| Autor |
 Abschlussarbeit Pi |
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Aleph1
Junior 
Dabei seit: 24.01.2022
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 |  Themenstart: 2022-03-25
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Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei ein passendes Thema für meine Abschlussarbeit zu finden. Ich habe mich zumindest schon einmal auf ein Thema fixiert und das soll mit der Zahl Pi zu tun haben. Ich bin dabei mir innerhalb dessen eine konkrete Fragestellung zu erarbeiten über die ich gerne schreiben würde.
Es sollte einen geschichtlichen mathematischen Bezug haben.
Meine Ideen sind soweit:
- Vergleich der Pi Approximation von Archimedes, Cusanus und/oder Vieta. Wo liegen die Unterschiede? Alle drei haben mit Polygonen gearbeitet um die Zahl Pi zu approximieren.
- Vergleich von Reihendarstellung zur Approximation der Zahl Pi von Leibniz, Euler, BBP Formel ... auch hier die Frage wo sind die Vorteile und Nachteile.
- Physikalische Experimente vorstellen (zB Buffonsche Nadelbrett) ... was könnte man dazu noch machen?
Das sind erstmal meine Ideen. Habt ihr eventuell noch andere Vorschläge womit man sich innerhalb dem Thema Pi noch beschäftigen könnte oder erabeiten könnte? Ich würde mich über ein paar Vorschläge freuen. 🙂
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-25
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Hallo Aleph1,
- Approximation von Pi durch Brüche/Kettenbruchentwicklung von Pi
- Irrationalität von Pi
- Transzendenz von Pi (in diesem Zusammenhang: Quadratur des Kreises)
- Normalität von Pi Siehe hier
- Leibniz-Reihe und Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen
- tbc
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Aleph1
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-25
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\quoteon(2022-03-25 18:04 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1)
Hallo Aleph1,
- Approximation von Pi durch Brüche/Kettenbruchentwicklung von Pi
- Irrationalität von Pi
- Transzendenz von Pi (in diesem Zusammenhang: Quadratur des Kreises)
- Normalität von Pi Siehe hier
- Leibniz-Reihe und Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen
- tbc
\quoteoff
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Was würde dir denn dazu einfallen über die Leibniz Reihe und Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen zu schreiben?
Was genau ist denn tbc?
Vielen Dank 🙂
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-03-25
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\quoteon(2022-03-25 18:42 - Aleph1 in Beitrag No. 2)
Was genau ist denn tbc?
\quoteoff
to be continued...
Gruß, Diophant
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StrgAltEntf
Senior 
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-03-25
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\quoteon(2022-03-25 18:42 - Aleph1 in Beitrag No. 2)
Was würde dir denn dazu einfallen über die Leibniz Reihe und Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen zu schreiben?
\quoteoff
Idealerweise rechnest du die Reihenwerte aus. Allerdings weiß ich gerade nicht, wie schwierig das ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Slash
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-03-25
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Moin Aleph1,
such mal bei Amazon, etc. oder gleich in Uni-Bibliothek nach (populär)wissenschaftlichen Büchern über Pi. Ich besitze selbst einige davon und du wirst von Themen erschlagen werden 😉.
...Pi findet sich auch in der Mandelbrotmenge wieder
Gruß, Slash
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-03-25
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"Das Buch der Beweise" von Aigner und Ziegler enthält Beweise für \(\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6\) und die Irrationalität von \(\pi^2\) (was "mehr" ist als die Irrationalität von \(\pi\)). Außerdem enthält es ein Kapitel zum Buffon'schen Nadelproblem.
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Aleph1
Junior 
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-03-26
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Vielen Dank für die ganzen Vorschläge. Ich werde mir das auch einmal genauer anschauen. Was mich besonders interessiert ist die Approximationsgeschichte der Zahl Pi. Ich weiß das es ein ziemlich weites Feld ist weshalb mich einmal interessieren würde was findet ihr in diesem Zusammenhang spannend?
