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Kein bestimmter Bereich J ** Grenzwertig XIX
Squire
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  Themenstart: 2022-05-02

Sei $\large a \in \mathbb{R}$ und $\large \lim_{x \to 0}\frac{\Gamma(1+x)+ax-1}{x^2}$ existiere. Bestimme $\large a$ und den Grenzwert! Lösungen wie immer mit PN. Viel Freude! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06

ThomasRichard hat mit die richtige Lösung geschickt. Glückwunsch! Alle anderen sind herzlich eingeladen, sich am kommenden Wochenende zu versuchen. Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-09

Kuestenkind Wauzi shadowking haben das Wochenende wie von mir vorgeschlagen genutzt. Gratulation! Allen anderen sei ein aufmunterndes "Versuch es auch mal" zugerufen. Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-13

Einmal stupse ich noch, dann gibt es die Auflösung. Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27

Lösung: \showon Da der Grenzwert existiert, ist zweimal L'Hospital zulässig und liefert $\large \lim_{x \to 0}\frac{\Gamma(1+x)+ax-1}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{\Gamma '(1+x)+a}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\Gamma ''(1+x)}{2}$ Es folgt $\large a=-\Gamma '(1)$ und $\large \lim_{x \to 0}\frac{\Gamma(1+x)+ax-1}{x^2}=\frac{\Gamma ''(1)}{2}$ Wir können beide Werte mit Hilfe der Digammafunktion $\large \psi(x)=\frac{\Gamma '(x)}{\Gamma(x)}$ sowie $\large \psi(x)=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty \left( \frac1k - \frac{1}{x+k-1} \right)$ berechnen: $\large -\Gamma '(1)=-\psi(1) \cdot \Gamma(1)=\gamma$ und $\large \frac{\Gamma ''(1)}{2}=\frac{\psi '(1) \cdot \Gamma(1)+\psi(1) \cdot \Gamma '(1)}{2}=\frac{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} +(-\gamma) \cdot (-\gamma)}{2}=\frac12 \cdot \left( \frac{\pi^2}{6}+\gamma^2 \right)$ \showoff


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Squire hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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