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Funktionentheorie » Holomorphie » Finde eine Möbiustransformation mit den gegebenen Eigenschaften.
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Universität/Hochschule J Finde eine Möbiustransformation mit den gegebenen Eigenschaften.
Strandkorb
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  Themenstart: 2022-03-20

Ich habe folgendes Problem. Ich muss eine Möbiustransformation $T$ finden so dass $T(0)=0$ und $T(\{Re(w)<1\})=\{|w|<1\}$. Ich weiss dass $T$ folgende Form hat $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ Da nun $T(0)=0$ folgt dass $b=0$ sein muss. Daher haben wir noch $$T(z)=\frac{az}{cz+d}$$. Nun muss ich noch die Eigenschaft benutzen dass die Menge aller Punkte mit Realteil kleiner als 1 in den Einheitskreis abgebildet wird. Jedoch sehe ich da nicht ganz wie ich vorgehen muss. Hat da jemand einen Tipp? Vielen Dank für die Hilfe!


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-20

Hallo Strandkorb, Bestimme T so, dass die Gerade mit Realteil gleich 1 auf den Kreis abgebildet wird.


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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Hallo Also du meinst dass $T(\{1+bi:b\in \Bbb{R}\})=\{|z|=1\}$?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-03-20 19:06 - Strandkorb in Beitrag No. 2) Also du meinst dass $T(\{1+bi:b\in \Bbb{C}\})=\{|z|=1\}$? \quoteoff Warum ist bei dir \(b\in\IC\)? Das ergibt nun überhaupt keinen Sinn. Falls du das meinst: die Bilder von Zahlen mit Realteil 1 haben Betrag 1: genau so war es gemeint. Welche Konzepte, um eine solche Transformation zu finden, stehen dir denn schon zur Verfügung? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Strandkorb
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Hallo Diophant Sorry hab es geändert sollte natürlich $\Bbb{R}$ sein. Wir wissen dass Möbiustransformationen Winkel respektieren und dass sie auch Symmetrien respektieren. Hättest du dann da eine Idee wie man vorgehen könnte?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-20

\quoteon(2022-03-20 19:29 - Strandkorb in Beitrag No. 4) Wir wissen dass Möbiustransformationen Winkel respektieren und dass sie auch Symmetrien respektieren. Hättest du dann da eine Idee wie man vorgehen könnte? \quoteoff Vor allem sollte man wissen, dass Kreise und Geraden auf Kreise und Geraden abgebildet werden.


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Strandkorb
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Ja genau das wissen wir auch, also wir haben dem gesagt das generalized circles auf generalized circles abgebildet werden. Aber leider sehe ich noch nicht ganz die Intuition dahinter, also wie ich genau an eine solche Aufgabe herangehen soll wenn ich all das weiss


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Strandkorb
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Könnte ich es auch so machen: Ich weiss dass $f(z)=\frac{-2z}{1-z}$ folgende Eigenschaft hat: $f(0)=0$ $f(\{|z|<1\})=\{w\in \Bbb{C}:Re(w)<1\}$ Nun muss ich nur noch die Inverse bestimmen und ich wäre fertig. Geht das so? Wenn ja wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir trotzdem helfen könntet noch einen zweiten Weg zu finden, damit ich noch ein wenig Übung erhalte.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-03-20

\quoteon(2022-03-20 20:14 - Strandkorb in Beitrag No. 7) Geht das so? Wenn ja wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir trotzdem helfen könntet noch einen zweiten Weg zu finden, damit ich noch ein wenig Übung erhalte. \quoteoff Ich habe die Abbildung nicht überprüft, aber so müsste es gehen. Alternativ: Schnapp dir drei Punkte auf der Geraden und bilde sie auf Punkte des Kreises ab. Das liefert drei Gleichungen in den Variablen a, c und d.


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Strandkorb
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Hallo StrgAltEntf Vielen Dank für deine Antwort. Aber wieso genügt es wenn ich einfach nur diese gerade $1+bi$ betrachte?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-03-20

\quoteon(2022-03-20 20:20 - Strandkorb in Beitrag No. 9) Aber wieso genügt es wenn ich einfach nur diese gerade $1+bi$ betrachte? \quoteoff Weil es nur für diese Gerade eine Forderung gibt.


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Strandkorb
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-20

Ah ja sorry ich hatte irgendwie die Gerade falsch interpretiert. Vielen Dank!


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