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Funktionentheorie » Holomorphie » Spezielle Darstellung einer erzeugenden Funktion
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Universität/Hochschule J Spezielle Darstellung einer erzeugenden Funktion
nzimme10
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  Themenstart: 2022-03-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo miteinander, ich versuche momentan einige Details in L. Weinsteins Beweis der Milinschen Vermutung auszuarbeiten. Dazu gibt es auch einen Post auf MSE, der bislang aber leider auch unbeantwortet blieb. Eventuell sieht hier von euch ja jemand einen Fehler oder kann mir einen Hinweis geben. Setup: Es sei $\mathbb D=B_1(0)\subseteq \mathbb C$ und $\mathcal S$ bezeichne alle injektiven und holomorphen Funktionen $f\colon \mathbb D\to \mathbb C$ mit $f(0)=0$ und $f'(0)=1$. Für ein festes $f\in \mathcal S$ gibt es eine sog. Löwner-Kette $(f_t\colon \mathbb D\to \mathbb C)_{t\geq 0}$ injektiver und holomorpher Funktionen derart, dass 1. $f_0=f$ 2. $f(z,t)=\e^t z+\sum_{k=2}^\infty a_k(t)z^k, \quad a_k(t)\in \mathbb C, z\in \mathbb D, t\geq 0$, 3. $\log\left(\frac{f(z,t)}{\e^t z}\right)=\sum_{k=1}^\infty c_k(t)z^k$, und $c_k(\infty)=2/k$, 4. $\operatorname{Re}\left(\frac{\dot{f}(z,t)}{zf'(z,t)}\right)>0$ für alle $z\in \mathbb D$. Dabei schreibe ich $f(z,t)=f_t(z)$ und $'$ und $\dot{}$ bezeichnen die partiellen Ableitungen nach $z$ respektive $t$. Die Milinsche Vermutung lautet nun: Für alle $n\in \mathbb N$ gilt $$ \sum_{k=1}^n \left(\frac{4}{k}-k|c_k(0)|^2\right)(n-k+1)\geq 0. $$ Weinstein betrachtet in seinem Beweis nun die erzeugende Funktion dieser Milinschen Ausdrücke, i.e. $$ M(z):=\sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{k=1}^n \left(\frac{4}{k}-k|c_k(0)|^2\right)(n-k+1)\right)z^{n+1} $$ und versucht eine spezielle Darstellung dieser Funktion herzuleiten. Zunächst hat man die folgende Darstellung der Zeitableitungen der logarithmischen Koeffizienten der Löwner-Kette von $f$: $$ \dot c_k(t)=\lim_{r\to 1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} p(\zeta,t) \left(1+\sum_{j=1}^\infty jc_j(t)\zeta^j\right)\cdot \frac{1}{\zeta^k} \d\theta, $$ wobei wir $\zeta:=r\e^{\i\theta}$ für $r\in(0,1)$ und $$ p(\zeta,t):=\frac{\dot f(\zeta,t)}{\zeta f'(\zeta,t)} $$ setzen. Zuletzt sei für $z\in \mathbb D$ und $t\geq 0$ $$ w(z,t):=k^{-1}(\e^{-t}k(z)) $$ mit $k(z)=z/(1-z)^2$ die beschränkte Koebe Funktion. Für diese gilt $$ \dot w=-w\frac{1-w}{1+w}. $$ Nutzt man nun diese Darstellung der Zeitableitungen, eine Umordnung von $M$ und den Fundamentalsatz der Analysis, so erhält man \[ \begin{align*} M(z) &=\int_{0}^\infty -\frac{\e^t w}{(1-w)^2} \frac{\partial}{\partial t}\left[\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{4}{k}-k|c_k(t)|^2\right)w^k\right] \d t \\ &=\int_{0}^\infty \frac{\e^t w}{1-w^2}\frac{1+w}{1-w} \left(\sum_{k=1}^\infty k\frac{\partial}{\partial t}\left[c_k(t)\overline{c_k(t)}\right]w^k+\sum_{k=1}^\infty (4-k^2|c_k(t)|^2)w^k\frac{1-w}{1+w}\right) \d t \\ &=\int_{0}^\infty \frac{\e^t w}{1-w^2}\frac{1+w}{1-w} \left(\sum_{k=1}^\infty \left(\lim_{r\to 1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} p(\zeta,t) \left(1+\sum_{j=1}^\infty jc_j(t)\zeta^j\right)k\overline{c_k(t)\zeta^k} \d\theta \right.\right. \\ &\hspace{1cm}+\left.\lim_{r\to 1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \overline{p(\zeta,t)} \left(1+\sum_{j=1}^\infty j\overline{c_j(t)}\zeta^{-j}\right)\cdot kc_k(t)\zeta^k \d\theta\right)w^k \\ &\hspace{1cm}+\left.\sum_{k=1}^\infty (4-k^2|c_k(t)|^2)w^k\frac{1-w}{1+w}\right) \d t. \end{align*} \] An dieser Stelle hänge ich nun leider fest. Weinstein behauptet nun, dass man das als $$ M(z)=\int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^t w}{1-w^2}\sum_{k=1}^\infty A_k(t)w^k \ \mathrm dt $$ mit $$ A_k(t):=\lim_{r\to 1} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \operatorname{Re}(p(\zeta,t))\left|1+2\sum_{j=1}^k jc_j(t)\zeta^j-kc_k(t)\zeta^k\right|^2 \ \mathrm d\theta $$ schreiben kann. Sieht jemand einen Fehler in meiner bisherigen Rechnung oder hat jemand eine Idee oder einen Hinweis welche Umformung(en) man hier versuchen könnte um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen? Vielen Dank und liebe Grüße, Nico\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-19

Falls das mal jemanden interessieren sollte: In Funktionentheorie 2 von Remmert und Schumacher findet man eine entsprechende Erläuterung des Beweises von Weinstein. LG Nico


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nzimme10 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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