_T \pm B/2$ nicht überlappen. \quoteoff Hab jetzt lange darüber nachgedacht was du meinst und das scheinen die Unstetigkeitsstellen aus der Zeichnung, bei $f = -f_T \pm B/2$ und bei $f = f_T \pm B/2$, zu sein. Den Teil mit der Überlappung verstehe ich jedoch nicht. Wie überlappt denn bei $S_1(f)$ etwas? \quoteoff sieh' Dir das Spektrum $S(f)$ des Eingangssignals an: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Spektrum_S_f_.png Es besteht genau dann aus zwei nichtüberlappenden Rechtecken, wenn die Bedingung $$f_T > B/2$$ erfüllt ist. Mit einer Skizze kannst Du die Spektren $S(f)$ und $S_1(f)$ für den Fall $f_T < B/2$ ermitteln und feststellen, was dann passiert. \quoteoff Ich habe da jetzt nochmal was überlegt und bin für $S_1(f)$ mit den zwei möglichen Trägern aus Teilaufgabe 3, wie im nachfolgenden Bild vorgegangen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Skizze_3_31.png Das was du meinst, also das aus dem Themenstart $S(f)$, ist doch für die Skizze, aus der Teilaufgabe nicht verlangt oder war das nur ein Beispiel? Das irritiert mich, warum wir wieder an den Anfang gehen, obwohl im Bild und auch aus der Rechnung, die Bandpass-Filter bei $\pm 2f_T$ liegen. Würde man aus dem dem Themenstart, anhand der Rechnung der Rechtecke das auch sehen? Wäre nach Nyquist auch $f_T \geq B/2$ richtig? Mit dem im Bild dargestellten $*$ kann man die Ungleichung für $f_T$ bestimmen. Weiter unten gehe ich dann auf dieses ein. \quoteon Eine andere Möglichkeit ist, sich in Erinnerung zu rufen, warum man das Basisbandsignal auf einen Träger moduliert: es soll über einen Kanal übertragen werden, der niedrige Frequenzen nicht durchlässt. \quoteon(2022-06-07 22:58 - rlk in Beitrag No. 26) \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) \quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Wenn Du $S_2(f)=S_1(f)\cdot H_{TP}(f)$ mit $S_1(f)$ aus $(2)$ berechnest, wirst Deu sehen, dass Du richtig getippt hast. \quoteoff Aus der Multiplikation war das direkt ersichtlich, nur habe ich das nicht direkt gesehen. Aus $$S_2(f) = S_1(f) \cdot H_{TP}(f)$$ $${1\over 2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\left[2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+ 2f_T\over B}\right)\right]$$ $$S_2(f) = {1\over 2}\cdot 2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right)$$ \quoteoff Hier setzt Du voraus, dass die untere Grenzfrequenz $2f_T -\frac{B}{2}$ des Terms $\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)$ größer als die obere Grenzfrequenz $\frac{B}{2}$ von Basisbandsignal und Tiefpassfilter ist. Welche Ungleichung folgt daraus für die Trägerfrequenz $f_T$? \quoteoff \quoteoff $*$ aus dem Bild $$2f_T - B/2 > B/2$$ Für die Trägerfrequenz gilt dann $$f_T > B/2$$ Komisch, dass genau das selbe wie im Themenstart herauskommt. Liegt wohl an dem TP im Ursprung. Dann wären $f_T > B/2$ die charakteristischen Werte oder? Ist die Skizze von oben dann soweit richtig? \quoteon(2022-06-07 22:58 - rlk in Beitrag No. 26) \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) Und das dann Fourier-Rücktransformiert ergibt dann das Basisbandsignal $s_{Basis}(t) = B\cdot\operatorname{si}(\pi B t)$ \quoteoff Das sieht gut aus. Welche Konvention verwedent ihr für die Fourier(rück)transformation? \quoteoff \quoteoff Als Konvention für die Transformation benutzen wir Punkte aber in Latex geht das hier glaube ich nicht, dafür müsste man ein Paket installieren oder?


