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Analysis » Maßtheorie » Borelmengen
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Universität/Hochschule J Borelmengen
Pathfinder
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  Themenstart: 2022-03-16

Hallo, hier mal eine Frage zur Borellschen Sigma Algebra. Hier erstmal die Definition von der Borellschen Sigma Algebra: Sei \(\Im(\mathbb{R}^{n})\subseteq P(\mathbb{R}^{n})\) die Teilmenge aller offenen Mengen von \(\mathbb{R}^n\). \(\sigma(\Im(\mathbb{R}^{n}))\) ist dann die von \(\Im(\mathbb{R}^{n})\) erzeugte Sigma Algebra, also die Borellsche Sigma Algebra (ich hoffe ich habe soweit nichts vergessen). Für \(\sigma(\Im(\mathbb{R}^{n}))\) gilt dann: \(\sigma(\mathfrak{\Im}(\mathbb{R}^{n})):=\cap\{\mathfrak{\mathfrak{A\subseteq}\mathrm{P(X)|{\textstyle \mathfrak{A}ist}\sigma-Algebra}}und \Im(\mathbb{R}^{n})\subseteq\mathfrak{A}\}\) Dass diese Sigma Algebra alle offenen Teilmengen von R^n enthält verstehe ich noch, jedoch verstehe ich nicht, wie aus dieser Definition hervor geht, dass auch alle abgeschlossenen Mengen von R^n in dieser Sigma Algebra enthalten sind...

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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Was ist eine halboffene Menge? Benutze die Definition einer $\sigma$-Algebra. (Wie definiert man abgeschlossene Mengen?)\(\endgroup\)

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Pathfinder
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-16

\quoteon(2022-03-16 15:11 - Kezer in Beitrag No. 1) Was ist eine halboffene Menge? Benutze die Definition einer $\sigma$-Algebra. (Wie definiert man abgeschlossene Mengen?) \quoteoff Habs gerade korrigiert. Ahh okay. Da die offenen Mengen von R^n in der Sigma Algebra enthalten sind müssen auch deren Komplement in der Sigma Algebra liegen. Im Falle von R ist das Komplement einer offenen Menge (a,b): (-∞,a]u[b,∞) Und beide Mengen sind in dem Fall weder abgeschlossen noch offen. Dementsprechend kann man dann auch abgeschlossene Mengen konstruieren.

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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) \quoteon(2022-03-16 15:08 - Pathfinder im Themenstart) [...], wie aus dieser Definition hervor geht, dass auch alle abgeschlossenen Mengen und nicht abgeschlossenen nicht offenen Mengen von R^n in dieser Sigma Algebra enthalten sind... \quoteoff So wie es sich jetzt liest, sind laut dir alle Teilmengen von $\R^n$ Borel-Mengen. \quoteon(2022-03-16 16:43 - Pathfinder in Beitrag No. 2) Da die offenen Mengen von R^n in der Sigma Algebra enthalten sind müssen auch deren Komplement in der Sigma Algebra liegen. \quoteoff Ja. Allerdings ist mir aus deinem Beitrag nicht klar, ob dir bewusst ist, dass abgeschlossene Mengen genau die Komplemente der offenen Mengen sind. (Deshalb mein Hinweis nach der Definition abgeschlossener Mengen.) \quoteon(2022-03-16 16:43 - Pathfinder in Beitrag No. 2) (-∞,a]u[b,∞) Und beide Mengen sind in dem Fall weder abgeschlossen noch offen. \quoteoff Diese Mengen sind (mit der euklidischen Topologie) sehr wohl abgeschlossen.\(\endgroup\)

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Pathfinder
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-16

\quoteon(2022-03-16 16:58 - Kezer in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-03-16 15:08 - Pathfinder im Themenstart) [...], wie aus dieser Definition hervor geht, dass auch alle abgeschlossenen Mengen und nicht abgeschlossenen nicht offenen Mengen von R^n in dieser Sigma Algebra enthalten sind... \quoteoff So wie es sich jetzt liest, sind laut dir alle Teilmengen von $\R^n$ Borel-Mengen. \quoteon(2022-03-16 16:43 - Pathfinder in Beitrag No. 2) Da die offenen Mengen von R^n in der Sigma Algebra enthalten sind müssen auch deren Komplement in der Sigma Algebra liegen. \quoteoff Ja. Allerdings ist mir aus deinem Beitrag nicht klar, ob dir bewusst ist, dass abgeschlossene Mengen genau die Komplemente der offenen Mengen sind. (Deshalb mein Hinweis nach der Definition abgeschlossener Mengen.) \quoteon(2022-03-16 16:43 - Pathfinder in Beitrag No. 2) (-∞,a]u[b,∞) Und beide Mengen sind in dem Fall weder abgeschlossen noch offen. \quoteoff Diese Mengen sind (mit der euklidischen Topologie) sehr wohl abgeschlossen. \quoteoff Oh ja stimmt, das Komplement von (-∞,a]u[b,∞) ist natürlich die offene Menge (a,b) und dadurch ist (-∞,a]u[b,∞) abgeschlossen. Aber natürlich ist (-∞,a]u[b,∞) nicht offen.

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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-16

\quoteon(2022-03-16 16:58 - Kezer in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-03-16 15:08 - Pathfinder im Themenstart) [...], wie aus dieser Definition hervor geht, dass auch alle abgeschlossenen Mengen und nicht abgeschlossenen nicht offenen Mengen von R^n in dieser Sigma Algebra enthalten sind... \quoteoff So wie es sich jetzt liest, sind laut dir alle Teilmengen von $\R^n$ Borel-Mengen. In der Borellschen Sigma Algebra sind alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen und alle kompakten Mengen dementsprechend dann enthalten.

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