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 Bundeswettbewerb Mathematik 2022, 1.Runde |
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LH1783nx
Neu 
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Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-03-14
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Guten Abend,
seit dem Einsendeschluss zum diesjährigen Bundeswettbewerb Mathematik sind inzwischen punktgenau eine Woche vergangen, weshalb es nun sicherlich angemessen ist, mit der Diskussion der Aufgaben zu beginnen.
Die Aufgaben:
https://www.mathe-wettbewerbe.de/../Aufgaben_und_Loesungen_BWM/aufgaben_22_1.pdf
Es war dieses Jahr meine erste Teilnahme an solch einem Wettbewerb, und die Aufgaben 1-3 fand ich sehr gut machbar, die 4 war dann aber doch nicht ganz ohne, vor allem da man im Schulsystem nicht zwingend mit anderen Stellenwertsystemen konfrontiert wird.
Wie kamt ihr mit den Aufgaben zurecht?
VG
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Tetris
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Dabei seit: 28.08.2006
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-14
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Ein herzliches Willkommen auf dem Matheplaneten! :-)
\quoteon(2022-03-14 21:52 - LH1783nx im Themenstart)
...vor allem da man im Schulsystem nicht zwingend mit anderen Stellenwertsystemen konfrontiert wird.
\quoteoff
Das mag zwar so sein, entspricht aber ganz und gar nicht meiner Erfahrung (die natürlich keinem vollständigen Bild der Schulmathematik entspricht!).
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Nuramon
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Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-03-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
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\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo LH1783nx,
die vierte Aufgabe ist im BWM eigentlich immer etwas schwieriger als die anderen. Die erste ist dafür in der Regel die einfachste.
Dass Stellenwertsysteme zu anderen Basen als 10 einem im Unterricht nicht ständig über den Weg laufen ist zu erwarten. Meiner Meinung besteht der Reiz des BWMs gerade darin, dass man die Aufgaben zwar mit Schulwissen lösen kann, aber eben nur, wenn man ein gewisses Maß an Kreativität mitbringt.
So hätte ich Aufgabe 4 gelöst:
\showon
Für eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sei $\nu_3(n)\in \IN$ so definiert, dass $n$ durch $3^{\nu_3(n)}$ aber nicht durch $3^{\nu_3(n)+1}$ teilbar ist.
Dann gilt $a_n = \frac n{3^{\nu_3(n)}}$.
Außerdem sei $t(n,m)$ für $n,m\in \IN$ definiert als die Summe
$$ t(n,m):= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\\nu_3(k) = m}} a_k.$$
Insbesondere gilt dann $t(n,m)=0$, falls $3^m > n$ und es ist
$$ s_n = t(n,0) + t(n,1) + t(n,2) + \ldots + t(n,M),$$
wobei $M$ die größte natürliche Zahl sei, für die $3^M\leq n$ gilt.
Für $n\in \IN$ sei $q(n):= 1 + 2 + \ldots +n = \frac{n(n+1)}2$.
Dann ist ($a\mid b$ bedeutet $a$ ist ein Teiler von $b$):
$$ \begin{align*}
t(n,m) &= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\\nu_3(k) = m}} a_k\\
&= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\\nu_3(k) = m}} \frac k{3^m}\\
&= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\ 3^m \mid k}} \frac k{3^m} -\sum_{\substack{1\leq k \leq n\\ 3^{m+1} \mid k}} \frac k{3^m}\\
&= \sum_{1\leq 3^m\ell \leq n} \frac {3^m\ell}{3^m} - \sum_{1\leq 3^{m+1}\ell \leq n} \frac {3^{m+1}\ell}{3^m}\\
&= \sum_{\ell = 1}^{\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor} \ell - \sum_{\ell = 1}^{\left\lfloor \frac n{3^{m+1}}\right\rfloor} 3\ell\\
&= q\left(\left\lfloor \frac n{3^{m}}\right\rfloor\right) - 3 q\left(\left\lfloor \frac n{3^{m+1}}\right\rfloor\right).
\end{align*}$$
(a) Es sei jetzt $n = b_0+3b_1+ 3^2b_2+\ldots + 3^Mb_M$ die Darstellung von $n$ im Dreiersystem, d.h. $0\leq b_m\leq 2$ für $m=0,\ldots, M$.
