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Mathematik » Didaktik der Mathematik » p-q-Formel vs. Mitternachtsformel
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Schule p-q-Formel vs. Mitternachtsformel
stpolster
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  Themenstart: 2022-05-06

Hallo, eigentlich ist es extrem lächerlich, aber ich wurde in eine Auseinandersetzung meiner Kollegen hineingezogen und suche im Moment Argumente für und wider. Es geht um die Lösung quadratischer Gleichungen (Unterrichtsstoff 9.Klasse) der Form $0 = ax^2+bx+c$ mit $a \neq 1$. Die eine "Fraktion" beharrt auf der Division mit $a$, d.h. die Normalform $0=x^2+px+q$ und die Verwendung von \[ x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \] die andere unbedingt auf der "Mitternachtsformel" (meiner Meinung nach ein blöder Name) \[ x_{1;2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] und verwendet dies auch im Fall $a=1$. Ich empfehle den Schülern immer die p-q-Formel, da nach meiner Erfahrung die Fehlerquote bei den Schülern sinkt. Dazu kommt noch, dass man, so glaube ich, ganzzahlige Lösungen mittels Satz von Vieta leichter erkennen kann. Außerdem wird bei Gleichungen 3. und 4. Grades auch die Normalform verwendet. Wie gesagt ist es eigentlich lächerlich, aber die Fronten verhärten sich (wie in der letzten Zeit bei Meinungsverschiedenheiten jeder Art). Und das bei Lehrern, die eigentlich intelligent und tolerant sein müssten. Aber Kleinigkeiten führen neuerdings öfter zu Auseinandersetzungen. Ich bin in 3 Monaten offiziell Rentner und wollte mich heraushalten, aber das funktioniert leider nicht. Meine Frage: Sieht jemand weitere Argumente für die eine oder andere Vorgehensweise? Danke Steffen


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, beide Formeln sind im nichtentarteten Fall $a\neq 0$ vermöge $p:=b/a$ und $q:=c/a$ offenbar äquivalent. Ein Argument, welche der beiden wohl die "bessere" ist, kann daher nicht wirklich mathematischer Natur sein. Meiner Meinung nach ist die "beste" Vorgehensweise hier, dass man den Leuten klar macht, dass beide Formeln das selbe tun und man beliebig, sozusagen nach Gusto, entscheiden kann, welche man nehmen möchte. LG Nico\(\endgroup\)


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stpolster
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06

Ich hatte noch vergessen, dass die Schüler nach dem Mindestbildungsstandard eine Formel auswendig können müssen. Bei dem einen oder anderen wohl ein Problem, da ich gerade eine Schülerin in das Abitur geschickt habe, die sich nicht einmal die binomischen Formeln merken kann/will.


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gonz
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-06

Das hilft dir nicht weiter, aber ich verwende auch beim Unterrichten lieber die Version der "p,q-Formel", mit ungefähr den Argumenten, die du angeführt hast - einfach weil ich sie für leichter merkbar halte. Ein weiteres Argument könnte rein faktisch die weitere Verbreitung sein im Gegensatz zu dem was du "Mitternachtsformel" nennst. Wir könnten ja mal eine Umfrage auf dem MP starten, wer was im Kopf hat/anwendet. Im Zeitalter des Taschenrechners ja ggf. auch mit der Option "ich habe so eine Formel nicht (mehr) im Kopf". Grüße, Gonz


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-06

Hallo stpolster, ich kann nur mit der Erfahrung aus ca. 20 Jahren Mathenachhilfe dienen. Danach ist der Punkt mit dem Auswendiglernen eindeutig einer, der für die abc-Formel spricht. Auch das Einsetzen in die Formel und das Ausrechnen der Lösungen gelang danach mit dieser Variante vor allem dann besser, wenn der Taschenrechner nicht zur Verfügung stand. Ich persönlich hielte es für die vernünftigste Lösung, beide Formeln anzubieten und die Schüler diejenige lernen bzw. verwenden zu lassen, mit der sie besser klarkommen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Didaktik der Mathematik' von Diophant]


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Ich bin kein Lehrer und habe keine klare Meinung. Wie nzimme10 geschrieben hat, dürfte es bei hinreichenden mathematischen Grundkenntnissen eigentlich keinen Unterschied geben. Die Frage ist also, welche der beiden Formeln besser ist für Schüler:innen, bei denen diese Grundkenntnisse nicht vollständig vorhanden sind. Mir persönlich wurde zu meiner Schulzeit die Mitternachtsformel (also die mit $a,b,c$) beigebracht und ich verwende diese auch heute noch. Allerdings in der Form $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Ein Vorteil der Mitternachtsformel ist, dass (bei ganzzahligen Koeffizienten) keine Brüche unter der Wurzel stehen. Man spart sich gedanklich also schonmal die Suche nach einem Hauptnenner. \quoteon Ich empfehle den Schülern immer die p-q-Formel, da nach meiner Erfahrung die Fehlerquote bei den Schülern sinkt. \quoteoff Welche Art von Fehlern treten bei der p-q-Formel seltener auf als bei der abc-Formel? Wenn ich einen Fehler bei der Anwendung der abc-Formel mache, dann ist es ein Vorzeichenfehler bei dem Minus unter der Wurzel, wenn $a$ oder $c$ negativ sind (also $\sqrt{b^2+4ac}$ statt $\sqrt{b^2-4ac}$). Bei der p-q-Formel würde ich erwarten, dass es sogar gleich drei Quellen für solche Vorzeichenfehler gibt: Wenn man von $ax^2+bx+c=0$ ausgehend $p$ und $q$ berechnet, können Vorzeichenfehler auftreten (z.B. wenn $a$ negativ ist) und ein weiteres Mal könnte ein Vorzeichenfehler unter der Wurzel auftreten, wenn $q$ negativ ist. \quoteon Dazu kommt noch, dass man, so glaube ich, ganzzahlige Lösungen mittels Satz von Vieta leichter erkennen kann. \quoteoff Kannst Du das erläutern? Mir ist nicht klar, worauf Du anspielst. \quoteon Außerdem wird bei Gleichungen 3. und 4. Grades auch die Normalform verwendet. \quoteoff Das ist doch, wenn überhaupt, ein Argument dafür weder die p-q-Formel noch die Mitternachtsformel zu lehren: - Bei den Formeln für Polynome 3. bzw. 4. Grades wird in der Regel vorausgesetzt, dass man die Gleichung in eine Form gebracht hat, in der der Leitkoeffizient $1$ ist und der Koeffizient von $x^2$ bzw. von $x^3$ verschwindet. Letzteres würde bei quadratischen Polynomen der quadratischen Ergänzung entsprechen. Wenn man diese quadratische Ergänzung durchgeführt hat, braucht man aber keine Lösungsformel mehr. - Wer bitte wendet denn jemals die Formeln von Cardano bzw. Ferrari in der Praxis an und dann auch noch im Schulunterricht? Die einzigen Situationen, in denen ich mich erinnern kann in der Schule Polynomgleichungen mit Grad $\geq 3$ lösen zu dürfen, waren Gleichungen mit mindestens einer ganzzahligen bzw. rationalen Lösung (Vieta) oder Gleichungen, die man durch Substitution auf quadratische Gleichungen zurückführen konnte. Im Wettbewerbsbereich treten vielleicht noch andere Typen auf (z.B. Palindromgleichungen wie $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$), aber für die braucht man nochmal ganz andere Ideen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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stpolster
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06