Ich meine zu Beginn gab es erste Näherungen in Ägypten und Babylon bis Archimedes kam und einen Algorithmus entwickelt hat. Dieser Polygonalogirthmus wurde im laufe der Jahre weiterentwickelt bis die ersten Reihendarstellungen der Zahl Pi von Leibniz bzw Euler entdeckt wurden. Mich interessiert sowohl das Prinzip von Archimedes als auch die Methode von Euler oder generell das Basler Problem. Habt ihr da Ideen wie man so etwas zusammenbringen könnte?
LG 🙂
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-03-26
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Hallo,
\quoteon(2022-03-26 10:23 - Aleph1 in Beitrag No. 7)
Habt ihr da Ideen wie man so etwas zusammenbringen könnte?
\quoteoff
Vorneweg: deine Abschlussarbeit schreiben wir aber nicht für dich. 😉
Du hast uns ja (soweit ich weiß) noch nicht verraten, von was das denn die Abschlussarbeit ist. So wird es schwierig, weitere zielführende Ratschläge zu geben.
Bei solchen historischen Entwicklungen wie den Erkenntnissen rund um die Kreiszahl, die also schon Tausende Jahre zurückreichen, finde ich persönlich es immer spannend, wenn man die jeweiligen Herangehensweisen ein wenig in einen Kontext mit den Verhältnissen der betreffenden Epoche bringt.
Ein weiterer spannender Gesichtspunkt speziell an diesem Thema ist die grob ab dem 18. Jahrhundert* beginnende Entwicklung der Erkenntnisse darüber, welche tiefgreifende Bedeutung diese Zahl in der gesamten Mathematik weit über die Geometrie hinaus hat.
(Man könnte es natürlich auch so formulieren: welche grundlegende Bedeutung die Geometrie auch heute noch hat. Das ist ein wenig Geschmack- bzw. Ansichtssache.)
Aber das musst du schon alles selbst herausfinden. Das ist ja dann Teil einer solchen Arbeit, dass man sich eine "Erzählung" hinter dem ganzen ausdenkt. Im Idealfall jedenfalls.
* 18. Jahrhundert, da ich das jetzt einfach ad hoc einmal an Leonhard Euler festmache.
Gruß, Diophant
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-03-26
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Hier noch eine kuriose Anekdote: https://de.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill
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hyperG
Senior
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2022-03-26
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\quoteon(2022-03-25 20:38 - Slash in Beitrag No. 5)
...
Pi findet sich auch in der Mandelbrotmenge wieder
Gruß, Slash
\quoteoff
Ich habe das mal nachgerechnet mit Annäherung an einen Punkt, der nur mit reellen Zahlen auskommt (komplexe Punkte dauern noch länger!):
\sourceon Iteration: a = a^2 + 1/4 + Abweichung
Stellen Berechnungszeit
5 0,85 s
6 8,26 s
7 84,07 s
\sourceoff
Da hier Pi="Iterationen bis Grenze 2"/10^Stellen ist,
steigt die Berechnungszeit pro Nachkommastelle exponentiell an!
Für viele Nachkommastellen absolut ungeeignet.
(ehe man hier auch nur 7 Nachkommastellen berechnet hat, schafft y-cruncher über 1 Mrd. Stück!!)
Borwein , Plouffe & Bellard haben viele schöne neue Algorithmen gefunden. Hier z.B.:
\sourceon mathematica
Sum[(2 n)! ((130 n+109)/(Pochhammer[7/6, n] Pochhammer[11/6, n] (-1296)^n)), {n, 0, k}]*Sqrt[3]/60
k Sum
{ 7, 3.14159265358979323846},
{ 8, 3.14159265358979323846266},
{ 9, 3.14159265358979323846264334},
{10, 3.14159265358979323846264338341},
{11, 3.14159265358979323846264338327911},
{12, 3.14159265358979323846264338327950405},
{13, 3.14159265358979323846264338327950288073}
\sourceoff
Pro Summand kommen hier fast 3 richtige Nachkommastellen hinzu.
Interessant: die Pochhammer-Funktion erlaubt als 2. Parameter auch nichtganzzahlige Argumente, und da kann man Pi auch ohne die Summe berechnen (da sie indirekt im Algorithmus der Pochhammer-Funktion steckt):
\sourceon nameDerSprache
Pi=Pochhammer[1, 1/2]^2*4
\sourceoff
Alles nichts gegen die Summenformel von Chudnovsky, der pro Term 14 Nachkommastellen schafft und wegen der Einfachheit (nur 1 Wurzel) für alle Pi Weltrekord-Berechnungen (y-cruncher) verwendet wurde.
