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Analysis » Maßtheorie » Anzahl messbarer Funktionen
Autor
Universität/Hochschule Anzahl messbarer Funktionen
Berpal23
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  Themenstart: 2022-04-25

Sei X={1,2,3,4} und $\mathcal S=\{\emptyset, \{1\},\{2,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$ Wieviele messbare Funktionen von $(X,\mathcal S)$ nach $(X,\mathcal S)$ gibt es? Ich müsste jetzt jede Funktion "zählen", für die das Urbild einer Menge $A\in \mathcal S$ wieder in $\mathcal S$ liegt. Gibt es hier eine sinnvolles Vorgehen? Mir scheint es so, als ob das ziemlich viele Funktionen sind. Ich komme bisher auf mindestens 46. LG

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-25

Tipp: Reduziere die Messbarkeit auf eine Bedingung. Benutze dabei die Kompatibilität des Urbildmengenoperators mit gewissen Mengenoperationen und beachte die besonders einfache Struktur von $\mathcal{S}$. Danach kannst du $4$ Fälle unterscheiden. In jedem Fall kannst du die Abbildungen in zwei Abbildungen zerlegen und darüber leicht abzählen. Es empfiehlt sich hier übrigens, die Situation etwas allgemeiner zu gestalten, um weniger rechnen zu müssen (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1939 -> Führe einen Parameter ein). Kommst du darauf, welche allgemeine Situation hier vorliegt?

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