Vielen Dank für die bisherigen Kommentare. Wie ich erwartete, spricht einiges für beide Möglichkeiten. Eigentlich ist es ja auch nur ein Problem für den leistungsschwächeren Schüler. Ich sagte ja, es ist lächerlich sich deswegen zu streiten. Natürlich besteht das "Problem" gar nicht, wenn der Schüler vernünftig mittels quadratischer Ergänzung arbeiten kann. Die "Realität 2022" in den Schulen ist aber leider eine andere. Aber das ist ein anderes Thema. Zum Problem mit Vieta: In der Schule treten sehr oft ganzzahlige Lösungen auf, insbesondere in den Anforderungsteilen ohne Hilfsmittel (TR, Formelsammlung). Ich empfehle meinen Schülern mittels Wurzelsatz des Vieta die möglichen ganzzahligen evtl. Lösungen zu testen. In der Normalform geht das schneller, in der allgemeinen Formel $0=ax^2+bx+c$ steckt das $a$ ja noch in dem $c$ mit drin, wodurch i.A. mehr ganzzahlige Kandidaten auftreten. Mehr meinte ich nicht. In den letzten Jahren habe ich vermehrt nach Hilfsbrücken gesucht, um wenigstens einigermaßen vernünftige Schülerergebnisse zu bekommen. Aber das ist das gleiche andere Thema (s.o.). OT: 1989 habe ich Anfang der Klasse 9 Zahlenfolgen, Reihen, Grenzwerte und vollständige Induktion unterrichtet. Alles Themen, die im sächsischen Lehrplan bis zum Abitur nicht mehr oder kaum vorkommen. Grenzwerte werden heute durch Einsetzen großer Werte in den TR ermittelt. 2022 beginnt man in Klasse 9 mit den Potenzgesetzen und einfachen Termumformungen. Wohlgemerkt beide Male in einer Klasse mit vertieftem Matheunterricht. Das andere Thema eben.


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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-06

Zur Begleitfrage, was die Herrschaften, die alljährlich aufs Neu' an Lehrplänen herumfummeln, wohl dabei an Drogen zu sich nehmen, mag ich nicht eingehen. 😉 Grundsätzlich gebe ich Dir, Diophant, Recht: »[...] die Schüler diejenige lernen bzw. verwenden zu lassen, mit der sie besser klarkommen.« Analytisch bin ich bei Dir, Nuramon. Ich selber gebe nun auch seit mittlerweile über 30 Jahren Nachhilfe in Mathematik; Realschule, Gym und Studium. Leidig finde ich, in Ergänzung zu Diophant, wie oft man ergänzen muss: »Oder halt, worauf sich die spezielle Lehrkraft kapriziert!« (also: was verlangt wird). Man macht jedoch auch nach Jahrzehnten noch neue Erfahrungen. So meinte Ende 2020 ein Gymnasiast: "Das lösen wir mit der Bach-Formel!". Ich war zunächst perplex. Seine Eselsbrücke: Das Plusminus vor der Wurzel sei klar. Bäche sähen aus wie Striche; deswegen jeweils ein Minus am Anfang des Zählers und zwischen den Komponenten des Wurzel- argumentes. Dort dann großes "B", weil es im Quadrat steht. Dann "ac" und davon vier, weil "Bach" vier Buch- staben habe. Und das "h" für "Halt: Halbieren!". Also die »Mitternachtsformel« (a-b-c-Formel). Ich persönlich bevorzuge letztere und übernormalisiere zu \(\frac{1}{2}\cdot x^2\;+\;b\cdot x\;+\;c\;=\;0\) , damit dann bei der Anwendung gleich der blöde Nenner verschwindet. Wenn bei der Nachhilfe gesondertes Interesse besteht, und auch Zeit ist, behandele ich am liebsten zunächst die »Mitternachtsformel« als weiterführende Erkenntnis aus quadratischer Ergänzung, zeige dann, dass nach Normalisierung die p-q-Formel als Spezialfall "vom Tisch fällt", und gehe dann noch kurz auf "scharfes Hinschauen" ein, also Koeffizientenvergleich und Vieta. Was mir in jüngerer Zeit gefällt, ist, dass sich doch einige Nachhilfeschüler dann auch mit gewecktem Interesse wenigstens den einschlägigen Wikipedia-Artikeln etc. zuwenden, und so das Internet auch rational nutzen. 😉


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Wario
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-06

\quoteon(2022-05-06 13:19 - stpolster im Themenstart) Es geht um die Lösung quadratischer Gleichungen (Unterrichtsstoff 9.Klasse) der Form $0 = ax^2+bx+c$ mit $a \neq 1$. Die eine "Fraktion" beharrt auf der Division mit $a$, d.h. die Normalform $0=x^2+px+q$ und die Verwendung von \[ x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \] die andere unbedingt auf der "Mitternachtsformel" (meiner Meinung nach ein blöder Name) \[ x_{1;2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] und verwendet dies auch im Fall $a=1$. \quoteoff Die abc-Mitternachtsformel schreibt man normalerweise als einen Bruch, also $x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. (Zwischen der Nummer kenne ich den Schrägstrich [der hier vermutlich angenehmer zu schreiben ist], wenngleich Komma oder Strichpunkt grundsätzlich korrekter ist.) Die pq-Formel $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$ hat oft den Vorteil, das sie bei allgemeiner bzw. Buchstabenrechnung zu einfacheren Ausdrücken führt. PS: Zu meiner Zeit sollte man schlicht beide Versionen lernen (sowieso wurde das je nach Fach(lehrer) [M, Ph, Ch, ETK etc.] verschieden gehandhabt); wobei man vor Ansatz mit einer Lösungsformel erstmal · $x_1 + x_2 =-p$ (Merkhilfe: "$p$ gehört zu Plus. Wo das Plus steht, steht auch das Minus.") · $x_1 \cdot x_2 =q$ den Satz von Vieta testen sollte.