Über 100 weitere Algorithmen (Bildungsgesetze) unter www.lamprechts.de/gerd/Kreiszahl.htm
Anmerkung:
Zu Zeiten von Archimedes (und bei den meisten Schülern) wird Pi immer nur im Zusammenhang zum Kreis gesehen.
Die heutige Wissenschaft (Chemie, Physik, Statistik, Primzahlen, Fibonacci-Zahlen,...) kommt jedoch nicht ohne Pi aus!
Das zeigt, dass alles miteinander in Verbindung steht und nicht isoliert voneinander betrachtet werden kann! Wichtig auf dem Weg zur
Weltformel
Grüße
Gerd Pi
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Delastelle
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2022-03-27
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Hallo,
nicht genau das Thema; aber
\quoteon(2022-03-26 22:53 - hyperG in Beitrag No. 10)
Anmerkung:
Zu Zeiten von Archimedes (und bei den meisten Schülern) wird Pi immer nur im Zusammenhang zum Kreis gesehen.
Die heutige Wissenschaft (Chemie, Physik, Statistik, Primzahlen, Fibonacci-Zahlen,...) kommt jedoch nicht ohne Pi aus!
Das zeigt, dass alles miteinander in Verbindung steht und nicht isoliert voneinander betrachtet werden kann! Wichtig auf dem Weg zur
Weltformel
Grüße
Gerd Pi
\quoteoff
Meine persönliche Weltformel ist einfach eine Linearkombination aller bekannten Formeln. (So einfach ist das :-)
Vielleicht lasse ich mir die mal patentieren...)
Viele Grüße
Ronald
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Aleph1
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-05
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Vielen Dank soweit für die ganzen Hinweise. Eine Frage habe ich noch und zwar gibt es auch historisch/experimentelle bzw empirische Verfahren bzw Personen die die Kreiszahl Pi experimentell bestimmen wollten?
LG :)
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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
pzktupel
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2022-04-05
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Da werfe ich mal einen Videovorschlag ein...
https://www.youtube.com/watch?v=zBBqglRfUpI
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stpolster
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-04-05
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hyperG
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-04-05
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\quoteon(2022-04-05 20:02 - Aleph1 in Beitrag No. 12)
...
gibt es auch historisch/experimentelle bzw empirische Verfahren bzw Personen die die Kreiszahl Pi experimentell bestimmen wollten?
...
\quoteoff
Auch das findet man alles auf meiner bereits genannten Seite.
Die Geschichten (incl. Jahreszahlen) dazu gibt's im letzten LINK ganz unten.
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hyperG
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-04-05
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\quoteon(2022-04-05 22:07 - pzktupel in Beitrag No. 13)
Da werfe ich mal einen Videovorschlag ein...
https://www.youtube.com/watch?v=zBBqglRfUpI
\quoteoff
Da verkauft jemand den alten Algorithmus §2b (aus dem Jahre 1910; fast 8 Dezimalstellen pro Iteration) als "Weltrekord-Algorithmus".
Dabei sind alle letzten Weltrekorde ab 2010 per y-cruncher mit §2c (1988 Formel gefunden; etwa 14 Stellen pro Term) berechnet worden.
§2d schafft zwar 50 Stellen pro Term, hat aber irrationale Faktoren, die die Gesamt-Effektivität stark senken.
Die schnellste theoretische Konvergenzgeschwindigkeit hat zwar
§4e mit der Iterationsformel von Borwein & Bailey (Konvergenz 16. Ordnung,
also bei 4 Iterationen über 10000 Stellen),
ABER wegen mehreren 4. Wurzeln (die auch wieder per interner Iteration berechnet werden müssen) und Hilfsvariablen um 1, hat man ab etwa 1 Mio. Stellen so extrem mit Fehlerfortpflanzung zu tun, dass alles aus dem Ruder läuft (keine Selbstkonvergenz, die die Rundungsfehler einfangen würde).
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