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| Autor |
 Formel Länge Winkelhalbierende beweisen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2022-03-22
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Hallo,
ich habe ein allgmeines Dreieck ABC mit Winkeln Alpha, Beta und Gamma. Die Winkelhalbierende von Gamma heißt w. D ist der Punkt auf c=AB, wo die Winkelhalbierende die Seite c schneidet.
Ich soll zeigen:
w=(2*a*b*cos(\gamma /2))/(a+b)
Zuerst habe ich den Satz der Winkelhalbierenden bewiesen über die Flächeninhalte, dass folgende Verhätlnis gilt:
AC/BC=AD/DB
Nun habe ich den Sinussatz verwendet:
w/sin(\alpha)=AD/sin(\gamma/2)
w=(AD*sin(\alpha))/sin(\gamma/2)
Jetzt setze ich wegen dem Satz der Winkelhalbierenden für AD ein:
w=(AC*DB*sin(\alpha))/(BC*sin(\gamma/2))
Dann habe ich in der Formelsammel die Umformung verwendet für sin(Gamma/2), um diesen anders zu schreibn:
(AC*DB*sin(\alpha))/(BC*sin(\gamma)/(2*cos(\gamma /2)))
=(AC*DB*sin(\alpha)*2*cos(\gamma /2))/(BC*sin(\gamma))
Nun habe ihc wieder den Sinussatz angewendet:
sin(\alpha)/sin(\gamma)=BC/AB
Nach BC aufgelöst und oben wieder eingesetzt:
(AC*DB*sin(\alpha)*2*cos(\gamma /2)*sin(\alpha))/(AB*sin(\gamma)*sin(\alpha)/sin(\gamma))
=(AC*DB*2*cos(\gamma /2))/AB
=(AC*(AB-AD)*2*cos(\gamma /2))/AB
=(b*(c-AD)*2*cos(\gamma /2))/c
Das stimmt leider nicht mit der zu beweisenden FOrmel überein.
Kann mir einer bitte helfen?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
benutze das Gleichungssystem
$$ \frac{AD}{DB} = \frac ba, \qquad AD+DB = c$$
um $AD$ durch $a,b,c$ auszudrücken.\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22
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Hallo,
wäre das so richtig:
AD/(c-AD)=b/a
=>AD=bc/(a+b)
Und das müsste ich dann im letzten Schritt meiner Rechnung dann einsetzen?
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Nuramon
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-22
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-22
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Danke, habs hinbekommen :-)
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1230
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-22
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\quoteon(2022-03-22 17:34 - SimonConn im Themenstart)
Ich soll zeigen:
w=(2*a*b*cos(\gamma /2))/(a+b)
\quoteoff
$
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} %
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[pos=0.75, right]{$w$};
\path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$};
\path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\frac\gamma2$",
] {angle =A--C--W};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\frac\gamma2$",
] {angle =W--C--B};
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};
%%% Punkte
\draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
Es ist
\showon · Winkelhalbierendensatz: $\dfrac{b}{a} =\dfrac{m}{n}$
$
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} %
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[midway, right]{$w$};
\path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$};
\path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma_1$", double
] {angle =A--C--W};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma_2$", double
] {angle =W--C--B};
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\chi$",
] {angle =C--W--A};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\overline{\chi}$",
] {angle =B--W--C};
%%% Punkte
\draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt);
% Annottion - Text
\node[below of=A, yshift=0.25cm, xshift=-7mm,
anchor=north west, align=left,
text width=2.3*\c cm, fill=black!1,
draw=none, font=\normalsize
]{%
};
\end{tikzpicture}
$
Sei $w$ eine beliebige Ecktransversale von $C$, welche die gegenüberliegende Seite $c$ in die Teilstrecken $m$ und $n$ unterteilt, dann entliest man der Abbildung mit Hilfe des Sinussatzes
$\dfrac{\sin(\chi)}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{b}{m}$ und $
\dfrac{\sin(\overline{\chi})}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{a}{n}$.
Für die supplementären Winkel bei $W$ ist $
\sin(\overline{\chi}) = \sin(180^\circ -\chi) =\sin(\chi)$; also
$\sin(\chi)=\dfrac{b}{m}\cdot \sin(\gamma_1)
= \dfrac{a}{n}\cdot \sin(\gamma_2) =\sin(\overline{\chi})$. Damit erhält man die allgemeine Beziehung
$$\dfrac{b\sin(\gamma_1)}{a\sin(\gamma_2)} = \dfrac{m}{n}$$
Für den Sonderfall $\gamma_1 =\gamma_2$ ist $w$ die Winkelhalbierende und man erhält
$$\dfrac{b}{a} = \dfrac{m}{n}$$
\showoff
· Kosinussatz:
$n^2=a^2+w^2-2aw\cos(\frac\gamma2) \\
m^2=b^2+w^2-2bw\cos(\frac\gamma2)$
$\Rightarrow~
a^2 m^2 = b^2 n^2 \\
~\Leftrightarrow~
a^2 \bigl( b^2+w^2-2bw\cos(\frac\gamma2) \bigr)
= b^2 \bigl( a^2+w^2-2aw\cos(\frac\gamma2) \bigr) \\
~\Leftrightarrow~
a^2b^2 +w^2a^2 -2bw\cos(\frac\gamma2)a^2
=a^2b^2 +w^2b^2 -2aw\cos(\frac\gamma2)b^2 \\
~\Leftrightarrow~
w^2 (a^2-b^2) = 2w\cos(\frac\gamma2) (a^2b -ab^2)
\hspace{15mm} \scriptsize\text{[wobei $~~w>0$]} \\
~\Leftrightarrow~
w(a+b)(a-b) =2\cos(\frac\gamma2) ab(a-b) \\
~\Leftrightarrow~
a=b ~~\lor~~ w(a+b) = 2ab \cos(\frac\gamma2) \hspace{15mm}\square
$
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