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stpolster
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06

\quoteon(2022-05-06 17:15 - cramilu in Beitrag No. 7) Ich persönlich bevorzuge letztere und übernormalisiere zu \(\frac{1}{2}\cdot x^2\;+\;b\cdot x\;+\;c\;=\;0\) , damit dann bei der Anwendung gleich der blöde Nenner verschwindet. \quoteoff Das ist eine sehr schöne Idee. Damit wird \[ x_{1;2} = -b \pm \sqrt{b^2-2\cdot c} \] Interessant. Danke Steffen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Man könnte natürlich auch gleich etwas "geometrischer" an die Sache herangehen und die Formel in der Form $$ x=m\pm \sqrt{m^2-p} $$ verwenden. Siehe dazu auch hier. LG Nico\(\endgroup\)


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co2357
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-06

Hallo an alle, einen Streit darüber, ob \(pq\)- oder \(abc\)-Formel, halte ich für irreführend, außer er würde als soziales Phänomen betrachtet. Doch sicher wäre es interessant, eine Deutschlandkarte mit der häufigsten regional genutzten Formel zu erstellen und auch Didaktiken anderer Länder einzubeziehen. Jedenfalls wurde durch nzimme10 in No. 1 angedeutet, dass beide Formeln gleichbedeutend sind, weil ihre entsprechenden quadratischen Gleichungen unmittelbar auseinander hervorgehen. Überhaupt scheint mir die Bedeutung der Formeln aus einem historischen Interesse gewachsen, einen geschlossenen Term für alle Lösungen anzugeben. Hinzu kommt die Fixierung des Unterrichts auf das Regellernen (Duktus: "Du musst nur die Formel anwenden oder das Lied von DorFuchs x-mal anhören"). Um bei den Nachteilen einmal zu bleiben: Die isolierten Formeln müssten streng genommen immer in Anführungszeichen stehen, denn sie suggerieren, dass es immer eine Lösung gibt. Dass es höchstens 2 Lösungen gibt und damit ein dreifaches Lösungsverhalten, muss Schülern gesondert vermittelt werden. Und überhaupt ermöglicht das Plus-Minus-Zeichen erst das Zusammenführen zweier Formeln, die zusammen für 0, 1 oder 2 Lösungen stehen können - Uff! Außerdem sind bestimmte quadratische Gleichungen einfacher ohne Formelanwendung zu lösen, und somit entpuppt sich die Formel wieder nur als praktischer Sonderfall. Zu den positiven Seiten beider Formeln gehört, dass sie eine aufwendige Herleitung mittels quadratischer Ergänzung, der Kenntnis von \(\sqrt{x^2}=|x|\) und der Betragsdefinition umgehen. Die Herleitung ist ein kleines Kunststück, die jedem Schüler einmal gezeigt werden sollte (für die \(pq\)-Formel übersichtlicher). Weiterhin liefert der Summand des Terms mit nur einem Vorzeichen immer die Mitte der beiden Nullstellen, falls existent, und in allen Fällen den \(x\)-Wert der Symmetrieachse und des Hoch- bzw. Tiefpunkts. Es gibt eine Merkgeschichte für \(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\): "Einem Bär wird schlecht, er taumelt hin und her, stolpert über eine Wurzel, sieht alles doppelt, erbricht vier Ananas nebst Citrusfrüchten, zerteilt das Erbrochene und findet zwei weitere Ananas." (frei nach Christiane Stenger, Gedächtnisweltmeisterin) Für einen Merkspruch für die \(pq\)-Formel wäre ich sehr dankbar. Grüße, Christian


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stpolster
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06

Eine interessante geometrische Lösung ist (nützt aber beim eigentlichen Problem der numerischen Formeln nichts): Ist die Gleichung $0 = x^2 + px + q$ gegeben, so zeichnet man in ein Koordinatensystem einen Kreis, der zum einen durch den Punkt $B(0 ; 1)$ zum anderen durch $A(-p ; q)$ verläuft. Dieser Kreis schneidet dann evtl. zweimal die Abszissenachse. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55482_Bild1.png Diese Schnittstellen sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion, d.h. also die Lösungen der Gleichung. Dieses Verfahren wurde schon im antiken Griechenland erdacht. In heutiger Schreibweise hat der Kreis die Gleichung: \[ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2}{4} + \frac{(q-1)^2}{4} \] Für $y = 0$ ergibt sich dann für die Abszissen $x$ die Lösungsformel. Der beschriebene Kreis wird seit 1817 auch Carlyle-Kreis genannt, nach Thomas Carlyle (1795–1881). Der österreichische Ingenieur Eduard Lill beschrieb unabhängig den Kreis 1867 in einem grafischen Lösungsverfahren. LG Steffen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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Wario
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-06

\quoteon(2022-05-06 20:08 - co2357 in Beitrag No. 11) Es gibt eine Merkgeschichte für \(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\): "Einem Bär wird schlecht, er taumelt hin und her, stolpert über eine Wurzel, sieht alles doppelt, erbricht vier Ananas nebst Citrusfrüchten, zerteilt das Erbrochene und findet zwei weitere Ananas." (frei nach Christiane Stenger, Gedächtnisweltmeisterin) Für einen Merkspruch für die \(pq\)-Formel wäre ich sehr dankbar. \quoteoff Da wäre es für mich schwerer, mir das Gedicht zu merken, als die Formel. Ich habe anfangs einfach jedesmal die pq-Formel in allgemeiner Form hingeschrieben, wenn eine quadratische Gleichung zu lösen war. Und so könnte ich das dann bald auswendig. Warum ist die pq-Formel auch besser? Weil man sie leichter herleiten kann: Wir wissen: $ \textsf{(1)}~~ (A+B)^2 =A^2+2AB+B^2$ und $ \textsf{(2)}~~ \sqrt{u^2} =|u|$ und $ \textsf{(3)}~~ |y| =a ~\Leftrightarrow~ y_{1/2} = \pm a$ (was alles vorab zu klären war). $ax^2 +bx +c =0$ $\Leftrightarrow~ x^2 +\underbrace{\frac{b}{a}}_{=p}x +\underbrace{\frac{c}{a}}_{=q} =0 $ $x^2 +px +q =0$ $\Leftrightarrow~ x^2 +px =-q$ $\Leftrightarrow~ x^2 + 2\left(\frac{p}{2}\right)x =-q$ $\Leftrightarrow~ x^2 + 2\left(\frac{p}{2}\right)x +\left(\frac{p}{2}\right)^2 =-q +\left(\frac{p}{2}\right)^2 $ $\overset{\textsf{(1)}}{\Longleftrightarrow}~ \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 =\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q $ $\overset{\textsf{(2)}}{\Longleftrightarrow}~ \left| x+\frac{p}{2} \right| =\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q } $ $\overset{\textsf{(3)}}{\Longleftrightarrow}~ x_{1/2} +\frac{p}{2} =\pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q } $ $\Leftrightarrow~ \underline{\underline{ x_{1/2} =-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q } }} $ Dennoch Merkhilfe: $\def\AAA{\textsf{dieser}\\ \textsf{Ausdruck}} \def\BBB{\textsf{steht hier}\\ \textsf{im Quadrat}} x_{1/2} =\underbrace{-\frac{p}{2}}_{\AAA} \pm \sqrt{\smash[b]{ \underbrace{\left(\frac{p}{2}\right)^2}_{\BBB} -q}} $ Wenn man das alles mit der Version $ x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} =0 $ macht, wird es weit aufwendiger das aufzuschreiben.


