Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Integration » Komplexe Integration
Autor
Universität/Hochschule Komplexe Integration
Vido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.04.2020
Mitteilungen: 58
  Themenstart: 2022-04-28

Hallo, ich mache gerade die komplexe Integration und bin beim Cauchy- Integralsatz. Nun habe ich 2 Beispiele: ein Quadrat und einen Halbkreis in der komplexen Zahlenebene (siehe Anhang). Beim Halbkreis ist mein Kurvenintegral für alle Kurven gleich, egal ob ich die Kurve C1, C2 oder (C3+C4) wähle kommt immer das gleiche Ergebnis heraus. Im Satz von Cauchy heisst es auch: für jede analytische Funktion auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet G gilt, dass das Kurvenintegral über die geschlossene Kurve null ist. Weiters gilt: hat man einen Anfangspunkt und einen Endpunkt (also Kurve nicht geschlossen), so ist das Kurvenintegral unabhängig vom gewählten Weg (also beim Halbkreis z.B. ist es egal ob man den Weg entlang C1 oder C2 geht, es kommt das Gleiche heraus). Beim Quadrat ist das nicht der Fall und ich weiss nicht warum?? Das Gebiet ist doch auch einfach zusammenhängend! Ich dachte zuerst, dass hat mit den Knickpunkten bezüglich der Differernzierbarkeit zu tun- Knickpunkte habe ich aber auch beim Halbkreis, daran liegt es also nicht. Warum funktioniert das beim Quadrat nicht? PS.: bilde ich beim Quadrat das Kurvenintegral entlang der Kurve C1+C2 so kommt als Ergebnis 4i heraus. Bei der Kurve C3+C4 komm hingegen -4i heraus. (Ausgehend vom Punkt -i-1 zum Punkt i+1, also in beiden Fällen gleicher Start- und Endwert, nur ist der Weg ein anderer). https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52967_2D449F49-423C-407C-84C2-D81E7C150D4A.jpeg


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2400
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-28

Huhu Vido, ich habe deinen Text nur überflogen. Mir scheint, du hast auf den horizontalen Strecken ja eine andere Orientierung. Es macht ja schon ein Unterschied, ob du ein Integral \(\int_1^3 f(x) \, \dd x\) oder \(\int_3^1 f(x) \, \dd x\) berechnest. Da ist es wenig verwunderlich, dass deine Ergebnisse unterschiedliche Vorzeichen haben, oder? Gruß, Küstenkind


   Profil
Vido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.04.2020
Mitteilungen: 58
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-28

Hallo Küstenkind, das ist mir klar, ich habe eine unterschiedliche Orientierung. Laut Cauchy gilt aber, dass das Integral immer gleich ist wenn man ein einfach zusammenhängendes Gebiet G hat und die Funktion auf G analytisch ist, d.h. der Weg bzw. die Orientierung spielen keine Rolle- beim Halbkreis ist ja die Orientierung auch nicht gleich und es kommt trotzdem das Gleiche heraus. Das Quadrat ist ja ebenso wie der Halbkreis einfach zusammenhängend und analytisch, oder nicht? Es müsste ja das Kurvenintegral einer geschlossenen Kurve null sein, weil der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist. Beim Halbkreis ist es tatsächlich so und beim Quadrat aber nicht und ich weiß nicht warum!? Lg, Vido


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2400
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-28

Welche Funktion integrierst du denn? \(f(z)=\bar{z}\)? Die Funktion ist nicht holomorph. Gruß, Küstenkind


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-04-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, Vido, der Integralsatz von Cauchy sagt was über holomorphe Integranden aus. Gehört \( \overline{z}\) dazu? Viele Grüße Wally [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


   Profil
Vido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.04.2020
Mitteilungen: 58
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Ich dachte mir schon, dass es irgendwas bezüglich der Definition ist, also entweder ist die Funktion nicht holomorph oder es hat was mit dem Gebiet zu tun. Gut, warum ist denn die Funktion nicht holomorph, ich kann sie doch in jedem Punkt differenzieren bzw. die Ableitung existiert? Danke


   Profil
PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2408
Wohnort: Wien
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-04-29

\quoteon(2022-04-29 08:58 - Vido in Beitrag No. 5) Gut, warum ist denn die Funktion nicht holomorph, ich kann sie doch in jedem Punkt differenzieren bzw. die Ableitung existiert? \quoteoff Nein. Sei $f(z)=\bar{z}$, und schau dir den Differenzenquotienten $\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ an. Der Limes $\lim_{h\to 0}$ dieses Ausdrucks hängt davon ab, entlang welchen Weges du dich dem Nullpunkt näherst. Betrachte z.B. die Wege entlang der reellen und imaginären Achse... Alternativ kannst du auch mithilfe der Cauchy-Riemann-Gleichungen schnell sehen, dass die Funktion nicht holomorph ist. Grüße, PhysikRabe


   Profil
Vido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.04.2020
Mitteilungen: 58
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Für die Kurve C1 sind die Cauchy- Riemann- DGL nicht erfüllt und somit ist die Funktion auf C1 nicht holomorph. Bei der Kurve C2 kommt bei den Cauchy- Riemann-DGL jedoch immer null heraus, wie sieht es nun aus? Denn 0=0 ist doch erfüllt oder gibt es im Falle „0“ eine Sonderregelung?


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-04-29

"Holomorph" bedeutet "komplex differenzierbar in einem Gebiet" Viele Grüße Wally


   Profil
Vido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.04.2020
Mitteilungen: 58
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Das bedeutet, dass z= z(x,y) sein muss bzw. wenn z nur von x oder y abhängt können di Cauchy- Riemann- DGL nicht erfüllt werden und somit ist die Funktion auch nicht holomorph? Danke


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-04-29

Das bedeutet, dass die Cauchy-Riemann-Dgl. in einer offenen Menge erfüllt sein müssen. Viele Grüße Wally


   Profil
Vido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.04.2020
Mitteilungen: 58
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-29

Warum offenen Menge, das Gebiet (= Quadrat) ist doch geschlossen und einfach zusammenhängend? Sorry dass ich so nachfrage


   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2400
  Beitrag No.12, eingetragen 2022-04-29

Schau doch bitte nochmal in ein Buch oder dein Skript. Ich verstehe wirklich kaum, was du so schreibst. \quoteon(2022-04-29 09:42 - Vido in Beitrag No. 7) Für die Kurve C1 sind die Cauchy- Riemann- DGL nicht erfüllt und somit ist die Funktion auf C1 nicht holomorph. Bei der Kurve C2 kommt bei den Cauchy- Riemann-DGL jedoch immer null heraus, wie sieht es nun aus? Denn 0=0 ist doch erfüllt oder gibt es im Falle „0“ eine Sonderregelung? \quoteoff Es geht um holomorphe Funktionen - und nicht holomorphe Kurven. https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Integralsatz Die Funktion \(f(z)=\bar{z}\) ist nirgendwo holomorph. Also sicherlich auch nicht entlang des Weges C2. Es ist schließlich \(u(x,y)=x\) und \(v(x,y)=-y\). Da \(\frac{\partial u}{\partial x}=1\) und \(\frac{\partial v}{\partial y}=-1\) existiert \(f'(z)\) nirgendwo. Gruß, Küstenkind


   Profil
Vido hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]