Dann gilt
$$ \left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor = b_m + 3b_{m+1}+\ldots + 3^{M-m}b_M \equiv b_m \pmod 3$$
und somit auch
$$ q(\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor) = \frac{\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor\left(\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor)+1\right)}2 \equiv \frac{b_m(b_m+1)}2 \equiv q(b_m) \pmod 3.$$
Es folgt
$$ t(n,m) \equiv q(b_m)-3q(b_{m+1}) \equiv q(b_m) \equiv \begin{cases} 1, &\text{falls }b_m=1\\ 0, &\text{sonst}\end{cases} \pmod 3.$$
Damit ist
$$ s_n = t(n,0)+t(n,1) +\ldots + t(n,M) \equiv |\{m\in \IN \mid m\leq M \land b_m = 1\}|\pmod 3.$$
Insbesondere ist $s_n$ genau dann durch $3$ teilbar, wenn die Anzahl der Einsen in der Dreierdarstellung von $n$ durch $3$ teilbar ist.
(b) Es seien
$$\begin{align*}
n &= b_0 + 27b_1 + 27^2 b_2+\ldots + 27^M b_M\\
3n &= c_0 + 27 c_1 + 27^2 c_2 +\ldots +27^M c_M\\
9n &= d_0 + 27 d_1 + 27^2 d_2 +\ldots + 27^M d_M
\end{align*}$$
Darstellungen von $n, 3n, 9n$ im Stellenwertsystem zur Basis $27$ (indem wir führende Nullen erlauben, können wir annehmen, dass alle drei Darstellungen die gleiche Länge haben).
Dann gilt
$$\begin{align*}
\floor{\frac n{3^{3m}}} &\equiv b_m \pmod {27},\\
\floor{\frac n{3^{3m+1}}} &= \floor{\frac {9n}{3^{3(m+1)}}} \equiv d_{m+1}\pmod {27},\\
\floor{\frac n{3^{3m+2}}} &= \floor{\frac {3n}{3^{3(m+1)}}} \equiv c_{m+1} \pmod{27}.
\end{align*}$$
Ähnlich wie in (a) folgt
$$ \begin{align*}
s_n &= \sum_{m\geq 0} t(n,m)\\
&= \sum_{m\geq 0} t(n, 3m) + t(n,3m+1)+ t(n,3m+2)\\
&\equiv \sum_{m\geq 0} (q(b_m) - 3 q(d_{m+1}) + (q(d_{m+1}) - 3 q(c_{m+1}) + (q(c_{m+1} - 3 q(b_{m+1}))) \pmod{27}\\
&\equiv q(b_0) - 2 (\sum_{m=1}^M q(b_m) + \sum_{m=1}^M q(c_m) + \sum_{m=1}^M q(d_m)) \pmod{27}.
\end{align*}$$
Wenn wir $n:= 27^k ( 1 + 27^1 + 27^2 +\ldots + 27^{26})$ mit $k\geq 1$ wählen, dann ist $b_0=c_0=d_0=0$ und in der $27$-adischen Darstellung hat $n$ genau $27$ mal die Ziffer $1$, $3n$ genau $27$ mal die Ziffer $3$ und $9n$ genau $27$ mal die Ziffer $9$. Alle anderen Ziffern sind $0$.
Für solche $n$ gilt also
$s_n \equiv q(0)-2( 27 q(1) + 27 q(3) + 27q(9)) \equiv 0 \pmod {27},$
womit gezeigt ist, dass es unendlich viele $n$ gibt, für die $s_n$ durch $27$ teilbar ist.
\showoff
\(\endgroup\)
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LH1783nx
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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\quoteon(2022-03-14 23:25 - Tetris in Beitrag No. 1)
Ein herzliches Willkommen auf dem Matheplaneten! :-)
\quoteon(2022-03-14 21:52 - LH1783nx im Themenstart)
...vor allem da man im Schulsystem nicht zwingend mit anderen Stellenwertsystemen konfrontiert wird.
\quoteoff
Das mag zwar so sein, entspricht aber ganz und gar nicht meiner Erfahrung (die natürlich keinem vollständigen Bild der Schulmathematik entspricht!).
\quoteoff
Danke sehr :)!
Ich bin in der 11ten an einem Gymnasium in Bayern und tatsächlich sind mir andere Stellenwertsysteme bisher noch nicht über den Weg gelaufen, was ich persönlich schade finde, da zumindest das Dualsystem nicht uninteressant ist.
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LH1783nx
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-15
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\quoteon(2022-03-15 17:06 - Nuramon in Beitrag No. 2)
Hallo LH1783nx,
die vierte Aufgabe ist im BWM eigentlich immer etwas schwieriger als die anderen. Die erste ist dafür in der Regel die einfachste.