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Triceratops
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-06

Zur Herleitung der Lösungsformel (ob nun pq- oder abc-Formel) braucht man $\sqrt{u^2}=|u|$ nicht (@co2357, @Wario). Tatsächlich sollte die Betragsfunktion hier gar nicht vorkommen müssen, weil die Herleitung in jedem kommutativen Ring $R$ funktioniert, in dem $2 \in R^{\times}$ gilt, und dadurch sogar einfacher wird (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1939 / Verallgemeinere den Kontext). Man benutzt hierbei die Definition einer Wurzel $\sqrt{r}$ von $r \in R$ als ein Element in einer Erweiterung von $R$ mit $\sqrt{r}^2 = r$. Es kann hier mehrere Wurzeln geben, manchmal sogar unendlich viele, aber bei Integritätsringen natürlich höchstens zwei (auch das hat nichts mit einer – in diesem Kontext ohnehin nicht zu definierenden – Betragsfunktion zu tun, sondern eben mit der Nullteilerfreiheit). Mir ist bewusst, dass das jetzt nicht wirklich Schulmathematik ist, aber ich wollte es dennoch einmal erwähnt haben. Der Vorteil solcher Verallgemeinerungen von $\IR$ auf beliebige kommutative Ringe liegt auf der Hand: Bei quadratischen Gleichungen über $\IC$ oder über endlichen Körpern zum Beispiel muss man nicht von vorne anfangen (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1518). Es ist auch wichtig, zu erkennen, dass der "glückliche Zufall", dass man in $\IR$ immer eine bevorzugte Wurzel finden kann (nämlich diejenige, die $\geq 0$ ist), erstens bei der Lösungsformel ohne Belang ist und es zweitens es überhaupt kein Problem darstellt, dass andere Ringe diese Eigenschaft nicht haben: es ist die Regel. Die Herleitung sieht dann (wie erwartet) so aus: Für $p,q \in R$ gilt $x^2+px+q =x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q = (x + \frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q.$ Daher: $x^2+px+q=0 \iff (x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q \iff x + \frac{p}{2} = \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} \iff x = -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ Wie gesagt ist hier eine Wurzel gemeint. Die Gleichung liest sich demnach so: $x$ ist $-\frac{p}{2}$ plus eine Wurzel von $(\frac{p}{2})^2 - q$. Daher verschwindet hier das "Vorzeichen", was man ansonsten hinschreibt. Alternativ kann man $\sqrt{r}$ als die Menge aller Wurzeln definieren und dann mit Mengen wie üblich elementweise rechnen. Für $a,b,c \in R$ mit $a \in R^{\times}$ ist $ax^2+bx+c = a(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = 0 \iff x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$, sodass die pq-Formel hier ebenfalls greift und zur abc-Formel führt. Wenn $a \in R$ allerdings keine Einheit ist, kommt man mit diesem Ansatz nicht weiter. In diesem Sinne sind quadratische Gleichungen der Form $ax^2+bx+c=0$ – in dieser Allgemeinheit – tatsächlich schwieriger zu lösen als quadratische Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$. Um mal zum eigentlichen Thema des Threads zu kommen: Ein schönes Beispiel, wo die abc-Formel praktischer als die pq-Formel ist, ist die Berechnung der Schnittmenge einer (durch zwei Punkten gegebenen) Geraden mit einem Kreis im $\IR^2$. Hier wäre die Division durch den Leitkoeffizienten der entstehenden quadratischen Gleichung ein Umweg.


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Wario
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-07

Die Frage ist weniger, ob man $\sqrt{u^2}=|u|$ zwingend braucht, sondern was alles an Hintergründen zu klären ist. Und wenn da Erkenntnisse aus dem Mathematikstudium vorangehen müssen, führt das den Schüler über seine Grenzen. Didaktisch wird das öfters eh anders gemacht: Man betrachtet die sogen. "Reinquadratische Gleichung" $x^2 =a$, die für positives $a$ die Lösungen $x=\sqrt{a}$ oder $x=-\sqrt{a}$ hat (was eine Probe sofort bestätigt). Und fasst das zu $ x^2=a ~\Leftrightarrow~ x_{1/2}=\pm\sqrt{a} $ zusammen; und nennt das ziehen der sogen. "Plusminuswurzel". Also etwa $x^2 +px +q =0$ nach #13 wir gehabt bis $ \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 =\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q ~~~|~\textsf{Plusminuswurzel ziehen}$ $\Leftrightarrow~ x_{1/2} +\frac{p}{2} =\pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q } $ $\Leftrightarrow~ \underline{\underline{ x_{1/2} =-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q } }} $


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Qing
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-05-07

\quoteon Didaktisch wird das öfters eh anders gemacht [...] ziehen der sogen. "Plusminuswurzel" \quoteoff Ich halte es aus didaktischen Gründen für schwierig eine "Plusminuswurzel" zu ziehen. Der Irrglaube, dass etwa $\sqrt{4}=\pm 2$ ist, ist auch unter Studienanfängern der Mathematik sehr weit verbreitet, und kommt mit ziemlicher Sicherheit daher, dass man bei der Lösung von quadratischen Gleichungen eben dieses 'Plusminus' hat. Hier ist aber das eigentliche Problem, dass der Unterschied der Fragen: 1. Was ist die Lösungsmenge der Gleichung $x^2=4$ und 2. Was ist $\sqrt{4}$ nicht klar ist, oder erkannt wird. [Innerhalb der Uni lässt sich dieses Missverständnis aber meiner Ansicht nach ganz gut benutzen, um den Funktionsbegriff und "Wohldefiniertheit" zu diskutieren.] In dem Zusammenhang ist der Beitrag von Triceratops sehr lehrreich. Allerdings würde ich im Kontext des Schulunterrichts wohl schon darauf eingehen, dass $\sqrt{x^2}=|x|$ gilt, und das Plusminus im Endeffekt von der Fallunterscheidung kommt, die der Betrag notwendig macht. Ansonsten bin ich aufgrund meiner schulischen Erziehung auch Fraktion pq-Formel, weil ich eben damit "großgeworden" bin. Grundsätzlich erledigt sich aber wohl jegliche Diskussion der Art, welche Formel nun besser ist. Aller Pro, oder Kontraargumente verschwinden wohl, wenn man die eine, oder andere Formel nur hinreichend oft benutzt, wenn man sich denn für eine entschieden hat.


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co2357
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-05-07

