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  Beweis Lemma von Herglotz (additive Form) |
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Mathical
Junior 
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2022-05-13
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Hallo zusammen
Ich versuche mir schon den ganzen Abend den Beweis des Lemma von Herglotz in der additiven Form klar zu machen. Doch ich verstehe den Schritt nicht weshalb 4M \leq 2M gilt. In den Tiefen des Internets bin ich auf den Herglotz Trick gestossen und dass man die Ableitung von 2h(2z) = h(z) + h(z + 1/2) auch z mit z/2 ersetzt berechnet. Ich sehe es aber einfach nicht. Ich wäre unglaublich dankbar wenn es mir jemand erklären könnte.
Vielen Dank!
Hier das Lemma und der Beweis:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Screenshot_20220513-230308.jpg
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum :)
Es gilt also
$$
4|h'(2z)|=|h'(z)+h'(z+\tfrac 12)|\leq |h'(z)|+|h'(z+\tfrac 12)|.
$$
Ist nun $z\in [0,t]$, dann ist auch $\tfrac z2,\tfrac 12(z+1)\in [0,t]$ und somit
$$
4|h'(z)|\leq |h'(\tfrac z2)|+|h'(\tfrac 12(z+1))|\leq 2M.
$$
Es gilt also
$$
4|h'(z)|\leq 2M
$$
für jedes $z\in [0,t]$. Dann gilt diese Eigenschaft auch für das Maximum, also
$$
4M\leq 2M,
$$
was zu zeigen war.
Hier verwendet man, dass das Maximum, sofern existent, insbesondere die kleinste obere Schranke ist. Wenn z.B. $x\leq 1$ für jedes $x\in A$ gilt, dann auch $\sup(A)\leq 1$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Mathical
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Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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\quoteon(2022-05-13 23:41 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo und willkommen hier im Forum :)
Es gilt also
$$
4|h'(2z)|=|h'(z)+h'(z+\tfrac 12)|\leq |h'(z)|+|h'(z+\tfrac 12)|.
$$
Ist nun $z\in [0,t]$, dann ist auch $z/2,\tfrac 12(z+1)\in [0,t]$ und somit
$$
4|h'(z)|\leq |h'(\tfrac z2)|+|h'(\tfrac 12(z+1))|\leq 2M.
$$
Es gilt also
$$
4|h'(z)|\leq 2M
$$
für jedes $z\in [0,t]$. Dann gilt diese Eigenschaft auch für das Maximum, also
$$
4M\leq 2M,
$$
was zu zeigen war.
Hier verwendet man, dass das Maximum, sofern existent, insbesondere die kleinste obere Schranke ist. Wenn z.B. $x\leq 1$ für jedes $x\in A$ gilt, dann auch $\sup(A)\leq 1$.
LG Nico
\quoteoff
Lieber Nico
Vielen Dank für Deine Hilfe!
D.h. man ersetzt in der Anleitung z durch z/2 damit man |h'(z)| in der Abschätzung hat und somit das Maximum zur weiteren Abschätzung verwenden kann? (Da wir ja M als das max über |h'(z)| und nicht über |h'(2z)| wollen).
Der Rest ist mir nun klar.
Vielen Dank!
Liebe Grüsse
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
genau. Man leitet erst diese Verdopplungsformel auf beiden Seiten ab und ersetzt dann $z$ durch $z/2$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Mathical
Junior
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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\quoteon(2022-05-14 15:45 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Hallo,
genau. Man leitet erst diese Verdopplungsformel auf beiden Seiten ab und ersetzt dann $z$ durch $z/2$.
LG Nico
\quoteoff
Super, vielen Dank für Deine Hilfe!
Liebe Grüsse
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