Dass Stellenwertsysteme zu anderen Basen als 10 einem im Unterricht nicht ständig über den Weg laufen ist zu erwarten. Meiner Meinung besteht der Reiz des BWMs gerade darin, dass man die Aufgaben zwar mit Schulwissen lösen kann, aber eben nur, wenn man ein gewisses Maß an Kreativität mitbringt.
So hätte ich Aufgabe 4 gelöst:
\showon
Für eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sei $\nu_3(n)\in \IN$ so definiert, dass $n$ durch $3^{\nu_3(n)}$ aber nicht durch $3^{\nu_3(n)+1}$ teilbar ist.
Dann gilt $a_n = \frac n{3^{\nu_3(n)}}$.
Außerdem sei $t(n,m)$ für $n,m\in \IN$ definiert als die Summe
$$ t(n,m):= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\\nu_3(k) = m}} a_k.$$
Insbesondere gilt dann $t(n,m)=0$, falls $3^m > n$ und es ist
$$ s_n = t(n,0) + t(n,1) + t(n,2) + \ldots + t(n,M),$$
wobei $M$ die größte natürliche Zahl sei, für die $3^M\leq n$ gilt.
Für $n\in \IN$ sei $q(n):= 1 + 2 + \ldots +n = \frac{n(n+1)}2$.
Dann ist ($a\mid b$ bedeutet $a$ ist ein Teiler von $b$):
$$ \begin{align*}
t(n,m) &= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\\nu_3(k) = m}} a_k\\
&= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\\nu_3(k) = m}} \frac k{3^m}\\
&= \sum_{\substack{1\leq k \leq n\\ 3^m \mid k}} \frac k{3^m} -\sum_{\substack{1\leq k \leq n\\ 3^{m+1} \mid k}} \frac k{3^m}\\
&= \sum_{1\leq 3^m\ell \leq n} \frac {3^m\ell}{3^m} - \sum_{1\leq 3^{m+1}\ell \leq n} \frac {3^{m+1}\ell}{3^m}\\
&= \sum_{\ell = 1}^{\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor} \ell - \sum_{\ell = 1}^{\left\lfloor \frac n{3^{m+1}}\right\rfloor} 3\ell\\
&= q\left(\left\lfloor \frac n{3^{m}}\right\rfloor\right) - 3 q\left(\left\lfloor \frac n{3^{m+1}}\right\rfloor\right).
\end{align*}$$
(a) Es sei jetzt $n = b_0+3b_1+ 3^2b_2+\ldots + 3^Mb_M$ die Darstellung von $n$ im Dreiersystem, d.h. $0\leq b_m\leq 2$ für $m=0,\ldots, M$.
Dann gilt
$$ \left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor = b_m + 3b_{m+1}+\ldots + 3^{M-m}b_M \equiv b_m \pmod 3$$
und somit auch
$$ q(\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor) = \frac{\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor\left(\left\lfloor \frac n{3^m}\right\rfloor)+1\right)}2 \equiv \frac{b_m(b_m+1)}2 \equiv q(b_m) \pmod 3.$$
Es folgt
$$ t(n,m) \equiv q(b_m)-3q(b_{m+1}) \equiv q(b_m) \equiv \begin{cases} 1, &\text{falls }b_m=1\\ 0, &\text{sonst}\end{cases} \pmod 3.$$
Damit ist
$$ s_n = t(n,0)+t(n,1) +\ldots + t(n,M) \equiv |\{m\in \IN \mid m\leq M \land b_m = 1\}|\pmod 3.$$
Insbesondere ist $s_n$ genau dann durch $3$ teilbar, wenn die Anzahl der Einsen in der Dreierdarstellung von $n$ durch $3$ teilbar ist.
(b) Es seien
$$\begin{align*}
n &= b_0 + 27b_1 + 27^2 b_2+\ldots + 27^M b_M\\
3n &= c_0 + 27 c_1 + 27^2 c_2 +\ldots +27^M c_M\\
9n &= d_1 + 27 d_1 + 27^2 d_2 +\ldots + 27^M d_M
\end{align*}$$
Darstellungen von $n, 3n, 9n$ im Stellenwertsystem zur Basis $27$ (indem wir führende Nullen erlauben, können wir annehmen, dass alle drei Darstellungen die gleiche Länge haben).
Dann gilt
$$\begin{align*}
\floor{\frac n{3^{3m}}} &\equiv b_m \pmod {27},\\
\floor{\frac n{3^{3m+1}}} &= \floor{\frac {9n}{3^{3(m+1)}}} \equiv d_{m+1}\pmod {27},\\
\floor{\frac n{3^{3m+2}}} &= \floor{\frac {3n}{3^{3(m+1)}}} \equiv c_{m+1} \pmod{27}.