1.) Zu der generellen Favorisierungs-Frage, die mir weiterhin verfehlt, wenn nicht sogar borniert erscheint, könnte man so spezifisch argumentieren: Die \(pq\)-Formel wird für Sch auch einfacher, wenn \(p\) gerade und \(q\) ganzzahlig ist; die \(abc\)-Formel, wenn \(a,b,c\) ganzzahlig ist (Der Grad der Einfachheit lässt sich freilich weiter steigern). Ironischerweise sind die Aufgabenstellungen meist so verballhornt, dass die Gleichung für die favorisierte Lösungsformel erst passend gemacht werden muss und trotzdem alles nur so vor Brüchen trieft und sich krönend in irrationalen Zahlen ergießt. Ziel sollte eher sein, die Einfachheit & Schönheit den Sch im Erkennen von Lösungen zu vermitteln. So würde es doch zunächst genügen, nur quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen (im Sichtbereich "nahe 0") und ganzzahligen Koeffizienten anzugeben, wobei mögliche Lösungen von den Teilern des Absolutglieds entnommen werden durch systematisches Prüfen. Die 1 als Lösung sollte dabei immer zuerst abgeprüft werden, als mögliche Nullsumme der Koeffizienten. 2.) Der Wurzelausdruck bzw. das Plus-Minus-Zeichen erscheinen nun auch als gemeinsames Merkmal oder Manko der Formeln. Eine natürliche Herangehensweise wäre sicher so etwas zu sagen: Für \(x\geq0\) schreiben wir \(\sqrt{x}\) als eine Zahl \(a\), welche \(a^2=x\) löst. Sch-freundliches Beispiel: \(\sqrt4\) bezeichnet eine Zahl, welche mit sich selbst multipiziert 4 ergibt, d.s. \(+2\) und \(-2\), falls \(\mathbb{Z}\) bekannt und auch zu Grunde gelegt wird. Damit verknüpft sind wiederum unterschiedliche Varianten durch die Wahl der Zahlbereiche für \(x\) und auch \(a\). Aber so ließe sich auch schon in der Grundschule das Thema anpacken: \(3^2=9\) und \(\sqrt{9}=3\). Allerdings wird nun mal der Ausdruck \(\sqrt{x}\) identifiziert als eindeutig bestimmte nicht-negative Lösung der Gleichung \(a^2=x\) für eine reelle Zahl \(a\geq0\), ein Thema für sich. Dieser für Sch durchaus irritierende Sachverhalt zeigt wiederum, dass nur beide Lösungsformeln zusammen in ihren Verständnisvor- und -nachteilen betrachtet werden sollten. Es wäre eine Form der Höflichkeit, würde die \(pq\)-Formel (\(abc\)- analog) für Sch zuallererst so geschreiben: Die Gleichung \(0=x^2+px+q\) hat entweder - 2 Lösungen, \(-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\) und \(-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\), - 1 Lösung, \(-\frac{p}{2}\), - oder keine Lösung. Ganz so wie eine Parabel 2, 1 oder keine Schnittstelle(n) mit der Abzisse hat und auch nicht dieser Sachverhalt als ein einziger Graph dargestellt werden kann. Und schließlich lässt sich alles auf gekonnte Weise als ein Ausdruck schreiben. Nun erscheint die \(pq\)-Formel als clevere und sparsame Kurzschreibweise für drei Fälle.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 01:02 - Wario in Beitrag No. 15) Die Frage ist weniger, ob man $\sqrt{u^2}=|u|$ zwingend braucht, sondern was alles an Hintergründen zu klären ist. Und wenn da Erkenntnisse aus dem Mathematikstudium vorangehen müssen, führt das den Schüler über seine Grenzen. \quoteoff Ich benutze und unterrichte zwar die pq-Formel, aber die Herleitung der abc-Formel benutzt doch nun überhaupt keine anderen Erkenntnisse als die pq-Formel. Siehe für die Herleitung hier den Beitrag von Andrè Nicolas. \quoteon(2022-05-07 01:02 - Wario in Beitrag No. 15) Didaktisch wird das öfters eh anders gemacht: [...] \quoteoff Wo hast du das denn her? "Plusminuswurzel" habe ich noch nie gehört oder gelesen. Gruß, Küstenkind @Steffen: Schön, dass du wieder hier bist! Ich hoffe es geht dir gut! LG


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-07

Meine deutschen Nachhilfeschüler kennen quasi ausschließlich die pq-Formel und alle bisherigen österreichischen Schüler die abc-Variante. Den Begriff "Mitternachtsformel" habe ich dabei schon für beide Versionen kennengelernt. Ich finde ihn übrigens wunderbar. Die Vorstellung, dass ein leicht sadistisch angehauchter Rohrstockpädagoge die Kinder um Mitternacht aus den Betten wirft und verhasste Formeln aufsagen lässt, ist so herrlich unzeitgemäß politisch inkorrekt. Das "triggert" sozusagen meinen inneren Wilhelm Busch, um wenigstens einen modischen Anglizismus überzustrapazieren. Gruppenpsychologisch ist es recht interessant, dass es dazu zu erbittertem Disput mit verhärteten Fronten kommt. Das erinnert an das Phänomen, dass bei manch einer Teamsitzung länger über die Anschaffung einer Kaffeemaschine für 300€ diskutiert wird, als über die Investition in eine komplizierte Fertigungsmaschine zu 300000€. Bei trivialen Problemen kann und mag eben jeder seinen persönlichen, mittelschafen Mostrich dazugeben. Edit: Die Ironie, dass ich hier im Thread selbst einen derart inhaltsarmen Beitrag verfasse, ist mir durchaus bewusst. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


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cramilu
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-05-07

@DerEinfaeltige: Genau mein Humor! 😂 haegar90 hatte Themen wie dieses einst treffend als "Senf-Thread"[s] bezeichnet. Abgesehen davon, dass der Main-Linie nun wohl neuerlich auch noch das Etikett "a-b-c-Äquator" angeheftet werden muss, weil den Lehrenden nördlich davon der Intellekt abgeht, mit mehr als zwei Formelvariablen klarzukommen, scheint immerhin "Mitternachtsformel" konsensgeeignet. Allgemein gilt mir: Ergründe zunächst, was den Schülern am besten hilft, und unterstütze sie dann möglichst verständnisfördernd! Formeltechnische Prinzipienreiterei ist Pharisäertum. Ich selber bin hier übrigens nicht nur der einzig[!]st[!]e sarkasmusberechtigte, sondern auch Oberpharisäer.


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Wario
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-05-07