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  Beitrag No.28, eingetragen 2022-06-15 08:08

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-06-13 02:37 - Sinnfrei in Beitrag No. 27) Ich habe da jetzt nochmal was überlegt und bin für $S_1(f)$ mit den zwei möglichen Trägern aus Teilaufgabe 3, wie im nachfolgenden Bild vorgegangen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Skizze_3_31.png Das was du meinst, also das aus dem Themenstart $S(f)$, ist doch für die Skizze, aus der Teilaufgabe nicht verlangt oder war das nur ein Beispiel? Das irritiert mich, warum wir wieder an den Anfang gehen, obwohl im Bild und auch aus der Rechnung, die Bandpass-Filter bei $\pm 2f_T$ liegen. Würde man aus dem dem Themenstart, anhand der Rechnung der Rechtecke das auch sehen? Wäre nach Nyquist auch $f_T \geq B/2$ richtig? \quoteoff meine Frage ist ein Hinweis auf die implizite Annahme, dass die Teilspektren von $S(f)$ einander nicht überlappen. Deien Überlegungen zeigen, dass dieselbe Bedingung für die Nichtüberlappung bei $S(f)$ und $S_1(f)$ gilt. Mit der Nyquist-Bedingung hat das nur indirekt zu tun, dort geht es um den Zusammenhang zwischen der Bandbreite eines Übertragungskanals und der maximalen Schrittgeschwindigkeit (Symbolrate), bei der noch keine Intersymbolinterferenz auftritt. \quoteon(2022-06-13 02:37 - Sinnfrei in Beitrag No. 27) Mit dem im Bild dargestellten $*$ kann man die Ungleichung für $f_T$ bestimmen. Weiter unten gehe ich dann auf dieses ein. \quoteon Eine andere Möglichkeit ist, sich in Erinnerung zu rufen, warum man das Basisbandsignal auf einen Träger moduliert: es soll über einen Kanal übertragen werden, der niedrige Frequenzen nicht durchlässt. \quoteon(2022-06-07 22:58 - rlk in Beitrag No. 26) \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) \quoteon(2022-06-03 18:16 - rlk in Beitrag No. 24) Wenn Du $S_2(f)=S_1(f)\cdot H_{TP}(f)$ mit $S_1(f)$ aus $(2)$ berechnest, wirst Deu sehen, dass Du richtig getippt hast. \quoteoff Aus der Multiplikation war das direkt ersichtlich, nur habe ich das nicht direkt gesehen. Aus $$S_2(f) = S_1(f) \cdot H_{TP}(f)$$ $${1\over 2}\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)\left[2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right) + \operatorname{rect}\left({f+ 2f_T\over B}\right)\right]$$ $$S_2(f) = {1\over 2}\cdot 2\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) = \operatorname{rect}\left({f\over B}\right)$$ \quoteoff Hier setzt Du voraus, dass die untere Grenzfrequenz $2f_T -\frac{B}{2}$ des Terms $\operatorname{rect}\left({f-2f_T\over B}\right)$ größer als die obere Grenzfrequenz $\frac{B}{2}$ von Basisbandsignal und Tiefpassfilter ist. Welche Ungleichung folgt daraus für die Trägerfrequenz $f_T$? \quoteoff \quoteoff $*$ aus dem Bild $$2f_T - B/2 > B/2$$ Für die Trägerfrequenz gilt dann $$f_T > B/2$$ Komisch, dass genau das selbe wie im Themenstart herauskommt. Liegt wohl an dem TP im Ursprung. Dann wären $f_T > B/2$ die charakteristischen Werte oder? Ist die Skizze von oben dann soweit richtig? \quoteoff Es ist kein Zufall, dass in beiden Fällen dieselbe Bedingung herauskommt. Deine Skizze ist nur für den Träger $s_\mathrm{T2}(t)$ richtig. Mit dem Tiefpass, an dessen Eingang das Spektrum $S_1(f)$ anliegt, hat das nichts zu tun. \quoteon \quoteon(2022-06-07 22:58 - rlk in Beitrag No. 26) \quoteon(2022-06-04 01:49 - Sinnfrei in Beitrag No. 25) Und das dann Fourier-Rücktransformiert ergibt dann das Basisbandsignal $s_{Basis}(t) = B\cdot\operatorname{si}(\pi B t)$ \quoteoff Das sieht gut aus. Welche Konvention verwendet ihr für die Fourier(rück)transformation? \quoteoff Als Konvention für die Transformation benutzen wir Punkte aber in Latex geht das hier glaube ich nicht, dafür müsste man ein Paket installieren oder? \quoteoff Meinst Du ein Korrespondenzsymbol wie hier $g(t) \circ\!\!-\!\!\bullet G(f)$? Mit der Konvention wollte ich wissen, wie ihr die Faktoren zwischen Fourier-Hin- und -Rücktransformation aufteilt. Mit $$G(f) = \mathcal{F} g(t) = \int_{-\infty}^\infty g(t) \exp(-2\pi j f t)\,\dd t$$ und $$g(t) = \mathcal{F}^{-1} G(f) = \int_{-\infty}^\infty G(f) \exp(2\pi j f t)\,\dd f$$ also [1, (15), (16)] mit $a=0$ und $b=-2\pi$ erhalte ich dasselbe Ergebnis für $s_\mathrm{Basis}(t)$ wie Du in Beitrag No. 25. [1] Weisstein, Eric W. "Fourier Transform." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html Servus, Roland


