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Analysis » Maßtheorie » Erzeuger einer Sigma-Algebra
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Universität/Hochschule Erzeuger einer Sigma-Algebra
Danter
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  Themenstart: 2022-04-18

Hey ich habe eine Frage zu einer Aufgabe die ich gerade bearbeite. Und zwar muss ich zeige, dass wenn $\mathcal{F}$ eine $\sigma$-Algebra ist und $\mathcal{E}$ ein Erzeuger von $\mathcal{F}$, dass dann folgt $\mathcal{F} = \cup_{A \subset \mathcal{E}: A \text{ abzählbar} } \sigma (A)$. Die Richtung, dass $\mathcal{F} \supset \cup_{A \subset \mathcal{E}: A \text{ abzählbar} } \sigma (A)$ ist, habe ich schon. Für die Rückrichtung frage ich mich ob es möglich ist anzunehmen, dass ein Element aus $\mathcal{F}$ als abzählbare Vereinigung bzw.Komplement von Teilmengen aus $\mathcal{E}$ schreibbar ist. Bin ich damit auf dem richtigen Weg oder habt ihr sonst Tipps wie ich die Aufgabe lösen kann. Grüße Danter

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-18

Tipp: Es reicht, $\mathcal{E} \subseteq \bigcup_{A \subseteq \mathcal{E} \text{ abzählbar}} \sigma(A)$ zu zeigen (wieso?). Für $T \in \mathcal{E}$ betrachte die abzählbare Menge $\{T\} \subseteq \mathcal{E}$.

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Danter
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19

Hey danke für den Tipp, ich denke ich habe es jetzt verstanden. Bei der Menge $\bigcup_{A \subseteq \mathcal{E} \text{ abzählbar}} \sigma(A)$ handelt es sich um eine Sigma Algebra und dann folgt natürlich die gesuchte Inklusion.

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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-19

Und warum handelt es sich um eine $\sigma$-Algebra?

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Danter
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-20

Wir können die Eigenschaften einer Sigma Algebra einfach nachweisen. Das die Grundmenge und das Komplement in der Menge liegen ist recht einfach. Bei der letzten gilt eine abzählbare Vereinigung an Mengen $A_k$ liegen in der abzählbaren Menge von Sigma Algebren die von Teilmengen $\mathcal{A}_k$ erzeugt werden die wiederum eine abzählbare Teilmenge sind des ursprünglich Erzeugers $\mathcal{E}$. Aber die abzählbare Vereinigung von Mengen $\mathcal{A}_k$ ist wieder eine abzählbare Menge und dazu noch eine Teilmenge von $\mathcal{E}$, da die einzelnen Vereinigungsmengen Teilmengen sind. Die Mengen $A_k$ liegen dann natürlich auch in der Sigma Algebra die von dieser neuen Vereinigungsmenge erzeugt wird und damit auch die abzählbare Vereinigung derer.

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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-22

Ja, richtig.

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