Diese Diskussion ist recht alt, aber eigentlich gar keine Debatte; da man letztlich sowieso beides kennen muss (verschiedene Literatur, verschiedene Fachlehrer, ... etc.). Ich kenne das so, dass man (auswendig) wissen sollte, wann man welches Verfahren anwenden sollte; unter anderem eben eine der beiden pq- bzw. abc-Lösungsformelversionen - etwa so oder so ähnlich: $ \sffamily \newcolumntype{L}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.4\linewidth}<{\rule{0mm}{1.25em}}} \def\FI{\par $x^2=a$} \def\LI{$\mathbf{a \geq 0}:$ \emph{Plusminuswurzel} ziehen (oder Betragsgleichung lösen): $x_{1/2} =\pm \sqrt{a}$ \par \vspace{1em} $\mathbf{a < 0}:$ keine Lösung} \def\FII{Fehlendes Absolutglied $c=0:$ \par $ax^2+bx=0$} \def\LII{Direktes Auflösen: $x(ax+b)=0$ \par $x=0 =x_1$ \par $~\lor~ ax+b=0 ~\Leftrightarrow~ x_2 =-\frac{b}{a}$} \def\FIII{Fehlendes lineares Glied $b=0:$ \par $ax^2 +c=0$} \def\LIII{Direktes Auflösen: $x^2=-\frac{c}{a}$ \par und dann gemäß (1)} \def\FIV{$\cdot~a=1$ oder \par $\cdot~ b,c$ durch $a$ teilbar oder \par $\cdot~ a,b,c$ keine ganzen Zahlen, also Bruch- bzw. reelle Zahlen \par \vspace{1em} Normieren $x^2+px+q=0$ mit $p=\frac{b}{a}$ und $q=\frac{c}{a}$ } \def\LIV{Satz von Vieta testen: \par $\cdot~ x_1 + x_2 =-p$ \par $\cdot~ x_1 \cdot x_2 =q$ \par \vspace{1em} Ansonsten: \par $pq$-Lösungsformel: \par $x_{1/2} =-\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 -q }$ \par} \def\FV{$a,b,c$ ganze Zahlen, aber $b,c$ nicht durch $a$ teilbar; und $a\neq 1$: \par $ax^2+bx+c=0$} \def\LV{$abc$-Lösungsformel: \par \vspace{1em} $x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$} \def\FVI{$a(x-w_1)(x-w_2)=0$} \def\LVI{Direktes Ablesen: \par $x_1=w_1$ und $x_2=w_2$} \def\FVII{$a(x-x_S)^2 +y_S=0$} \def\LVII{Direktes Auflösen: \par $(x-x_S)^2 =-\frac{y_S}{a}$ und dann gemäß (1) } \begin{tabular}{l | L | L} \hline \multicolumn{3}{l}{\bfseries Reinquadratische Gleichung $x^2=a$}\\ \hline \textsf{\bfseries\#} & \textsf{\bfseries Fall} & \textsf{\bfseries Lösungsweg} \\ \hline (1) & \FI & \LI \\ \hline \multicolumn{3}{l}{\bfseries Allgemeine quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$} \\ \hline (2) & \FII & \LII \\ \hline (3) & \FIII & \LIII \\ \hline (4) & \FIV & \LIV \\ \hline (5) & \FV & \LV \\ \hline \multicolumn{3}{l}{\bfseries Faktorisierte Form der quadratischen Gleichung $ a(x-w_1)(x-w_2)=0$} \\ \hline (6) & \FVI & \LVI \\ \hline \multicolumn{3}{l}{\bfseries Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung $ a(x-x_S)^2 +y_S=0$} \\ \hline (7) & \FVII & \LVII \\ \hline \end{tabular} % \begin{tikzpicture} \pagecolor{yellow!55} $ Das wäre so die ideale Wunschvorstellung gewesen. Nicht wenigen war das natürlich viel zu viel Mühe; diese arbeiteten stumpf (in allen Fällen) mit der Lösungsformel, typischerweise die abc-Version. PS: Die Fälle (6) und (7) sind zu erwähnen, da das Schüler sonst ausmultiplizieren, um eine Lösungsformel anwenden zu können. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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Wario
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 11:12 - Kuestenkind in Beitrag No. 18) \quoteon(2022-05-07 01:02 - Wario in Beitrag No. 15) Didaktisch wird das öfters eh anders gemacht: [...] \quoteoff Wo hast du das denn her? "Plusminuswurzel" habe ich noch nie gehört oder gelesen. \quoteoff Da kann ich aber nichts dafür. Was sagt Google? Wie man es formal korrekt machen kann, steht in #13. Aber dann wieder: "Oh Gott, 'Betragsgleichung'! Ich werd das nie verstehen..." oder so ähnlich. Offensichtlich geht es bei der (selbsterklärenden) Bezeichnung nicht darum, einen höchstformalen, wohldefinieren, mathematischen Begriff zu schaffen, sondern Schülern eine Merkhilfe mitzuteilen, weil sonst Fehler der folgenden Art auftreten: Es war die Gleichung $x^2+23=72$ zu lösen. Von 23 Schülern gab gerade mal ein einziger die beiden Lösungen an (und der lies es sich nicht nehmen, das blödsinnig aufzuschreiben). Alle anderen hatten nur $x=7$ ausgerechnet.


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co2357
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-05-07

\quoteon(2022-05-07 21:53 - Wario in Beitrag No. 22) Es war die Gleichung $x^2+23=72$ zu lösen. Von 23 Schülern gab gerade mal ein einziger die beiden Lösungen an (und der lies es sich nicht nehmen, das blödsinnig aufzuschreiben). Alle anderen hatten nur $x=7$ ausgerechnet. \quoteoff "Plusminuswurzel" ist nur eines von vielen didaktogenen Phänomenen, weil es undurchschaubar bleibt und Mathe wie einen Zauber-Husch darstellen lässt. Wenn bei der Gleichung $x^2+23=72$ der Mehrzahl der Sch nicht \(7\) und \(-7\) entgegenspringt, woran liegt das? An der Aufgabenstellung, was ist eigentlich \(x\)? Und warum lernen die Sch nicht, Grundschulaufgaben im Zahlraum 100 und dass Gegenzahlen die gleiche Quadratzahl besitzen im Nu zu sehen? Es verhält sich ähnlich wie mit den 2-step-equations wie \(2x+1=3\), wenn Summanden und Faktoren "hin- und hergeschoben" werden, anstatt einfach wieder elementare Grundschulaufgaben zu sehen. Alles Didaktogene läuft ab unter den besten Absichten, weil es die Sch ja nur so besser verstehen würden.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-05-07

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte 😎 Was bedeutet "didaktogen"? mfg thureduehrsen


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co2357
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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-05-07

Nachdem ich mich mehrfach versichert hatte, keinen Rechtschreibfehler geliefert zu haben, musste ich ganz herzlich lachen. Besser eine Suchmaschine und kein Verzeichnis vorsortierter Wörter. Didakto-gen ist aus 2 grch. Bestandteilen und heißt so viel wie "durch das Lehren verursacht", so wie endo-gen "von innen verursacht" heißt, und meint Irrtümer, welche der Lehrer ursächlich in den Schüler induziert.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.26, eingetragen 2022-05-07

Aber pathogen bedeutet "Krankheiten verursachend" und nicht "durch Krankheiten verursacht". Das Suffix -gen ist also multifunktional. 🙃 Aber "durch das Lehren verursachte Fehlvorstellung" für Dinge wie die Plusminuswurzel... das gefällt mir.... mfg thureduehrsen


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Wario
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  Beitrag No.27, eingetragen 2022-05-08