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\quoteon(2022-06-15 08:08 - rlk in Beitrag No. 28) Es ist kein Zufall, dass in beiden Fällen dieselbe Bedingung herauskommt. Deine Skizze ist nur für den Träger $s_\mathrm{T2}(t)$ richtig. Mit dem Tiefpass, an dessen Eingang das Spektrum $S_1(f)$ anliegt, hat das nichts zu tun. \quoteoff Ich dachte, man soll alles in ein Diagramm skizzieren. Dann habe ich noch folgendes im Angebot. Zuerst für $s_{T2}$ und dann für $s_{T1}$ https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Skizze_3new.png https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Skizze3_2new.png


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  Beitrag No.30, eingetragen 2022-06-15 19:19

Hallo Sinnfrei, ja, so sind die beiden Spektren besser erkennbar als in Beitrag No. 27. Der Maßstab der Ordinate stimmt nicht ganz, das Rechteck bei $-\frac{B}{2} < f < \frac{B}{2}$ hat die Höhe 2, die anderen die Höhe 1 bzw. -1. Servus, Roland


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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-15 19:44

\quoteon(2022-06-15 19:19 - rlk in Beitrag No. 30) Der Maßstab der Ordinate stimmt nicht ganz, das Rechteck bei $-\frac{B}{2} < f < \frac{B}{2}$ hat die Höhe 2, die anderen die Höhe 1 bzw. -1. \quoteoff Hast du auch die Vorfaktoren ${1\over 2}$, sowie ${j\over 2}$ aus meiner Berechnung zu $S_1(f)$ im Beitrag No. 23 mitberücksichtigt?


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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-06-15 23:28

Hallo Sinnfrei, nein, die habe ich übersehen, Deine Skizzen sind richtig. Sorry! Servus, Roland


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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16 00:07

Die 5 liest sich so, als wäre sie ähnlich zur 4, ausser bei dem Teil mit Berechnen Sie das Zeitsignal $s_2(t)$. Ist das hier nicht das Basisbandsignal $s_{Basis}(t)$ aus Aufgabe 4? Die Fourier-Rücktransformierte wäre dann ja mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes der $\operatorname{rect}\left({f\over B}\right)$, also wenn man ausblenden würde, dass man es nicht ehh schon hat. Charakteristische Werte wären ja dann $\operatorname{rect}\left({f\over B}\right) = \begin{cases} 1 & |f| < B/2 \\ 1/2 & |f| = B/2 \\ 0 & \text{sonst} \\ \end{cases}$, Ist das korrekt oder was ist mit der Teilaufgabe gemeint? Edit: An der Teilaufgabe 6 bin ich noch dran. Wenn jemand einen Tipp parat hat, würde ich mich freuen.


