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Strukturen und Algebra » Ringe » Adjunktion von Elementen zu einem Ring
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Universität/Hochschule J Adjunktion von Elementen zu einem Ring
Student10023
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  Themenstart: 2022-03-19

Wir haben folgenden Satz/Bemerkung über die ich momentan nachdenke: Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und sei f(x) ein monisches Polynom in R, das keine Nullstelle hat. Dann ist $R' = R[x]/(f(x)) $ wieder ein Ring (das gilt sowieso immer) und f hat in R' eine Nullstelle, nämlich x (bzw. besser seine Äquivalenzklasse). Der Beweis ist klar, ich bin nur etwas verwirrt von folgender Überlegung: in R' gilt ja $f(x) = 0$ ist das Nullpolynom dementsprechend muss ja für alle $a \in R$ gelten $f(a) = 0 $ also hat f(x) sogar sehr viele Nullstellen in R' (und nicht nur x). Ich verstehe nicht, was an dem Gedankengang falsch ist, aber wenn ich mir Beispiele angucke merke ich, dass das nicht stimmen kann so gilt z.B $ C = R[x]/(f(x)) $ mit $f(x) = x^2 +1$, aber in C gilt ja nicht $x^2 +1 = 0 $ für alle x. Kann mir da jemand helfen ?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-19

Missverständnisse wie diese verhindert man mit einer Notation, die nichts unterschlägt, also auch Inklusionsabbildungen und Projektionsabbilldungen explizit hinschreibt. Alternativ könnte man hier die Variablen $x$ in $R'$ und $x$ in $R'[x]$ unterschiedlich benennen, was zwar das Problem auch löst, aber das eigentliche Missverständnis nicht beendet. Es sei $\sigma : R \to R'$ der natürliche Homomorphismus. Dieser induziert einen mit $(-)^{\sigma}$ notierten Homomorphismus $R[x] \to R'[x]$. Wir haben ebenfalls die Projektion $\pi : R[x] \to R'$ und das Bild $\pi(x) \in R'$. Die unpräzise Aussage "$f$ hat $x$ als Nullstelle in $R'$" meint eigentlich $f^{\sigma}(\pi(x))=0$ (eine Gleichung in $R'$), wobei wir hier also das Element $\pi(x) \in R'$ in $f^{\sigma} \in R'[x]$ einsetzen. Beachte, dass $\pi(x) \in R'$ etwas völlig anderes als die Unbestimmte $x \in R'[x]$ ist (und natürlich auch etwas anderes als die Unbestimmte $x \in R[x]$). Wir schreiben hier nicht $f^{\sigma}(x)=0$, weil das wäre ja äquivalent zu $f^{\sigma}=0$, was tatsächlich nicht stimmt. Beispiel: $\sigma : \IR \to \IR[x]/\langle x^2+1 \rangle \cong \IC$ mit $\pi(x)=i$. Dann gilt $i^2+1 = 0$ in $\IC$, aber nicht $x^2+1 = 0$ in $\IC[x]$.


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Student10023
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-19

ahh vielen Dank, jetzt habe ich das glaube ich verstanden !


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