\end{align*}$$
Ähnlich wie in (a) folgt
$$ \begin{align*}
s_n &= \sum_{m\geq 0} t(n,m)\\
&= \sum_{m\geq 0} t(n, 3m) + t(n,3m+1)+ t(n,3m+2)\\
&\equiv \sum_{m\geq 0} (q(b_m) - 3 q(d_{m+1}) + (q(d_{m+1}) - 3 q(c_{m+1}) + (q(c_{m+1} - 3 q(b_{m+1}))) \pmod{27}\\
&\equiv q(b_0) - 2 (\sum_{m=1}^M q(b_m) + \sum_{m=1}^M q(c_m) + \sum_{m=1}^M q(d_m)) \pmod{27}.
\end{align*}$$
Wenn wir $n:= 27^k ( 1 + 27^1 + 27^2 +\ldots + 27^{26})$ mit $k\geq 1$ wählen, dann ist $b_0=c_0=d_0=0$ und in der $27$-adischen Darstellung hat $n$ genau $27$ mal die Ziffer $1$, $3n$ genau $27$ mal die Ziffer $3$ und $9n$ genau $27$ mal die Ziffer $9$. Alle anderen Ziffern sind $0$.
Für solche $n$ gilt also
$s_n \equiv q(0)-2( 27 q(1) + 27 q(3) + 27q(9)) \equiv 0 \pmod {27},$
womit gezeigt ist, dass es unendlich viele $n$ gibt, für die $s_n$ durch $27$ teilbar ist.
\showoff
\quoteoff
Sehr schöne Lösung!
Persönlich muss ich sagen, dass ich mir teils bei der Darstellung der Lösungen ein wenig unsicher war, da schließlich die Begründungen nicht zu ausschweifenden, aber trotzdem gut nachvollziehbar sein müssen und der Mittelweg nicht einfach zu finden ist.
Mal schauen, ob das schlussendlich geklappt hat xD.
Bei Aufgabe 3 habe ich über den Winkelhalbierendensatz im Dreieck und den Strahlensätzen argumentiert.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55451_Bild1-min.png
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robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-17
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Hallo LH1783nx,
ich habe eben mal über Aufgabe 3 geschaut: Reicht nicht ausschließlich der Sehnen-Tangenten-Winkelsatz?
Ich bezeichne in deiner Skizze den zusätzlichen Schnittpunkt von AP mit k als M. Dann gilt nach besagtem Satz für die Winkel:
PQM=PBQ
BQP=QMP
Demzufolge stimmen die Dreiecke BPQ und PMQ in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich, sodass auch die Winkel QPB und MPQ=APQ gleich sind, wzbw.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-03-18
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\quoteon(2022-03-15 21:58 - LH1783nx in Beitrag No. 4)
Persönlich muss ich sagen, dass ich mir teils bei der Darstellung der Lösungen ein wenig unsicher war, da schließlich die Begründungen nicht zu ausschweifenden, aber trotzdem gut nachvollziehbar sein müssen und der Mittelweg nicht einfach zu finden ist.
\quoteoff
Du darfst durchaus so viel schreiben, wie du möchtest. Das Wichtige ist, dass du ein korrektes Argument aufschreibst und keine Details vergisst. Dass wegen schlechter äußerer Form kein owB gegeben wird, passiert nur sehr selten, dafür musst du schon ordentlich geschlampt haben.
D.h. zur Not immer mehr als wenig schreiben.
Zu den Aufgaben: Ich hab sie mir dieses Jahr nicht wirklich angeschaut, aber als ich einen Blick auf die Aufgaben geworfen habe, fiel A1 mir sofort als eine der leichtesten BWM Aufgaben auf, die ich je gesehen habe.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-03-18
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\quoteon(2022-03-18 09:08 - Kezer in Beitrag No. 6)
Ich hab sie mir dieses Jahr nicht wirklich angeschaut, aber als ich einen Blick auf die Aufgaben geworfen habe, fiel A1 mir sofort als eine der leichtesten BWM Aufgaben auf, die ich je gesehen habe.
\quoteoff
Weil ich im ersten Augenblick nicht richtig hingesehen hatte, hatte ich "vier Eichhörnchen" gelesen. Das ist noch einfacher.
Viele Grüße
Wally
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Leo123
Junior
Dabei seit: 13.07.2022
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-11
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Das Kolloquium 2022 müsste ja nun schon rum sein. Gibt es schon eine Liste der neuen Bundessieger? Ist jemand von euch darunter?
LG Leo
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