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  Beitrag No.34, eingetragen 2022-06-19 13:33

Hallo Sinnfrei, Deine Antwort zur Teilaufgabe 5 ist richtig. In der Formel solltest Du \text{sonst} schreiben, damit der Text richtig dargestellt wird. Zur Aufgabe 6 erinnere Dich an das Abtasttheorem. Servus, Roland


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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20 18:19

Das Abtasttheorem lautet doch $$f_A = {1\over T_A} \geq 2f_g$$ und mit $f_g = {B\over 2}$ folgt daraus $$f_A \geq B$$ Weiter komme ich nicht. Was soll mir hierbei das Abtasttheorem sagen? In einer ähnlichen Aufgabe kam dort folgendes heraus Tiefpass mit $f_g$: $${B\over 2} < f_g < {3\over 2}B$$ Die Lösung verstehe ich nicht. Wie ist man darauf gekommen?


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  Beitrag No.36, eingetragen 2022-06-20 22:49

Hallo Sinnfrei, das ist eine sehr verkürzte Form des Abtasttheorems, die nur eine untere Schranke für die Abtastrate $f_A$ angibt. Weiters verwendest Du $f_g$ für zwei verschiedene Größen: die Bandbreite des abgetasteten Signals $s_2(t)$ und die Grenzfrequenz des Filters $H_\mathrm{IP}$. Wie sieht das Spektrum $S_3(f)$ am Ausgang des Abtasters aus und was kannst Du daraus für die notwendigen Eigenschaften von $H_\mathrm{IP}(f)$ schließen? Servus, Roland


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  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21 01:06

Ich hab da mal was aufgezeichnet bin mir jedoch nicht sicher, ob das richtig ist. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-06-21_010430.png


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  Beitrag No.38, eingetragen 2022-06-21 07:18

Hallo Sinnfrei, Deine Skizze ist qualitativ richtig, aber wegen $f_A=2B$ ist die Periode 4 Kästchen, nicht 3. Das Filter $H_\mathrm{IP}$ soll das Basisbandsignal durchlassen und die anderen Frequenzanteile unterdrücken, wie groß müssen die obere Grenze $f_p$ des Durchlassbereichs und die untere Grenze $f_s$ des Sperrbereichs daher mindestens bzw. höchstens sein? Servus, Roland


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  Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21 13:20

\quoteon(2022-06-21 07:18 - rlk in Beitrag No. 38) Hallo Sinnfrei, Deine Skizze ist qualitativ richtig, aber wegen $f_A=2B$ ist die Periode 4 Kästchen, nicht 3. Das Filter $H_\mathrm{IP}$ soll das Basisbandsignal durchlassen und die anderen Frequenzanteile unterdrücken, wie groß müssen die obere Grenze $f_p$ des Durchlassbereichs und die untere Grenze $f_s$ des Sperrbereichs daher mindestens bzw. höchstens sein? Servus, Roland \quoteoff Jetzt sagst du, dass das $H_\mathrm{IP}$ Filter, nur das Basisbandsignal durchlassen soll. Dann würde ich doch wieder bei dem Rechteck aus dem, welches im Ursprung liegt, herauskommen. Weiter weiss ich nicht, was mir der Sperrbereich sagen soll. Hier nochmal die Skizze https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-06-21_131305.png Mit $f_a = 2B$ wäre der Bereich zwischen obere Grenze $B/2$ und untere Kante, des periodisch forgeführten Signals $f_a - B/2$ der Sperrbereich $$B/2 < f_s < f_a - B/2 = 2B - B/2 = 3/2B$$ und der Durchlassbereich für $f_p$ wäre zwischen $$f_a-B/2 < f_p < f_a + B/2$$ $$3/2B < f_p < 5/2B$$ Was die obere Grenze des Durchlassbereichs und die untere Grenze des Sperrbereichs damit zu tun haben, verstehe ich nicht.


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