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| Autor |
  Sigma-Algebren |
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Pioch2000
Aktiv 
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
 |  Themenstart: 2022-04-13
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Hallo,
ich muss alle möglichen Sigma-Algebren über der Menge $X=\{1,2,3\}$ bestimmen.
Folgende Sigma-Algebren habe ich bestimmt:
$S_1=\{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1\}, \{2,3\}\}$
$S_2=\{\emptyset, \{1,2,3\}, \{2\}, \{1,3\}\}$
$S_3=\{\emptyset, \{1,2,3\}, \{3\}, \{1,2\}\}$
$S_4=\{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1\},\{2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2\}, \{3\} \}$
$S_5=\{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1\}, \{2,3\}\}$
$S_6=\{\emptyset, \{1,2,3\} \}$
Stimmt das so und habe ich welche vergessen?
LG
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 Profil
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-13
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Hallo,
vergessen hast Du keine. Dafür hast Du eine doppelt.
Kannst Du begründen, dass es keine weiteren gibt?
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Profil
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Pioch2000
Aktiv
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-13
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Stimmt, $S_5$ ist natürlich doppelt. Begründen, dass es keine weiteren gibt, kann ich leider nicht. Wie geht man hier am besten vor?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Wie hast Du denn die $5$ Sigma-Algebren gefunden?\(\endgroup\)
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Pioch2000
Aktiv
Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-13
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Die Menge $X$ und die leere Menge sind in jeder Sigma Algebra enthalten. Dann habe ich die einelementigen Mengen und deren Komplement und Vereinigung hinzugefügt. Das gleiche mit zweielementigen Mengen, bis ich keine Möglichkeiten mehr gefunden habe.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
So kann man es machen.
Alternativ kann man benutzen, dass es eine Bijektion zwischen den Sigma-Algebren auf $X$ und den Partitionen von $X$ gibt, siehe hier.\(\endgroup\)
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Pioch2000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pioch2000 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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