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Funktionentheorie » Integration » Komplexes Wegintegral
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Universität/Hochschule J Komplexes Wegintegral
sina1357
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  Themenstart: 2022-04-19

Hallo zusammen, ich beiße mir gerade an folgender Aufgabe die Zähne aus: Berechne $\int_{[0,\pi+i]}|\cos^2(t)|dt$. Mein Ansatz: Mit $\cos(x+iy)=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)$: $$\int_{[0,\pi+i]}|\cos^2(t)|dt=(\pi+i)\int_{0}^{1}\cos(\pi t)\cosh(t)+\sin(\pi t)\sinh(t)dt.$$ Soll ich jetzt am besten zur Exponentialdarstellung übergehen? Allerdings ergibt sich dann ein so langer Integrand, dass ich mich frage, ob es auch einen einfacheren Lösungsweg gibt... Danke für eure Hilfe!


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-19

Wie kommst du denn von deinem Ansatz auf die Gleichheit der beiden Integrale? Verwende vielleicht besser $2\cos t=e^{it}+e^{-it}$ und multipliziere $|\cos^2t|$ einfach aus: $4\,|\cos^2t|=\bigl(e^{it}+e^{-it}\bigr)\bigl(e^{i\bar t}+e^{-i\bar t}\bigr)$ --zippy


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sina1357
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19

Hallo zippy, danke für deine Antwort! Für meine vorherige Gleichheit habe ich noch genutzt, dass $|cos(z)^2|=Re(cos(z))^2+Im(cos(z))^2$ gilt. Mit deinem Tipp erhalte ich: $|cos(z)^2|=|\frac{e^{2it}+e^{-2it}+2}{2}|$. Nun bin ich mir jedoch unsicher: Soll ich die Exponentialfunktion in Sinus und Kosinus zerlegen, um den Real- und Imaginärteil zu unterscheiden? Also $|\frac{e^{2it}+e^{-2it}+2}{2}|=|1/2(cos(2t)-isin(2t)+cos(2t)+isin(2t)+2)|=|cos(2t)+1|$


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-19

\quoteon(2022-04-19 19:57 - sina1357 in Beitrag No. 2) Für meine vorherige Gleichheit habe ich noch genutzt, dass $|cos(z)^2|=Re(cos(z))^2+Im(cos(z))^2$ gilt. \quoteoff Und wo bleiben dann die hier auf der rechten Seite auftauchenden Quadrate? \quoteon(2022-04-19 19:57 - sina1357 in Beitrag No. 2) Mit deinem Tipp erhalte ich: $|cos(z)^2|=|\frac{e^{2it}+e^{-2it}+2}{2}|$. \quoteoff Es ist nicht günstig, erst zu quadrieren und dann den Betrag zu bilden. Gehe besser so vor: \quoteon(2022-04-19 19:47 - zippy in Beitrag No. 1) $4\,|\cos^2t|=\bigl(e^{it}+e^{-it}\bigr)\bigl(e^{i\bar t}+e^{-i\bar t}\bigr)$ \quoteoff


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sina1357
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19

Oh, danke für deinen Hinweis, die Quadrate habe ich nicht übernommen! \quoteon(2022-04-19 19:47 - zippy in Beitrag No. 1) $4\,|\cos^2t|=\bigl(e^{it}+e^{-it}\bigr)\bigl(e^{i\bar t}+e^{-i\bar t}\bigr)$ \quoteoff Und es gilt doch $\overline{e^{it}}=e^{-it}$, oder?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-19

\quoteon(2022-04-19 20:10 - sina1357 in Beitrag No. 4) Und es gilt doch $\overline{e^{it}}=e^{-it}$, oder? \quoteoff Nein, $t$ ist hier ja nicht reell.


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sina1357
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-19

Ah stimmt, danke für deine Hilfe!!


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Kuestenkind
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-04-19

Huhu sina1357, um deinen Ansatz noch ans Ziel zu bringen kannst du auch trigonometrische Identitäten nutzen: \(\displaystyle \cos^2(\pi t)\cosh^2(t)+\sin^2(\pi t)\sinh^2(t)=\left(1-\sin^2(\pi t)\right)\cosh^2(t)+\sin^2(\pi t)\sinh^2(t)=\cosh^2(t)-\sin^2(\pi t)\left(\cosh^2(t)-\sinh^2(t)\right)=\cosh^2(t)-\sin^2(\pi t)\) Das integriert man üblicherweise über die Doppelwinkel-Formel: https://mathworld.wolfram.com/Double-AngleFormulas.html Gruß, Küstenkind


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-04-19

Aber lohnt sich dieser Aufwand? Das Ausmultiplizieren von $\bigl(e^{it}+e^{-it}\bigr)\bigl(e^{i\bar t}+e^{-i\bar t}\bigr)$ liefert für $t=x+iy$$$ 2\,|\cos^2t|=\cos(2x)+\cosh(2y)$$und diese beide Summanden lassen sich sofort integrieren.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-04-19

Huhu zippy, na klar ist dein Weg wesentlich kürzer / eleganter. Aber wenn der Threadersteller schon einen eigenen Ansatz hier mitliefert (das hat man ja auch oft genug anders erlebt), war es mir nur ein Bedürfnis diesen auch noch ans Ende zu bringen. Mein Beitrag ist also nur als Ergänzung zu lesen. Gruß, Küstenkind


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