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Funktionentheorie » Holomorphie » Darstellung der partiellen Zeitableitung logarithmischer Koeffizienten
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Universität/Hochschule J Darstellung der partiellen Zeitableitung logarithmischer Koeffizienten
nzimme10
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  Themenstart: 2022-03-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander. Es sei $\mathbb D:=B_1(0)\subseteq \mathbb C$ und $\mathcal S$ bezeichne alle Abbildungen $f\colon \mathbb D\to \mathbb C$, die holomorph und injektiv sind und den Normalisierungen $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ genügen. Es ist ein Satz von C. Löwner der besagt, dass es für jedes $f\in \mathcal S$ eine Löwner-Kette $(f_t\colon \mathbb D\to \mathbb C)_{t\geq 0}$ gibt. Das bedeutet für meine Frage: 1. $f_0=f$ 2. $f(z,t)=\e^t z+\sum_{k=2}^\infty a_k(t)z^k, \quad a_k(t)\in \mathbb C, z\in \mathbb D, t\geq 0$, 3. $\log\left(\frac{f(z,t)}{\e^t z}\right)=\sum_{k=1}^\infty c_k(t)z^k$, und $c_k(\infty)=2/k$, 4. $\operatorname{Re}\left(\frac{\dot{f}(z,t)}{zf'(z,t)}\right)>0$ für alle $z\in \mathbb D$. Dabei schreibe ich $f(z,t)=f_t(z)$ und $'$ und $\dot{}$ bezeichnen die partiellen Ableitungen nach $z$ respektive $t$. In einem Beweis der Bieberbachschen Vermutung verwendet L. Weinstein eine spezielle Darstellung der partiellen Ableitungen der logarithmischen Koeffizienten $c_k(t)$, welche ich nicht wirklich nachvollziehen kann. Zunächst hat man nach der Cauchy-Integralformel ($0\(\endgroup\)


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