Sprich einfach Deutsch und sage etwa "lehrtechnisch verschuldet" o.ä., um solche Nebendiskussionen zu vermeiden. \quoteon(2022-05-07 22:51 - co2357 in Beitrag No. 23) "Plusminuswurzel" ist nur eines von vielen didaktogenen Phänomenen, weil es undurchschaubar bleibt und Mathe wie einen Zauber-Husch darstellen lässt. Wenn bei der Gleichung $x^2+23=72$ der Mehrzahl der Sch nicht \(7\) und \(-7\) entgegenspringt, woran liegt das? An der Aufgabenstellung, was ist eigentlich \(x\)? Und warum lernen die Sch nicht, Grundschulaufgaben im Zahlraum 100 und dass Gegenzahlen die gleiche Quadratzahl besitzen im Nu zu sehen? Es verhält sich ähnlich wie mit den 2-step-equations wie \(2x+1=3\), wenn Summanden und Faktoren "hin- und hergeschoben" werden, anstatt einfach wieder elementare Grundschulaufgaben zu sehen. Alles Didaktogene läuft ab unter den besten Absichten, weil es die Sch ja nur so besser verstehen würden. \quoteoff Das sind schon sehr pädagogische Überlegungen (oder Ideale), dieses Prinzip: "Denke doch erstmal drüber nach, anstatt dich immerzu zu fragen, welche Schritte ich ausführen muss..." Sowas müsste aber an sich in der Grundschule bereits kultiviert werden. Siehe hier (ab ca. 3:00) in einem DDR-Grundschulbuch, wo das intuitive Rechnen mit Variablen (ab der 1. Klasse) geübt wird. Man rechnet eigentlich mit Buchstaben. Man verwendet Zahlenbeispiele nur, weil der Schüler dann das beruhigende Gefühl hat, dass er irgendwas in den Taschenrechner eingeben kann. Ist $ax+b=c$ oder $x^2+b=c$ zu lösen, sind tatsächlich die verfahrenstechnischen Schritte und die richtigen rechnerischen Werkzeuge gefragt. Im zweiteren Falle $\sqrt{x^2} =|x|$ oder eben die berüchtigte "Plusminuswurzel". Zur "Plusminuswurzel" ist mir klargeworden: Bei dem Realschulabschluss, den ich einmal machte, gab es gar keine Betragsgleichungen, wohl aber eine quadratische Gleichung. Zwangsläufig bildete sich, nicht wörtlich, aber sinngemäß: "Wir fassen die beiden Lösungen mit der 'Plusminuswurzel' zusammen.". Und das \quoteon(2022-05-07 01:44 - Qing in Beitrag No. 16) Der Irrglaube, dass etwa $\sqrt{4}=\pm 2$ ist... \quoteoff ist eben auch keine Plusminuswurzel. Bei der Plusminuswurzel steht das Plusminus vor der Wurzel und nicht danach. Und es ist ja auch nichts außergewöhnliches zwei konjugierte Lösungen mit dem Plusminuszeichen zusammenzufassen. Und da das ja gefragt wurde, woher "Plusminuswurzel" käme, kann ich nur sagen, dass ich den Begriff in der selben Gegend hörte, wo auch der Begriff "Mitternachtsformel" entstand (was nicht heißt, dass die Begriffe auf diese Region beschränkt sind). Ganz wichtig, nicht wahr... Wer hat es gesagt? Wo kommt es her? Wenn es der eine sagt ist es gut, wenn der andere das selbe sagt, ist es schlecht. Ganz großartiger Zeitgeist heutzutage... Das hier \quoteon(2022-05-07 11:26 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 19) Den Begriff "Mitternachtsformel" habe ich dabei schon für beide Versionen kennengelernt. Ich finde ihn übrigens wunderbar. Die Vorstellung, dass ein leicht sadistisch angehauchter Rohrstockpädagoge die Kinder um Mitternacht aus den Betten wirft und verhasste Formeln aufsagen lässt, ist so herrlich unzeitgemäß politisch inkorrekt. \quoteoff ist im Übrigen weitgehend Unsinn; denn: Ich habe Leute kennengelernt, die da persönlich dabei waren (wohl zwischen 1954 bis 1966). Auch spätere, die nicht mehr dabei waren, erzählten sich diese Geschichte ebenfalls. Der Schulleiter Schweizer, riss nicht Leute nachts aus dem Schlaf und fragte sie ab, er lies Schüler um Mitternacht mit Fackeln auf den Schulhof kommen; und -gewissermaßen in einer Art Ritual- Formeln aufsagen. Dazu ist zu bemerken: · Wer da nicht teilnehmen konnte oder wollte, wäre -auch damals- schlecht dazu zu zwingen gewesen. · Es handelt sich um ein technisch-naturwissenschaftliches Gymnasium. Das war damals nicht einfach eine tolle Benennung. Die entsprechenden Fächer hatten deutliche Unterschiede zu sprachlichen oder humanistischen Gymnasien (anfänglicher Mathe Uni-Stoff usw.). · Zu beachten: Bereits in unmittelbarer Nachbarschaft gab es zwei nicht-technische Gymnasien; auf die ein Schüler bei Bedarf hätte wechseln können. · Wer dort (damals) also hinging, wusste was ihn erwartet und hatte normalerweise persönliche Ambitionen; und wollte es können. Da wäre ein Null-Bock-auf-Mathe-Mensch nicht freiwillig hingegangen, das hätte keinen Sinn gemacht, angesichts der großen Unterschiede. · So gesehen war es für einen jungen Kerl sogar eher ein abenteuerlicher Akt, dessen Inhalt eher im Gedächtnis blieb, als gelangweilt im Klassenzimmer irgendwas aufzusagen. · Das ist dem Didaktiker, der überregionalen Ruf erlangte, sogar anzurechnen, dass er da seine Freizeit opferte und in einem völligen Nichtstandradverfahren schwierige Inhalte lehrte.


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\quoteon(2022-05-08 09:24 - Wario in Beitrag No. 27) Ist $ax+b=c$ oder $x^2+b=c$ zu lösen, sind tatsächlich die verfahrenstechnischen Schritte und die richtigen rechnerischen Werkzeuge gefragt. Im zweiteren Falle $\sqrt{x^2} =|x|$ oder eben die berüchtigte "Plusminuswurzel". \quoteoff Geht auch ohne. Der Anspruch ist kein Ideal, nicht pädagogisch, sondern schlichtweg fundamental: "Sieh selbst, was ich sehe!" Im besten Sinne! In der Tradition auch als pädagogischer Eros bekannt, als Weiter-Gabe. \[\underbrace{a\overbrace{x}^{\frac{c-b}{a}}}_{c-b}+b=c,\quad\underbrace{\overbrace{x}^{\sqrt{c-b};-\sqrt{c-b}}\,^2}_{c-b}+b=c\] Die Lösungsterme zeigen sich hier bereits, ich möchte fast sagen, schauen aus der Gleichung mich an, und das andere auch sehen zu lassen, ist der Anspruch. Aber das geht natürlich nicht bei allen Gleichungen. Sicher gibt es viele gute andere Wege, insbesondere kleinschrittige, die auf die schwer durchschaubaren Gleichungen vorbereiten sollen, und auch eine "Plusminuswurzel" hat ihre Berechtigung, schon allein weil sie übliche Praxis geworden ist, eine hübsche Kurzschreibweise. Doch lässt sich der Vorwurf der Bevormundung durch den Lehrer nicht ganz abstreiten. Immerhin geht es zuerst um den Erkenntnisgewinn und nicht um die Anhäufung von Rechenvorschriften. Der ausufernde Umgang mit der "Plusminuswurzel" deutet eher darauf hin, dass der Lehrer es den Schülern einfach macht, um Defizite bei sich zu kompensieren. Viel anregender wäre eine kontrastierende Übersicht ohne "Plusminuswurzel": \[(\sqrt{x})^2=x,\quad\sqrt{x^2}=|x|\] Das verbunden mit einem Ratespiel, hier für die 2. Gleichung: Ich denke mir eine (ganze) Zahl \(x\), quadriere sie, ziehe daraus die Wurzel und erhalte 25. Welche Zahl habe ich mir gedacht? (subjektive Sichtweise) Und jetzt aber: Welche Zahlen kommen überhaupt in Betracht?


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Ixx
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  Beitrag No.29, eingetragen 2022-05-08

Moin, um die Ausgangsfrage (Vor-/Nachteile beider Formeln) aus meiner subjektiven Sicht zu beantworten: Aufgrund geringerer Anzahl an vorkommenden Variablen bzw. Termen erscheint mir die pq-Formel etwas weniger fehleranfällig in der Umsetzung. (Mit dem gleichen Grund sollte sie sich auch einfacher merken lassen.) Natürlich fordert sie vom Anwender erst einmal, dass die quadr. Gleichung auch normiert wird. Wer aber daran scheitert, das Einsetzen in die abc-Formel aber dennoch hinbekommen würde, der kann gut Algorithmen auswändig lernen, ohne deren Inhalt zu verstehen. Ich weiß nicht, ob wir diese Art des Denkens im Mathe-Unterricht auch noch befördern wollen... Ich stehe derzeit nicht im Schul-Kontext, würde aber wohl mit meinem derzeitigen Wissensstand das Lösen quadr. Gleichungen mittels quadr. Ergänzung einführen, bis die SuS dieses Verfahren verstanden haben und dann dies einmal allgemein machen, woraus dann pq- bzw. abs-Formel als Ergebnis erhalten wird. Dann würde ich sagen, dass diese Formeln das "Ergebnis" der quadr. Ergänzung darstellen, also sich zur beschleunigten Berechnung der Lösungen einer quadr. Gleichung eignen, indem man sich die Formeln merkt und dann nur noch in sie einsetzen muss. Und dann wäre ich völlig schmerzfrei, für welche sich die SuS entscheiden, oder ob sie bei dem gelernten Verfahren der quadr. Ergänzung bleiben.


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Gerhardus
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  Beitrag No.30, eingetragen 2022-05-13

Die p-q-Formel ist leichter zu merken, weil sie weniger Variablen enthält. Von den Gedächtnismerksätzen halte ich nichts, weil sie die Logik der Mathematik ignorieren. Aber wie löst man eine Gleichung ax² + bx + c = 0 ohne Formel? Man vereinfacht sie zur Normalform x² + px + q = 0. Ohne Lösungsformel lehrt die Schule die quadratische Ergänzung, die aber auch wieder eine Formel ist. Zur Lösung der Normalform ohne Formel hilft die Kenntnis, dass eine Gleichung der Form (x + a)² + b = 0 einfach lösbar ist, wenn die Wurzel aus -b existiert. Auflösen der Klammern führt zu x² + 2ax + a² + b = 0. Koeffizientenvergleich mit der Normalform führt zu a = p/2 und b = q - a². Die p-q-Formel liefert die Lösung natürlich sofort.


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  Beitrag No.31, eingetragen 2022-05-13

Die Unterschiede in den Verwendungsweisen beider Formeln sind marginal. Beide Formeln sind zwar inkompatibel wie Januar und Februar, aber immer aufeinander bezogen. Es handelt sich um eine Geschmacksfrage, die auch eher verquer-kindlich wirkt: "Was ist dein Lieblingsmonat, Januar oder Februar?" Als ob es nichts anderes gäbe. Siehe, wie zuvor erwähnt: \(\frac12x^2+bx+c=0\). Bei der Scheitelpunkform wäre aber eine "Formel" absurd. Würde es überhaupt in der Sache vorwärts gehen, müsste ein Gleichungs-Korpus der genutzten quadratischen Gleichungen erstellt werden zu einer bestimmten Quelle oder quellenübergreifend. Aber: Die unterrichtete Formel ist auch immer eine Voraussetzung der Aufgabenstellung, wenn der Aufgabensteller die Gleichung entsprechend leichter oder schwerer der Formel anpasst. Weiterhin spielen auch noch psychische Fehler und subjektive Algorithmen der Schüler sowie didaktogene Vorstellungen des Lehrers mit hinein. Die quadratische Ergänzung ist keine Formel, sondern ein anspruchsvolles Ineins von \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\), einer Nullsumme \(+x-x\) zusammen mit einer Trennung von einer Summe in zwei Summen, \[a+(+x-x)+d=(a+x)+(-x+d).\]Die Bezeichnung \(pq\)- oder \(abc\)-Formel hat im Rahmen der Verschulung heute Bedeutung erlangt. In der Literatur oder unter Mathematikern spricht man sonst eher von einer geschlossenen Formel oder, etwas veraltet, vom Auffinden der Wurzeln. Ein eigener Name wäre zu viel oder eher für denjenigen zu wenig der Ehre. Die Merkgeschichte von Christiane Stenger habe ich eingebracht, weil Anwendung der \(abc\)-Formel im Sinne von "Abschreiben, Einsetzen, Ausrechnen" nicht nur nicht kreativ, sondern das Gegenteil von kreativ ist. Daher bat ich um eine hübsche Merkgeschichte für die \(pq\)-Formel. Auch verstehe ich wohl nie den Bezug zu einer "Logik". Wenn die Formel nicht verstanden wird, dann ist die kleine Geschichte doch logischer. Hier der Link zur ganzen Geschichte, schon dafür würde ich eine 1 geben. Offensichtlich wurde eine recht kluge Schülerin und überhaupt Schüler seinerzeit und vielleicht auch heute noch dazu genötigt, eine Formel auswendig zu lernen ohne Sinn und Verstand. Um sich diese aber erfolgreich einzuprägen (spicken wollte sie nicht), erfand sie eine Geschichte, die beim Memorieren hilft. Und das ist durchaus kurios, weniger die Geschichte als die Umstände, die dazu führten.


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Gerhardus
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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-05-15

Nachtrag zu meinem Beitrag Nr. 30. Der Begriff Koeffizientenvergleich stößt in der Schule auf breite Ablehnung: "Viel zu schwierig!". Die Methode in geschmeidigen Worten: Die Terme x²+px+q und x²+bx+c sind für alle x gleich, wenn b = p und c = q sind.


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Slash
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  Beitrag No.33, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-13 15:11 - Gerhardus in Beitrag No. 30) Aber wie löst man eine Gleichung ax² + bx + c = 0 ohne Formel? \quoteoff Dazu fällt mir ein: unser Lehrer, ein prom. Mathematiker, der aus der Erwachsenenbildung in Baden-Württemberg kam, hatte mit uns in der 9. Klasse die Mitternachtsformel aus der allg. Form Schritt für Schritt hergeleitet. Das fühlte sich für mich damals wie "erste richtige Mathematik" an und hatte mich total begeistert und "angefixt 😉".


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Wario
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  Beitrag No.34, eingetragen 2022-05-15

\quoteon(2022-05-15 10:16 - Slash in Beitrag No. 33) Dazu fällt mir ein: unser Lehrer, ein prom. Mathematiker, der aus der Erwachsenenbildung in Baden-Württemberg kam, ... \quoteoff Albrecht Beutelsbacher. 😲😃


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